概率论与数理统计练习册—第一章答案

第一章 概率论的基本概念

基础训练I

一、选择题

1. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为：（ D ）。 A）甲种产品滞销，乙种产品畅销； B）甲乙产品均畅销；

C）甲种产品滞销； D）甲产品滞销或乙种产品畅销. 2、设A,B,C是三个事件，则A?B?C表示（ C ）。 A） A,B,C都发生； B） A,B,C都不发生； C） A,B,C至少有一个发生； D） A,B,C不多于一个发生 3、对于任意事件A,B，有P(A?B)?（ C ）。

A）P(A)?P(B)； B）P(A)?P(B)?P(AB)； C）P(A)?P(AB)； D）P(A)?P(B)?P(AB)。

4、已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( A ) 。

A） 3/5； B）3/4； C）2/4； D）3/10. 5、抛一枚硬币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是（ D ）。 A） 1/16 B） 1/8 C） 1/10 D） 1/4

6、设P(A)?0.8，P(B)?0.7，P(A|B)?0.8，则下列结论正确的有（ A ）。 A）A,B相互独立； B）A,B互不相容；

C）B?A； D）P(A?B)?P(A)?P(B)。

二、填空题

B都不发生，C发生”1.设A,B,C是随机事件，则事件“A、表示为ABC, “A,B,C至少有两个发生”表示成AB?AC?BC 。

2.设A、B互不相容，P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，则P(B)? 0.3 ；

3. 某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种的住户百分比是：30%；

4.设P(A)?P(B)?P(C)?1/4,P(AB)?P(BC)?0,P(AC)?1/8，则A、B、C三件事至少有一个发生的概率为：5/8；

5. 若A、B互不相容,且P(A)?0,则P(B/A)? 0 ；若A、B相互独立，,且P(A)?0,则P(B/A)?P(B) 。

6、已知P(B)?1/3,P(BA)?1/4，P(AB)?1/6，则P(AB)= 1 / 18 。

三、计算题

1．从一批产品中取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），以Ai表示“第i次取到的是合格品”，试用Ai表示(i?1,2,3)下列事件：

1）三次都取到合格品； 2）三次中至少有一次取合格品； 3）三次中恰有两次取到合格品； 4）三次中至少有两次取到合格品； 5）三次中一次也未取到合格品； 6）三次中至多有一次取到合格品； 解： 1）A1A2A3；2）A1?A2?A3；3）A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3；

4）A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2?A1A3?A2A3； 5）A1?A2?A3?A1?A2?A3?A1A2A3；6）A1A2?A1A3?A2A3 2．设P(A)?1/3，P(B)?1/2。在下列三种情况下求P(BA)的值：

1）AB??； 2）A?B； 3）P(AB)?1/8。 解：因 P(BA)?P(B)?P(AB)

1) P(BA)?1/2；2）P(BA)?P(B)?P(A)?1/6；3）P(BA)?3/8。

3.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某

时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

解：设A={甲河流泛滥}，B={乙河流泛滥}，

由题意，该地区遭受水灾可表示为A?B，于是所求概率为： (1) P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B/A) ?0.1?0.2?0.1?0.3?0.27 (2)P(A/B)?P(AB)P(A)P(B/A)0.1?0.3???0.15

P(B)P(B)0.24．有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.2、0.3、0.5,求： 1）至少有一门火炮命中目标的概率；2）恰有一门火炮命中目标的概率。

解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙火炮命中目标，则

1）P(A?B?C)?1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C)?1?0.8?0.7?0.5?0.72 2）P(ABC?ABC?ABC) ?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?0.47

5、有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个正品,一个次品;在第二个箱中有三个正品,一个次品;在第三个箱中有两个正品,两个次品.现从任何一个箱子中,任取一件产品,求取到

正品的概率。

解: 设Bi={从第i个箱子中取到产品}(i=1,2,3)，A={取得正品}。

由题意知Ω=B1+B2+B3 ，B1,B2,B3是两两互不相容的事件。

P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3， P(A|B1)=2/3, P(A|B2)=3/4, P(A|B3)=2/4=1/2 由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.64 (或23/36).

6．已知商场某产品由三个厂家提供，产品次品率分别为0.02、0.01、0.03，销售份额分别占0.15、0.80、0.05，现消费者因为产品问题提出索赔，但由于保存不善标志缺失，如果你是商场负责人，想将这笔索赔转嫁给厂家，如何分摊最合理？

解：设A表示产品为不合格品,Bi(i?1,2,3)表示产品是由第i个厂家提供的, 由题可得:

p(B1)?0.15，p(B2)?0.80，p(B3)?0.05，

p(AB1)?0.02，p(AB2)?0.01，p(AB3)?0.03

由全概率公式：p(A)?p(AB1)p(B1)?p(AB2)p(B2)?p(AB3)p(B3)?0.0125

由贝叶斯公式: p(B1A)?p(AB1)p(B1)p(A)?0.02?0.15?0.240.0125；

p(B2A)?0.64；

p(B3A)?0.12.

0.64：0.12，即 6：16：3. 由上可见，比较合理的分配比例应为：0.24：基础训练Ⅱ

一、选择题

1．事件A?B又可表示为（ C ）

A）A?B B）A?AB C）A?B D）A?AB 2．设P(AB)?0,则有（ D ）

A) A和B互不相容； B) A和B相互独立；

C) P(A)?0或P(B)?0； D) P(A?B)?P(A)。 3．设A和B互为对立事件，则下列不正确的结论为( B )

A)P?B/A??0； B)A和B独立； C)P(A/B)?1； D)P(A?B)?1。

4、设事件A,B是两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论正确的是（ D ） A）A,B互不相容； B）A与B相容； C）P(AB)?P(A)P(B)； D）P(A?B)?P(A)。

5.某人射击时，中靶的概率为3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为

( C )

A ) (3/4)3 B) (3/4)2×1/4 C) (1/4)2×3/4 D) (3/4)3

6．如果P(A)?0,P(B)?0,P(AB)?P(A)，则下列结论不正确的有（ D ） A）P(B|A)?P(B)； B）P(A|B)?P(A)； C）A,B相容； D）A,B互不相容。

二、填空题

1. 设Ai表示第i次命中目标(i?1,2,3)，则A1A2A3逆事件为:A1?A2?A3。 2. 设事件A,B互不相容，且P(A)?p,P(B)?q,则P(AB)?1?p?q。 3. 设A,B相互独立，P(A)?0.2、P(B)?0.4，则P(A?B)?0.52； 4. 设A,B为随机事件，P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,则P(A?B)=0.6； 5、设P(A|B)?0.3,P(B|A)?0.4,P(A)?0.7，则P(B)? 0.4 。

6、设P(A)?0.3,P(A?B)?0.6, 那么：(1) 若A,B互不相容，则P(B)? 0.3 ; (2) 若A, B相互独立，则P(B)? 3 / 7 。

三、计算题

1．设A,B为两个事件且P(A)?0.6，P(B)?0.7， 则

1）在什么条件下P(AB)取最大值，最大值是多少？ 2）在什么条件下P(AB)取最小值，最小值是多少？ 解：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)，

A?B时P(A?B)最小，P(AB)取得最大值：

P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?0.6

2）当P(A?B)?1时，P(AB)取得最小值为0.3。

1）当

2. 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。 解：P(B|A?B)?P(AB)P(A)?P(AB)1?0.3?0.51???

P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)1?0.3?1?0.4?0.543. 设A,B是两个事件，P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6，求P(A|B)。 解：P(A|B)?P(AB)1?P(A?B)1?P(A)?P(B)?P(AB)7???。

1?P(B)1?P(B)12P(B)4.甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们需要工人看管的概率分

别为0.1、0.2、0.15,求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而

停工的概率。

解：设A、B、C依次表示三台机床需要人照管，依题意可知A、B、C相互独立， P(A)?0.1，P(B)?0.2，P(C)?0.15

P(A?B?C)?1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(?C) 0. 388P(AB?BC??2 ?0.1*0.A)C?(PA)?B(PB)?C(P)?AC2(P ABC0.2*?0.150.?1*0.152*0.?10.05 95、某厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，它们的不合格率分别是5%、4%、3%、2%，现从中任取一件问恰好取得不合格品的概率是多少？

解：设A: 取出的为不合格品， Bi: 第i条流水线生产。

P(B1)?15%， P(B2)?20%， P(B3)?30%， P(B4)?35% PAB1?5%， PAB2?4%，PAB3?3%，PAB4?2% 所以 P(A)?5%?15%?20%?4%?30%?3%?35%?2%?3.15%

6、三个箱子，第一个箱子中有3个黑球一个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2个白球，求：（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？ （2）已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是多少？

i?1,2,3，解：设事件A表示“取出一球为白球”，“取到第i只箱子”，则P(Bi)?1/3。 Bi表示

由全概率公式得：（1）P(A)??P(B)P(A|B)?3(4?5?5)?12

iii?13113252P(B3)P(A|B3)1243?5 由贝叶斯公式得：（2）P(B3|A)? ?5?P(A)7512

综合训练

一、填空题

1. 设A,B为任意两个事件，则下列关系式成立的是（ D ）。

A）(A?B)?B?A； B）(A?B)?B?A； C）(A?B)?B?A； D）(A?B)?B?A。 2. 对事件A,B，下列命题正确的是：（ D ）。

A）如果A,B互不相容，则A,B也互不相容； B）如果A,B相容，则A,B也相容；

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