《概率论与数理统计》（谢永钦）课后习题及答案
习题 一
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]
=1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）
=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
11113=++?= 4431247.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2
张梅花的概率是多少？
5332【解】 p=C13C13C13C13/C1352
8.对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故
11 P（A1）=5=（）5 （亦可用独立性求解，下同）
77（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
6565
P（A2）=5=()
77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
1P（A3）=1?P(A1)=1?()5
79.略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n
（2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的.
n?mn【解】（1） P（A）=CmMCN?M/CN
1
n(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽
取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽
m取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中n?m取n?m件的排列数为PN?M种，故
mn?mCmPPP（A）=nMnN?M
PN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成
n?mCmMCN?MP（A）=
CnN可以看出，用第二种方法简便得多.
（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为
Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故
mn?mn P(A)?CmM(N?M)/Nn此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为
M，则取得m件正品的概率为 N?M??M?P(A)?Cmn???1??N??N??mn?m
11.略.见教材习题参考答案.
12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个
铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱}
133P(A)?C1 10C3/C50?196013.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次
抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.
1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3?
C735 2
22 3514.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：
（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.
【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）
故 P(A2?A3)?P(A)2?P(A)3?(1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38
15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.
（1） 问正好在第6次停止的概率；
（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.
11131C4()()5212131224?2 【解】（1） p1?C5()()? (2) p2?222325/32516.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，
求二人进球数相等的概率.
【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则
212P(?AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? i?032223 C3 (0.7)2?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6)=0.32076 17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.
4111C5C1CC22C2213【解】 p?1? ?4C102118.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,
求：
（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.
（1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7
19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率
（小孩为男为女是等可能的）.
3
【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故
P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.
6P(BA)?
720.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，
问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式
P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520?
0.5?0.?05?0.50.00252121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.
?
题21图 题22图
【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”
等价于|x?y|>30.如图阴影部分所示.
3021P?2?
60422.从（0，1）中随机地取两个数，求：
6（1） 两个数之和小于的概率；
5 4
1的概率. 4【解】 设两数为x,y，则0
6（1） x+y<.
514417 p1?1?255??0.68
1251(2) xy<.
4（2） 两个数之积小于
1?1?11 p2?1???1dx?1dy???ln2
4x?4?4223.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BA?B)?P(AB)PA(?)PAB() ?P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.51?
0.7?0?.60.5424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出
3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3
球均为新球}
由全概率公式，有
?P(B)??P(BAi)P(Ai)
i?03
232C3C3C1C8C9C1C3C3C3699C6679?3?3?3?3?3?3?3?36C15C15C15C15C15C15C1C515?0.08 925. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努
力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？
【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.
由题意知P（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知
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