概率与数理统计习题选4

《概率论》计算与证明题 113 第四章 数字特征与特征函数

1、设?是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每次试验中P(A)?p，再设随机变量?视?取偶

数或奇数而取数值0及1，试求E?及D?。

2、袋中有k号的球k只，k?1,2,?,n，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量?取非负整数值n?0的概率为pn?ABn/n!，已知E??a，试决定A与B。 4、袋中有n张卡片，记号码1,2,?,n,从中有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和?的数学期望

及方差。

?5、试证：若取非负整数值的随机变量?的数学期望存在，则E???P{?k?1?k}。

6、若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为p(x)?E?，D?。

12??|x??|e?,???x??, ??0。试求

7、若?1,?2相互独立，均服从N(a,?2)，试证Emax(?1,?2)?a???。

8、甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中装有?只白球?只黑球，现从甲袋中摸出c(c?a?b)只球放

入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。

9、现有n个袋子，各装有a只白球b只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第

二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n次摸球中所摸得的白球总数为Sn，求

Sn。

10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体

质重量，试说明这样做的道理。

11、若?的密度函数是偶函数，且E???，试证?与?不相关，但它们不相互独立。

?1?,12、若?,?的密度函数为p(x,y)????0,?x?y?1x?y?122222，试证：?与?不相关，但它们不独立。

13、若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 14、若U?aX?b,V?cY?d，试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数。

《概率论》计算与证明题 114 15、若?1,?2,?3是三个随机变量，试讨论（1）?1,?2,?3两两不相关；

（2）D(?1??2??3)?D?1?D?2?D?3；（3）E?1?2?3?E?1?E?2?E?3之间的关系。

16、若?,?服从二元正态分布，E??a,D??1,E??b,D??1。证明：?与?的相关系数r?cosq?，

其中q?P{(??a)(??b)?0}。

(1?r)17、设(?,?)服从二元正态分布，E??E??0,D??D??1,r???r，试证：Emax(?,?)?18、设?与?独立，具有相同分布N(a,?2)，试求p??q?与u??v?的相关系数。 19、若?服从N(a,?2)，试求E|??a|k。

20、若?及?分别记二进制信道的输入及输出，已知P{??1}?p,P{??0}?1?p,

?。

P{??1??1}?q，P{??0??1}?1?q,P{??1???0}?r,P{??0??0}?1?r，试求

输出中含有输入的信息量。

21、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，

试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。 22、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。

23、在贝努里试验中，若试验次数v是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要

条件，是v服从普阿松分布。

24、设{?k}是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和???1??2???v，其中v是

随机变量，它与{?k}相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明

E??Ev?E?k,D??Ev?D?k?Dv?(E?k)。

225、若分布函数F(x)?1?F(?x?0)成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的

特征函数是实的偶函数。 26、试求[0,1]均匀分布的特征函数。

27、一般柯西分布的密度函数为p(x)?expi?{t??1???(x??)??22,??0。证它的特征函数为

t|，利用这个结果证明柯西分布的再生性。|

28、若随机变量?服从柯西分布，??0,??1，而???，试证关于特征函数成立着

《概率论》计算与证明题 115 f???(t)?f?(t)?f?(t)，但是?与?并不独立。

29、试求指数分布与??分布的特征函数，并证明对于具有相同?值的??分布，关于参数r有再生性。 30、求证：对于任何实值特征函数f(t)，以下两个不等式成立：

21?f(2t)?4(1?f(t)),1?f(2t)?2(f(t))。

31、求证：如果f(t)是相应于分布函数F(x)的特征函数，则对于任何x值恒成立：

12TT?T?itxT??lim?f(x)edt?F(x?0)?F(x?0)。

k?1?d32、随机变量的特征函数为f(t)，且它的n阶矩存在，令Xk?k?klogf(t)?,i?dt?t?0k?n，称Xk为

随机变量的k阶半不变量，试证????b（b是常数）的k(k?1)阶半不变量等于Xk。 33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。

??1?34、设?1,?2,?,?n相互独立，具有相同分布N(a,?2)试求???????n??的分布，并写出它的数学期望及协???方差阵，再求??1ni??ni?1的分布密度。

?4?22??，试找出矩阵A，使??A?，且要求?服从非1?35、若?服从二元正态分布N(0,?)，其中???退化的正态分布，并求?的密度函数。

36、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。 37、若(?,?)的分布为p(??k1,??k2)?n!ki!k2!(n?k1?k2)!p11p22(1?p1?p2)kkn?k1?k2 0?pi?1

，（1）求随机变量?的边际分布；（2）求E(?|?)。 0?ki?n k1?k2?n i?1,238、若r,v,?的取值是非负数，且p(??n)?ABn!n,又E??8，求A??,B??

39、设?~N(2,1),?~N(1,4)且二者独立，求U???2? ,V?2???的相关系数?uv

40、某汽车站在时间t内发车的概率为P(t)=1-e?8t，求某人等候发车的平均匀时间。 41、某厂生产的园盘的直径服从(a,b)内的均匀分布，求园盘面积的数学期望。 42、搜索沉船， 在时间t内发现沉船的概率为P(t)?1?e

??t(??0)， 求为了发现沉船所需要的平均

《概率论》计算与证明题 116 搜索时间。

43、从数字1,2,3,4中按有放回方式取数，设随机变量?表示第一次选取的数字，随机变量?表示第二

次选取的不小于?的数字. (1)写出(?,?)的联合分布列; (2)求E?.

44、如果?,?,?互不相关,且方差分别为1,3,6,求u????,v????的相关系数?uv.

45、将三个球随机地放入三个盒子中去，设随机变量?,?分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的个

数。1)求二维随机变量(?,?)的联合分布列; 2)求E?

46、设RV?,? 相互独立，且E??2, D??1, E??1, D??4，求U??-2 , V?2?-? 的相关系

数puv。

47、民航机场一送客汽车载有20个旅客从机场开出，旅客可从10个站下车，如果到站没人下车就不停

车，假定乘客在每个车站下车是等可能的，求平均停车次数。 48、据统计，一个40岁的健康者在5年内死亡的概率为1-p，保险公司开办五年人寿保险，条件是参

加者需要交保险费a元，若五年内死亡，公司赔偿b元(b?a)，问b应如何确定才能使公司可望受益？若有m个人参加保险，公司可望收益多少?

49、对敌人防御地段进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是2，方差是

1.69，求100次轰炸中有180～220颗命中目标的概率。 50、若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把打开门上的锁。用它们去试开门上的锁，设取得每

把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开后除去，求试开次数X的期望。 51、对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间[a,b]上。求球的体积的期望。 52、设X服从几何分布，它的概率分布列为：P{X?i}?qD(X)。

1i?1p,其中q?1?p，求E(X)，n?1,2,?，

53、设离散随机变量X的分布列为P{X?i}????,i?1,2,?，求Y?sin?X?的期望。 2?2?54、有3只球，4只盒子，盒子的编号为1,2,3,4。将球随机地放入4只盒子中去。记X为其中至少有

1只球的盒子的最小号码。求E(X)。

55、随机地掷6个骰子，利用切比雪夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率。

56、已知正常成人血液中，每亳升白细胞数平均是7300，标准差是700。利用切比雪夫不等式估计每亳

升男性成人血液中含白细胞数在5200至9400之间的概率p。

《概率论》计算与证明题 117 57、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且服从同一分布、其期望是2mm，

标准差是0.05mm。规定总长度为(20?0.1)mm时产品合格，求产品合格的概率。

58、根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取16只，设它们

的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。 59、证明Cuchy---Swchz不等式，若E?2?E?2 存在 ,则E??60、设r>0，则当 E|?| 存在时， ???0,有P(|?|??)?r222?E??E?

E|?|r?r。 1p61、若P(??k)?pqk-1 k?1,2,? p?q?1(p?0) 则E??62、设?与?都只取两个数值，且?与?不相关，则?与?独立。 63、叙述并证明契比雪夫大数定律。

?。

64、若?是取非负整数的随机变量，E?,D?均存在，则E??12(1?R2?i?1P(??i)。

65、设??,??的联合密度函数是f(x,y)?1?R12?1?R2?e?x)2?2Rxy?y2?，求证:

E?max(?,?)???

2?b?a?66、证明：对取值于区间[a,b]中的随机变量?恒成立，a?E??b,D(?)???。

?2?67、设随机变量?的方差D?存在，c为任一实数，证明：D??E(??c)2

?xn?xe?68、设随机变量?的密度函数为：p(x)??n!?0?x?0x?0nn?1 ， 其中n为正整数， 证明：

p{0???2(n?1)}?

69、若RV?1,?2,?,?n相互独立且同分布，E?i?1, D?i?1, i?1,2,3,?,n，试证： 对任意的

?k(k?1,2,?,n) 有P?0??k??i?2k??i?1??(k?1)k

n70、如果随机变量序列{?n}，当n??时有

1n2D(??k)?0，证明：{?n}服从大数定律.

k?1

《概率论》计算与证明题 118 ?1?71、设(?,?)的密度函数是 P(x.y)????0?x?y?1x?y?12222 ，证明?与?不相关，且不独立。

?xm?xe?72、设连续型R,V?的密度函数为P(X)??m!?0?(x?0)(x?0) (其中m为正整数)，试利用契贝晓夫不

等式证明P(0???2(m?1))?mm?1.

73、设X1,X2,?,Xn,?是独立随机变量序列，Xi的分布列为

X p 12i2?ia 0 ia 12i2 1?1i2

i=1,2,?

?1证明：limp?n???nn?i?1?Xi????0

?74、若?的密度函数是偶函数，且E?2??，试证?与?不相关，但它们不相互独立。

?1?,75、若?,?的密度函数为p(x,y)????0,?x?y?1x?y?12222，试证：?与?不相关，但它们不独立。

76、若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 77、若U?aX?b,V?cY?d，试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数。

?rAr,?78、Pareto分布的为密度函数为p(x)??xr?1?0,?x?Ax?A，这里r?0,A?0，试指出这分布具有p阶矩，

当且仅当p?r。

1?,?279、若?的密度函数为p(x)??2|x|(log|x|)?0,?k80、记ak?E|?|，若an??，试证，kak?|x|?e其它a，试证对于任何a?0，E|?|??。

k?1ak?1， k?1,2,?,n?1。

81、试用母函数法证明二项分布及普阿松分布的再生性。

82、若分布函数F(x)?1?F(?x?0)成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的

《概率论》计算与证明题 119 特征函数是实的偶函数。

83、若随机变量?服从柯西分布，??0,??1，而???，试证关于特征函数成立着

f???(t)?f?(t)?f?(t)，但是?与?并不独立。

n84、若?1,?2,?,?n相互独立且服从相同分布N(0,1)，试证??说明X2?分布也有再生性。

??i?12i服从参数为n的X2?分布，并

85、求证：对于任何实值特征函数f(t)，以下两个不等式成立：

1?f(2t)?4(1?f(t)),1?f(2t)?2(f(t))。

k?1?d86、随机变量的特征函数为f(t)，且它的n阶矩存在，令Xk?k?klogf(t)?,i?dt?t?02k?n，称Xk为

随机变量的k阶半不变量，试证????b（b是常数）的k(k?1)阶半不变量等于Xk。 87、求证，在x?o时有不等式

x1?x2?12x2e???xe12?t2dt?1xe?12x2。

88、若?k具有有限方差，服从同一分布，但各k间，?k和?k?1有相关，而?k,?l(|k?l|?2)是独立的，

证明这时对{?k}大数定律成立。

第四章 解答

1、解：?服从两占分布，由第二章第29题得，P{??1}?P{事件A出现奇数次}=

12?12(1?2p),P{??0}?P{事件A出现偶数次}?n12?12(1?2p)，所以

nE??12?12(1?2p)，

n111?11n??1n?2nD????(1?2p)???(1?2p)???(1?2p).

44?22??22?2、解：设?表取一球的号码数。袋中球的总数为1?2???n?12n(n?1)，所以

《概率论》计算与证明题 120 P{??k}?k12n(n?1)?2kn(n?1),k?1,2,,?,n.

nE???n(n?1)k?12k?k?2n(n?1)??n(n?1)(2n?1)6??13n(2n?1).

3、解：由于?是分布，所以应有

??P{?n?0?n}??A?n?0Bn!B?B?1，即Ae?1,A?e。又由已知

E???n?n?0ABn?n!?a，即AB?n?0Bn?1(n?1)!?a，ABeB?a, ?B?a,A?e?B?e?a。

4、解：设?表示抽出k张卡片的号码和，?i表示第i次抽到卡片的号码，则???1??2????k，因为是放回抽取，所以诸?i独立。由此得，对i?1,2,?,k。

nE?i??j?1j?1n?1nn?j?1j?1n(n?1)n?1??， n2212k(n?1)；

E??E?1?E?2???E?k?nE?i?2?j?1j?21n?1n(n?1)(2n?1)1??(n?1)(2n?1)， n662D?i?E?i??E?i??216(n?1)(2n?1)?14(n?1)2?112(n?1)，

2D??D?1?D?2???D?n????112k(n?1)。

25、证：

?P{?k?1?k}???P{??j}

k?1j?k

?{??1}?P{??2}?P{??3}???P{??2}?P{??3???P{??3}??

? ??kP{?k?1?k}?E?.

.

6、解：E??????12??|x??|xe?dx(令t?(x??)?dt?????)

??????t??2e?|t|dt??????t2e?|t|?2e?|t|dt?0????.

《概率论》计算与证明题 121 ?|x??|D??????12????(x??)e2?(令t??0(x??)?2)

??2?t2e?tdt??2t2(?e?t) ?2?2t(?e?t)?0?2??2?0?ttedt

?0?2?2??0tedt?2?(?e)?t?t2?2?.

2?(x?a)2(y?a)?7、证：?1?2的联合密度为p(x,y)?exp????， 222?2???∴ Emax(?1,?2)? ???max(x,y)p(x,y)dxdy

x????????dx?xp(x,y)dy?????dx??xyp(x,y)dy

（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）

????dx?x??(x?a)p(x,y)dy??????dx??x(y?a)p(x,y)dy?a

（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）

????dy??y(x?a)p(x,y)dx?12??2?(y?a)2?22???dy??y(y?a)p(x,y)dx?a

(x?a)2?22?a?2??a?1???edy??y?(x?a)edx (令(y?a)??t)

??????e?t2dt?a?????a???.

8、解：令B表“从乙袋摸一球为白球”，?表从甲袋所摸个球中白球数，则?取值0,1,?,c，服从超几何分布，且E??ca(a?b)，考虑到若c?a，则当i?a?1,?,c时P{??i}?0；若c?b，则当

i?c?b时P{??i}?0；而在条件概率定义中要求P(Ai)?P{??i}?0 由此得

m!n(a,c)?P(B)??i?max(0,c?b)P{??i}P{B|??i}???i?0P{??i}???i????c

???i???P{???ci?0?i}?1???1iP{???ci?0?i}

??????c?E?????c?ac????????c?a?b??. ??1,9、解：令?i???0,P{?1?1}?

从第i袋子中摸出白球从第i袋子中摸出黑球a(a?b)，则

，

《概率论》计算与证明题 122 P{?2?1}?aa?b?a?1a?b?1?ba?b?aa?b?1?a?ab?a(a?b)(a?b?1)2?aa?b。

由此类推得P{?1?1}?a(a?b)， i?1,2,?,n。又Sn??1??2????n，

n?ESn??i?1E??naa?b。

10、解：以?i表第i次测量值，由于受测量过程中许多随机因素的影响，测量值?i和物体真实重量a之间有偏差，?i是独立同分布的随机变量，并有E?i?a,D?i??2。测量记录的平均值记为?，则??1n(?1????n)

E??1nn?E?i?1i?nan?a， D??1n2n?D?i?1i?n?n22??n2。

平均值?的均值仍为a，但方差只有?i方差的所以以?作为物体的重量，则更近于真值。

1n，而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度，

11、证：设f(x)是?的密度函数，则f(?x)?f(x)。由xf(x)是奇函数可得E??0，从而

E?E|?|?0。又由于x|x|f(x)是奇函数，得

E?|?|?????x|x|f(x)dx?0?E?E|?|

故|?|与?不相关。

由于?的密度函数是偶函数，故可选c?0使0?P{|?|?c}?1，亦有P{??c}?1，

?P{??c}P{|?|?c}?P{|?|?c}?P{??c,|?|?c}

其中等式成立是由于{|?|?c}?{??c}。由此得|?|与?不独立。

12、证：E??????????xp(x,y)dxdy??1?1xdx?1?x212?1?x?dy?0，同理E??0。

cov(?,?)?E???E?E??

?1?1xdx?1?x212?1?x?ydy?0

《概率论》计算与证明题 123 即?与?不相关。但?与?不独立，事实上可求得

?221?x,?p?(x)??x?0,?|x|?1?221?y,?，p?(x)??y?0,|x|?1?|y|?1|y|?1，

而当|x|?1且|y|?1时，p(x,y)?p?(x)p?(y)。

?a,13、证：设??p1,b??c,?,?q1??p2,*d??。作两个随机变量 q2??a?b,?p1,0?*?,????dq1??c?d,:??p2,0??。 q2?????b:?由?与?不相关即E???E?E?得

E???E(???b??d??bd)?(E?E??bE??dE??bd)

**

?(E??b)(E??d)?E?E?，

**而E?*?*?(a?b)(c?d)P{?*?a?b,?*?c?d}，

* E?*E?*?(a?b)P{??a??}b(?c)d?{P?*?c， }d由上两式值相等，再由(a?b)(c?d)?0得

P{??a?b,??c?d}?P{??a?b}P{??c?d}

****此即P{??a,??c}?P{??a}?P{??c}。同理可证

P{??a,??d}?P{??a}?P{??d}，P{??b,??c}?P{??b}?P{??c} P{??b,??d}?P{??b}?P{??d}，

从而?与?独立。

14、证：EU?aEX?b,DU?aDX，EV?cEY?d,DV?cDY，

cov(U,V)?Ea(X?EX)c(Y?EY)?ac?cov(X,Y)，

22rUV?cov(U,V)|a|DX|c|D(Y)?ac|ac|rxy。

欲rUV?rxy，题中需补设a与c同号。

《概率论》计算与证明题 124

15、解：（一）证(1)?(2)，设（1）成立，即两两不相关，则

D(?1??2??3)?E[(?1??2??3)?(E?1?E?2?E?3)]

?E[(?1?E?1)?(?2?E?2)?(?3?E?3)]

22?D?1?D?2?D?3?2E(?1?E?1)(?2?E?2)?2E(?1?E?1)(?3?E?3)?2E(?2?E?2)(?3?E?3) ?D?1?D?2?D?3，

∴（2）成立。 （二）(1)?(3)。设

??1,?1:?1?,?21??1,?2???1,?2:?1?,?21??1， ?2?并设?1与?2独立，则

??1,?1?2??3（记）：?1?,?21?2?1,?1?2?3??3?2??1?:??， ?1?由第三章25题知，?1?2?3两两独立，从而两两不相关，满足（1）。而E?1?E?2?0，这时

E?1?E?2?E?3?0?1?E?1?2?3，（3）不成立。

（三）(2)?(1)。设D??0,?1??2??,?3??12?，则

12?1?214D(?1??2??3)?D(?????)?D????2??D?。

1?1?D?1?D?2?D?3?D??D??D?????2D?，

4?2?满足（2）。但显然?1,?2,?3两两相关，事实上由E??(E?)?D??0得?与?相关，（1）不成立。 （四）(2)?(3)。事实上，由(1)?(2)，(1)?(3)得必有(2)?(3)。 （五）(3)?(2)。设

??1,?1:?1?,?2

220??1,?2??0,?2??1?1:?1?,?21??1,?3?2???1,:?1?,?21??1 ?2? 《概率论》计算与证明题 125 则

?1?2:??,?1?2?3??3:??

2?0??1??0??1?再设?1与?3独立，从而?1的函数?2与?3也独立，我们有E?1??12,E?2?12，

E?3?0，E?1?2?0,E?1?3?E?1?E?3?0,E?2?3?E?2?E?3?0，E?1?2?3?0?E?1?E?2?E?3，

满足（3）。但

D(?1??2??3)

?D?1?D?2?D?3?2E?1?2?2E?1?3?2E?2?3?2E?1?E?2?2E?1?E?3?2E?2?E?3 ?D?1?D?2?D?3?2E?1?E?2 ?D?1?D?2?D?3?12?D?1?D?2?D?3。

∴（2）成立。

（六）(3)?(1)。事实上，由(1)?(2)，(3)?(2)得必有(3)?(1)。 （七）当?1,?2,?3相互独立时，(1)，(2)，(3)同时成立。

16、证：由题设得 q??122????dxdyexp??(x?a)?2r(x?a)(y?b)?(y?b)?2????22?1-r(x?a)(y?b)?0?2(1?r)?1x?,av?（令

u?） ?y?12(1?r)2b(u?2ruv?v)22=12?1-r2??uv?0edudv

22?1?1-r2??0???12(1?r)2(u?2ruv?v)edudv

令u??cos?,v??sin?,|J|??，则

1????22q??1-r12??d?2???e2(1?r)(1?rsin2?)d?

???1-r2???2?2??(1?rsin2?)?21?r2(1?r)???d? e?1?rsin2????02

《概率论》计算与证明题 126 2?1-r?1-r2?2??1?rsin2?2?d?(令?=2?)

???2?d?1?rsin?

2??1?tg??21-r?12arctg?2??1-r21-r??r?? ???由limtg????2???，而

1tg??r?2liamrctg??2???21-r得q?1?arctg?r1-r2?12，即

??t?g???1???q????2??r?12，变形得

r22-?ctgq???2r1-r2， 或ctgq??2r1-r2，

所以 r?2ctg?q1?ctg?q2。 ?sinq??ctg?q?cos?q22注意到0?q?1，且r与ctgd?同号，即r与cosq?同号，故得r?cosq?（其中

q?P{(??a)?(?b?)）。 0

17、证：由题设得 Emax(?,?)?????????max(x,y)2?1?r2?12(1?r)2(x?2xy?y)22edxdy

?12(1?r)2?2?11?r2122?(x?2xy?y)??X22(1?r)dy???xdx?e??????????xdx?Y??(x?2xy?y)22e?dx? ???1?1?r?12???x2???xdx??x2X???12(1?r)2(x?2xy?y)22edy

(y?rx)22???1?r??1?r?12xe2dx?x?1?r??e2(1?r)dy

?????1?rt2xe2dx?1?r??e2dt

用部分积分法，令，余下部分为，得。

《概率论》计算与证明题 127 18、解：记S?p??q?,T?u??v?，则

ES?pa?qa?(p?q)a,ET?(u?v)a， DS?(p?q)?,222222DT?(u?v)? ，

covST?E(p(??a)?q(??a))(u(??a)?v(??a))?pu?22?qv? ，

?rST?pu?qvp?q22。

2u?v2

19、解：E|??a|k?12??12??2(x?a)2?22??????|x?a|eu2k?x?a?dx?令u????? ??????|u|eu2kk?2?du

???k?0uek?2du

??2kk?1??u??e????u22?????02??(k?1)?u0k?k?2e?u22du。

当k为偶数时

E|??a|?k2??(k?1)(k?3)?3?1??e0k??u22du?1?3?5?(k?3)(k?1)?k

当k为奇数时

E|??a|?k2??(k?1)(k?3)?4?2??ue0k??u22du?2?4??(k?3)(k?1)?k2?。

20、解：P{??1}?P{??1,??0}?P{??1,??1}

?P{??1|??0}P{??0}?P{??1|??1}P{??1} ?(1?p)r?pq

P{??0}?P{??0,??0}?P{??0,??1} ?P{??0|??0}P{??0}?P{??0|??1}P{??1} ?(1?p)(1?r)?(1?q)p P{??1}?P{??0}?1。

《概率论》计算与证明题 128 H(出)?H(?)??[(1?p)r?pq]log[(1?p)r?pq]?[p(1?q)?(1?p)(1?r)]?

?log[p(1?q)?(1?p)(1?r)]，

H?(出)?H?(?)

??P{??0}[P{??1|??0}logP{??1|??0}?P{??0|??0}logP{??0|??0}]?P{??1}[P{??0|??1}logP{??0|??1}?P{??1|??1}logP{??1|??1}]

??(1?p)[rlogr?(1?r)log(1?r)]?p[(1?q)log(1?q)?qlogq]

所以输出中含有输入的信息量H（入）－H出（入）为

H（入）－H出（入）＝H（出）－H入（出）

??[(1?p)r?pq]log[(1?p)r?pq]?[p(1?q)?(1?p)(1?r)]log[p(1?q)?(1?p)(1?r)]?(1?p)rlogr?(1?p)(1?r)log(1?r)?p(1?q)log(1?q)?pqlogq。

21、解：需要确定其结局的实验?有24个可能结局，即12个是假球，且它比真的轻或重。若认为全部结局是等概的，则实验?的熵H(?)?log24，即需要得到log24个单位信息。由称一次（随便怎样的）所构成的实验?，可以有3个结局（即天平可以向右斜或向左斜或保持平衡），进行k次复合试

k23验Ak??1?2??k后，可得到不大于klog3?log3的信息，而3?24?3，所以至少得称三次才可

以称出假球，且判明它比真球轻或重。

具体称法共有十几种，详见雅格洛姆著：“概率与信息”，这里仅取一法叙述如下： 第一次称：天平两端分放1、2、3、4和5、6、7、8，下余I、II、III、IV。 （A）若第一次称时平衡，则假球在I、II、III、IV中。 第二次称：天平两端分放I、II和III、1，注意1是真球。

（AA）若第二次称时平衡，则IV是假球；再把1和IV分放天平两端称第三次，可判别假球IV比真球1轻或重。

（AB）若第二次称进I、II较重（或轻）， 第三次称：天平两端分放I和II。

（ABA）若第三次称时平衡，则II是假球，且比真球较轻（或重）。

（ABB）若第三次称时不平衡，则与（AB）中同重（或轻）的那球是假球，且它比真球较重（或轻）。

（B）若长一资助称时1、2、3、4较重，则假球在天平上。 第二次称：天平两端分放1、2、5和3、4、6。

（BA）若第二次称时平衡，则7、8中之一为假球，由第一次称的结果知假球较轻，再把7和8分放天平两端称第三次，即可假球。

《概率论》计算与证明题 129 （BB）若第二次称时1、2、5较重，则或1、2中之一为假球，且它比真球较重，或6是假球且它比真球较轻。

第三次称：天平两端分放1和2。

（BBA）若第三次称进平衡，则6是假球且比真球轻。

（BBB）若第三次称时不平衡，则较重的一球是假球，且它比真球重。

（C）若第一次称时5、6、7、8较重，则只需把（B）中编号1、2、3、4与5、6、7、8依次互换，即得称法。

22、解：巴斯卡分布为P{??n}?Cnk??11qn?kpk,?n?k,k?1,?。其母函数为

P(s)??Cn?kkk?1n?1qn?kps(令m?n-k)

kkkkn??k?1m?k?1?p?Cm?0qssmmk?pskk?Cm?0mm?k?1(qs)m?ps(1?qs)。

?ksk?1(1?qs)k?ksk(1?qs)k?1q??kpksk?1?kE??P'(1)?p???， ??2kk?1?(1?qs)p??s?1?(1?qs)?s?1k?kpksk?1?P''(1)??k?1??(1?qs)??kp?k?s?1?(k?1)sk?2(1?qs)k?1?(k?1)(1?qs)kqSK?1??kp?? 2k?2(1?qs)??s?1k(k?1)(1?q)k?1?(k?1)(1?q)q2k?2k(1?qs)2?k?kqp22?kp，

D??P\?p'(1)?[P'(1)]?k?kqp22?k?kq??????2。 pp?p?pkk2

?1,23、证：设，?i???0,第i次成功第i次失败，?i???1,?0,第i次失败第i次成功

P{?i?1}?P{?i?0}?p,P{?i?0}?P{?i?1}?1?p。

01则?i的母函数为F1(s)?(1?p)s?ps?1?p?ps。

同理可得?i的母函数为F2(s)?p?(1?p)s，v的母函数记为G(s)。以?表示成功次数，则???1????v，本题认为{?n}与v独立，得?的母函数为P?(s)?G[F1(s)]。同理，以?表示失败次

数，则???1???v，其母函数为P?(s)?G[F2(s)]。

必要性。设?与?独立，则由v????得

G(1?p?ps)?G[p?(1?p)s]?G(s)。

因为(1?p?ps)?(p?s?ps)?1?s，所以若记上式左边G的变量分别为x,y，可得

《概率论》计算与证明题 130 G(x)G(y)?G(x?y?1)。

令G(x)?T(x?1)，则上式变成

T(x?1)T(y?1)?T(x?y?1?1)?T[(x?1)?(y?1)]。

利用教本P97引理可得

G(x)?T(x?1)?ax?1?e(x?1)。

即v的母函数G(s)?exp{?(s?1)}，这是普阿松分布的母函数。由于母函数与分布列之间是相互唯一确定的，所以得v是服从普阿松分布的随机变量。

充分性。设v服从普阿松分布，参数为?，则

?P{??r}??P{v?n}P{?n?r?1????v?r|v?n}

?1??P{v?n}P{?n?r????v?r}??n?rre???nn!Cnp(1?p)rrn?1

?e???r!?(n?r)!??(1?n?r1p)?n?r(?p)?e??p(?p)r!r。

同理可得 P{??t}?e??(1?p??(1?pt)??)?。

t!又有P{??r,??r}?P{v?r?t}P{??r|v?r?t}

e????r?t(r?t)!Crr?1p(1?p)?re???r?tp(1?p)rtr!t!?P{??r}P{??t}。

再由r,t的任意性即得证?与?独立。

24、证：（1）设?i的母函数为F(s)，v的母函数为G(s)。而???1????v，所P?(s)?G[F(s)]。由此得

E??P'?(1)?{G'[F(s)]?F'(s)}s?1?G'(1)?F'(1)?Ev?E?k

??i其中 F(1)??P{?j?0?j}?1?j?{?j?0i?j}?1。

2?D??P\?(1)?P'?(1)???P'?(1)?

?G'?F(s)???F'(s)??G'[F(s)]?F''(s)2?2??F'(1)G'(1)?[F'(1)?G'(1)]

s?122?G''(1)?F'(1)??G'(1)?F''(1)?F'(1)?G'(1)?[F'(1)?G'(1)]

《概率论》计算与证明题 131 ?G'(1)F\?F'(1)??F'(1)??Ev?D?k?Dv?(E?k)。

2?2??[F'(1)]{G''(1)?G'(1)?[G'(1)]22

（2）直接计算。由题设得

?P{??i}??P{v?m}P{?n?0?11????n?i|v?m}

?E???i?P{v?n}P{?i?0n?0??????n?i|v?n}

??P{v?n}?iP{?n?0i?01????n?i}

利用E(?1????n)?nE?1得

?E???P{v?n}nE?n?0??21?Ev?E?1。

E??2?i?P{v?n}P{?i?0n?02??1????n?i|v?n}??P{v?n}?in?0i?0P{?1????n?i}

记???1????n，利用E?2?D??(E?)2及D??nD?1得

E??2?P{v?n}?D(?n?0??1????n)?[E(?1????n)]2?

??P{v?n}??nD?n?02122?n(E?1)??

??2??Ev?D?1?(E?1)??nP{v?n}?

?n?0?222222最后，再利用Ev?Dv?(Ev)得E??Ev?D?1?Dv?(E?1)?(Ev)?(E?1)。

?D??E??(E?)?Ev?D?1?Dv?(E?1)。

222

25、证：必要性。由F(x)?1?F(?x?0)得P{??x}?P{???x}?P{???x}，此即F?(x)?F??(x)，所以对特征函数f(t)有

f(t)?Eeit???eitxdF?(x)??edF??(x)?Eeitx?it??f(t)，

由此知f(t)是实函数。又有

《概率论》计算与证明题 132 f(?t)??e?itxdF?(x)??e?itxdF??(x)?Ee?it(??)?Eeit??f(t)，

所以f(t)又是偶函数。

充分性。由于f?(?t)?Ee?it??Eeit(??)?f??(t)，又由题设知f?(t)是实函数，所以f?(t)?f(t?)??(x)，即f?(。t)由唯一性定理知，?与??的分布函数相同，F?(x)?F??P{??x}?P{???x}?P?{?1,?0,x?[0,1]x?[0,1]，从而??x}F(x)?1?F(?x?0)。

26、解：p?(x)??。当t?0时f(t)?1；当t?0时

1f(t)?1?10edx?itx1iteitx0?1it(e?1)。

it27、证：f(t)?????eitx??????x-???dx令u??? 22??(x??)???it?u??1?eit??e11?u2du （1）

考虑复变函数的积分，当t?0，取c为上 y 半圆周??Rei?(0????)和实轴上从?R到R c 的围道（如图），若u位于上半圆周上，则 ?i x u?Re，du?iRed?，有 -R 0 R

tt?zi?i??对I1有 limI1?R??Ce11?z2dz??R?Reit?u11?u2du??iRe0?t?eit?Re2t?1?Ret?d??I1?I2 （2）

????ei?tu121?udu。

?t?Rsin?由t?0及题设??0得0?e?1，所以对I2有

|I2|?R??0eit?Rsin?22i?1?Re?0d??RR2??1?0e??tRsin?d?

?R?R?12 （当R???时） （3）

在上半平面上，仅有z?i是被积函数的一阶极点，由复变函数中留数定理得，对任何R?1有

?其中

Cett?z11?z2dz?2?i?c?1?2?ie??t2i?e??t （4）

《概率论》计算与证明题 148 P{??a?b,??c?d}?P{??a?b}P{??c?d}

****此即P{??a,??c}?P{??a}?P{??c}。同理可证

P{??a,??d}?P{??a}?P{??d}，P{??b,??c}?P{??b}?P{??c} P{??b,??d}?P{??b}?P{??d}，

从而?与?独立。

77、证：EU?aEX?b,DU?a2DX，EV?cEY?d,DV?c2DY，

cov(U,V)?Ea(X?EX)c(Y?EY)?ac?cov(X,Y)，

rUV?cov(U,V)|a|DX|c|D(Y)?ac|ac|rxy。

欲rUV?rxy，题中需补设a与c同号。

78、证：E?p???ArAxrp1xr?1dx???ArAr1xr?p?1dx。当且仅当r?p?1?1，即p?r时上式积分收

敛，E?p存在。当时，

E?p1?r??A??r?p?r?p?x?r??Arr?pA。

p

79、证：对a?0，由于limax(logx)dx?22x????，所以存在M?e，使当x?M时，

ax(logx)2?1此时

E|?|?2?aa?0x2x(logx)??01x2x(logx)?xdx?2??M1xdx??，

?E|?|??。

280、证：ak?1t?2akt?ak?1???t????2|x|k?1?2t|x|?|x|2tk?1?dF(x)

11(k?1)(k?1)?????t|x|2?|x|2?dF(x)?0 ????22即u(t)?ak?1t?ak?1?0对任意t成立。又ak?1?0，所以判别式??4ak?4ak?1ak?1?0，即

《概率论》计算与证明题 149 ak?ak?1ak?1，从而有ak?ak?1ak?1。依次令k?1,2,?,n?1得

a1?a0a2,a2?a1a3,?,an?1124222(n?1)22kkk?an?2ann?1n?1

其中a0?1。把这些不等式中前k个的左右两边分别相乘化简得akk?1?akk?1，两边同开k(k?1)次方，即得

81、证：（1）设?1~b(k;n,p),?2~b(k;m,p)，则它们的母函数分别为P1(s)?(ps?P2(s)?(ps?q)。再设?1与?2独立，???1??2，则?的母函数为

mkak?k?1ak?1。

q),

nP?(s)?P1(s)?P2(s)?(ps?q)(ps?q)?(ps?q)nmn?m

二项分布b(k;n?m,p)的母函数为(ps?q)n?m，由于母函数与分布列之间是相互唯一确定的，由此即得?服从b(k;n?m,p)，即二项分布具有再生性。

（2）设?1,?2分别服从参数为?1,?2的普阿松分布，其母函数分别为

P1(s)?exp{?1(s?1)},P2(s)?exp{?2(s?1)}。再设?1与?2独立，???1??2，则?的母函数为 P?(s)?1P(s)2P(?s)ex?p1?{?(2?s)(。 1)}所以?服从参数为?1??2的普阿松分布，普阿松分布具有再生性。

82、证：必要性。由F(x)?1?F(?x?0)得P{??x}?P{???x}?P{???x}，此即F?(x)?F??(x)，

所以对特征函数f(t)有

f(t)?Eeit???edF?(x)??edF??(x)?Eeitxitx?it??f(t)，

由此知f(t)是实函数。又有

f(?t)??e?itxdF?(x)??e?itxdF??(x)?Ee?it(??)?Eeit??f(t)，

所以f(t)又是偶函数。

充分性。由于f?(?t)?Ee?it??Eeit(??)?f??(t)，又由题设知f?(t)是实函数，所以

(x)，即f?(t)?f?(t)?f??(t)。由唯一性定理知，?与??的分布函数相同，F?(x)?F??P{??x}?P{???x}?P{???x，从而}F(x)?1?F(?x?0)。

《概率论》计算与证明题 150 83、证：由上题得f?(t)?f?(t)?e?|t|，所以由????2?得

?|2t|f???(t)?f2?(t)?e?e?2|t|?f?(t)?f?(t)。

但?与?并不独立，事实上，可取c使0?P{??c}?1，则

P{??c,??c}?P{??c}?P{??c}?P{??c}，

这说明由?与?独立可推得f???(t)?f?(t)?f?(t)，但反之不真。

84、证：记?i2的分布函数为F(y)，则当y?0时F(y)?0；当y?0时

F(y)?P??y??i?y???y?y12?e?12x2dx，

利用对参变量积分求导法则，对F(y)求导可得?i2的分布密度p(y)当y?0时p(y)?0；当y?01时 p(y)?12?e?12y?1?2???11??2??y????2y2y?1????????2?21?12e?1y2。

把此式与X2?分布密度比较可知，?i服从自由度为1的X2?分布，也就是服从??分布

?11?2G?,?。由?i间独立得?i间也独立，利用上题结论可得???22?n2??i服从??分布G?i?1?11?,n?，22??即自由度为n的X2?分布。再由上题中??分布具有再生性可得，这里X2?分布也具有再生性。

85、证：f(t)是实值函数，复数部分为0，只需对实部计算。

1?f(2t)?????(1?cos2tx)dF(x)??????2sintxdF(x)

???2?2?1?f(2t)???(1?costx)(1?costx)dF(x)?4????2(1?costx)dF(x)?4(1?f(t))。

????(1?cos2tx)dF(x)?2????2costxdF(x)

2?2??costxdF(x)?2?2(f(t))，

其中利用柯西——许瓦兹不等式（置?(x)?costx,?(x)?1）

??(x)?(x)dF(x)?????2???2(x)dF(x)????2(x)dF(x)。

?

《概率论》计算与证明题 151 86、证：由????b得f?(t)?eitbf?(t)，亦有logf?(t)?itb?logf?(t)。当k?1时，等式两边同对t求k阶导数，itb一项导数为0所以由定义得?的Xk等于?的Xk。

87、证：当x?0时有

??xe?12x2dt???xtx4e?t2121??t?dt??e2?x??21??x1xe?12x2

?12?t2?

?xe12?t2dt???xt?2t?1t?2t?1422e12?t2dt???x1212?t??t?t?td??e2??e222?1?t?1?t?xx1?x2e

所以不等式成立。

88、证：因为?k,?1(|k?l|?2)是独立的，所以

n?111?n??n??n?2?E(??E?)?2(??E?)(??E?) D??E(??E?)?kkkk?1k?1?k???k?2??k22??knnnk?1?k?1??k?1??k?1?12?nn2D?k?2n2n?1?k?1rk,k?1?2??2??nn22?3n?2?0(n??)

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