2016届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试 理数试题 含解

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设集合M?{x|x2?x?6?0}，N?{x|x?1?0}，则MN?（ ）

A．（1,2） B．（1,3） C．（-1,2） D．（-1,3） 【答案】B 【解析】

考点：集合的交集运算.

2.若命题?:?x0?R，x0?2?lgx0，则??是（ ）

A．?x0?R，x0?2?lgx0 B．?x0?R，x0?2?lgx0 C．?x?R，x?2?lgx D．?x?R，x?2?lgx 【答案】D 【解析】

试题分析：因存在性命题的否定是全称命题,故应选D. 考点：含一个量词的命题的否定. 3.已知cos2??344，则sin??cos?的值是（ ） 54343A． B． C．? D．?

5555【答案】D 【解析】

44试题分析：因sin??cos??sin??cos???cos2???,故应选D.

2235考点：三角变换及运用.

x2?y2?1的渐近线的距离为（ ） 4.圆x?y?4x?0的圆心到双曲线322A．1 B．2 C．3 D．23 【答案】A

- 1 -

【解析】

试题分析：因双曲线的一条渐近线为x?3y?0,故圆心C(2,0)到这条直线的距离d?A.

考点：圆与双曲线的标准方程及运用.

5.执行如图所示的程序框图，若输入的x,y?R，则输出t的最大值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．0

23?1?1,应选

【答案】C 【解析】

考点：算法流程图及线性规划的知识的综合运用.

6.从一个棱长为1 的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体 积为（ ）

A． B． C． D．

23561234 - 2 -

【答案】B 【解析】

试题分析：从三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是正方体中去掉一个角所剩余的部分.其体积为V?1?1?1?115??1?1?1?,应选B. 326考点：三视图的识读和理解.

7.某学校一共排7节课（其中上午4节，下午3节），某教师某天高三年级1班和2班各有一节课， 但他要求不能连排2节课（其中上午第4节和下午第1节不算连排），那么该教师这一天的课的所有可能 的排法种数共有（ ）

A．16 B．15 C．32 D．30 【答案】C 【解析】

考点：两个计数原理及运用.

8.已知抛物线C:y2?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点， 若FP?4FQ，则|QF|?（ ） A．3 B．【答案】A 【解析】

573 C． D． 222 - 3 -

考点：抛物线的几何性质等有关知识的综合运用．

【易错点晴】抛物线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用抛物线的几何性质和题设中的条件将问题转化为求点

Q(x0,y0)的问题.解答时充分运用题设条件FP?4FQ建立方程组,然后通过解方程组求得点Q(x0,y0)的横坐标为x0?1.再应用抛物线的定义求得|QF|?x0?2?3.借助抛物线的定义进行转化是解答好本题的关键.

E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1上的动点，且A1F// 9.如图，正方体ABCD?A1BC11D1中，

平面AD1E，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（ ） A．{t|C．{t|2235?t?} B．{t|2?t?23} 5325?t?23} D．{t|2?t?22} 5

【答案】D 【解析】

试题分析：建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),D1(0,0,1),E(,1,0),F(m,1,n),所以

121AD1?(?1,0,1),AE?(?,1,0),A1F?(m?1,1,n?1),设平面AD1E的法向量为n?(x,y,z),则由题设

2??x?z?0??AD1?n?0?,即?1,令x?2,则n?(2,1,2),所以由A1F//平面AD1E,则n?A1F?0,即??x?y?0???n?AE?0?22(m?1)?1?2(n?1)?0,也即m?n?向

量

为

322,所以|A1F|?(m?1)?(n?1)?1.因平面BCC1B1的法2与

平

面

n?(0,1,0),故

A1FBCC1B1,

所成正

角

?的切

正弦值值

n?A1F1s?i?n?|n|?|A1F|(m?1)2?(n?1)2?1 - 4 -

t?tan??1(m?1)?(n?1)221(0?m?)2522m?3m?41,令

u?2m2?3m?54,则

umin?11,umax?,所以2?tan??22,即2?t?22,所以应选D. 82zD1C1A1B1FDOECyAxB

考点：空间向量的数量积及运用.

?x?x,x?0,??e10.已知函数f(x)??，g(x)??4x?a2x?1?a2?a?1(a?R)，若f(g(x))?e对

?lnx,x?0??xx?R恒成立（其中e是自然对数的底数），则a的取值范围是（ ）

A.[?1,0] B．（-1,0） C．[?2,0] D．[?【答案】A 【解析】

1,0] 2

?x?e,可得x??1,故不等式f(g(x))?e可化为g(x)??1,即不等式?4x?2a?2x?a2?a?0xe22x在(??,0]恒成立，令t?2,t?(0,1],也即不等式?t?2at?a?a?0在(0,1]上恒成立.当对称轴

a?0时,只需a2?a?0,即?1?a?0时不等式恒成立;当a?1时,只需?1?2a?a2?a?0,但这不

- 5 -

222可能；当0?a?1时,则只需?a?2a?a?a?0,这也不可能.所以综上实数a的取值范围是

?1?a?0,应选A.

考点：导数和函数的图象及性质等有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.

?x?,x?0,??ex解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用求导法则对函数f(x)??的分类求其导

lnx?,x?0??x数,借助导数与函数的单调性的关系从细微的角度研究函数的图象和性质.搞清函数的图象的大概形状,从而将不等式f(g(x))?e化为g(x)??1,再借助函数的f(x)的图象,将问题进一步转化为几不等式

?4x?2a?2x?a2?a?0在(??,0]恒成立问题,然后分类求出满足题设条件的实数a的取值范围,从而

使得问题获解.

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）

11.复数z?【答案】1 【解析】

2i（i是虚数单位）的虚部是_______. 1?i

考点：复数的有关概念和运算．

12.在二项式(x?)的展开式中，常数项的值是__________.（用具体数字作答） 【答案】?160 【解析】

试题分析：因Tr?1?C6x3C6(?2)3??8?r6?r2x62(?)r?C6r(?2)rx6?2r,令6?2r?0得r?3,故常数项是x6?5?4??160,应填?160.

3?2?1考点：二项式定理及运用．

13.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.

- 6 -

若该港口的水深y(m)和时刻t(0?t?24)的关系可用函数y?Asin(?t)?h（其中A?0，??0，

h?0）来近似描述，则该港口在11:00的水深为___________.

【答案】4 【解析】

考点：三角函数的图象和性质在实际生活中的运用.

【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的图象和性质为背景设置了一道求函数解析表达式为y?Asin(?t)?h的实际应用问题.解答本题时,首先要求确定其中的未知参数A,?,h的值,然后再求t?11时的函数值.体现了三角函数的图象和性质等有关知识的在实际问题中的运用价值.解答过程中先求A,?,h的值时,充分利用题设中提供的数表信息,通过建立方程组,从而求出A,?,h的值,进而使得问题获解.

14.若直线ax?y?a?1?0(a?R)与圆x2?y2?4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则

AOAB的最小值为_________.

【答案】4 【解析】

考点：直线与圆的位置关系及综合运用.

【易错点晴】直线和圆的位置关系是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题

- 7 -

以两条平行直线与圆的位置关系为背景,设置了一道求圆方程中的参数a的取值范围的问题.求解时充分借助题设条件“直线ax?y?a?1?0(a?R)与圆x2?y2?4有两个不同的交点”,然后依据弦心距与圆的半径弦长之间的数量关系求出AO?AB?AO?OA?OB?8?2d2,再转化为

22211(a?1)2的最大值,也就是求2??1的最小值问题.最后通过求得当??,即d?()?2tt2ta?1a2?12|a?1|2t??2时,

解.

2212??1,dmax?2,求得AOAB取最小值为8?4?4,使得问题简捷巧妙获取最小值为

2t2t15.函数f(x)图像上不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)处的切线的斜率分别是kA，kB，|AB|为A、B 两点间距离，定义?(A,B)?|kA?kB|为曲线f(x)在点A与点B之间的“曲率”，给出以下命题：

|AB|①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；

②函数f(x)?x?x?1图像上两点A与B的横坐标分别为1,2，则 “曲率” ?(A,B)?3； ③函数f(x)?ax2?b(a?0,b?R)图像上任意两点A、B之间 的“曲率” ?(A,B)?2a； ④设A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线f(x)?ex上不同两点，且x1?x2?1，若t?(A,B)?1恒成立，则实数

32t的取值范围是(??,1).

其中正确命题的序号为_____________(填上所有正确命题的序号). 【答案】①③ 【解析】

- 8 -

考点：函数的图象性质及导数等有关知识的综合运用．

【易错点晴】函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以定义新的概念“?(A,B)?|kA?kB|为曲线f(x)在点A与点B之间的“曲率”为背景精心设置了一道选

|AB|择填空形式的问题.重在考查推理判断的推理论证能力,求解时要充分借助题设中新定义的新的信息,对所给的四个命题进行逐一检验和推断,最后通过推理和判断得出命题①③是真命题,命题②④是假命题,从而获得本题的正确答案为①③.

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（本小题满分12分）

设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3?（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?log2【答案】(Ⅰ)an?【解析】

试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用等比数列的知识求解；(Ⅱ)借助题设条件运用等差数列的知识求解. 试题解析：

39，S3?. 226a2n?1，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn?n?105成立的n的值. 231n?1或an?6?(?)；(Ⅱ)n?70或10. 2239，S3?， 229当q?1时，S3?3a1?3a3?，…………………………1分

2（Ⅰ）因为a3?

- 9 -

则an?3；…………………………2分 223a1(1?q3)9当q?1时，a1q?，?，…………………………3分

21?q2所以a1?6…………………………4分

1q??，…………………………5分

2综上可得：数列{an}的通项公式为an?31n?1或an?6?(?)；…………………………6分 22

故数列{bn}为等差数列，所以Tn?n(n?1)．…………………………11分 由Tn?nn?105，得：n(n?1)??105， 22所以n?10；

综上知，n?70或10．…………………………12分 考点：等比数列等差数列等有关知识的综合运用． 17.（本小题满分12分） 若对PM2.5采用如下标准：

某市环保局从180天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示 （十位为茎，个位为叶）.

（Ⅰ）从这10天的数据中任取3天的数据，记?表示空气质量达到一级的天数，求?的分布列； （Ⅱ）以这10天的PM2.5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到

- 10 -

一 级?

【答案】(Ⅰ)分布列见解析；(Ⅱ)72. 【解析】

试题分析：(Ⅰ)借助题设条件排列组合数公式求解；(Ⅱ)借助题设条件运用贝努力分布的公式求解. 试题解析：

所以，?的分布列为：

…………………………7分

（Ⅱ）由已知可得总体容量N?10，空气质量达到一级的天数M?4，…………………………8分

2，…………………………9分 52所以180天中PM2.5日均值空气质量达到一级的概率为；…………………………11分

52设?为180天中每天空气质量达到一级的天数，则?B(180,)，

52E??180??72，

5因为这10天中PM2.5日均值空气质量达到一级的频率为

因此180天中空气质量达到一级的天数为72天.…………………………12分 考点：随机变量的概率分布列和贝努力分布等有关知识的综合运用． 18.（本小题满分12分）

- 11 -

?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知3a?3ccosB?bsinC.

（Ⅰ）求C的值；

（Ⅱ）若D是AB上的点，已知cos?BCD?13，a?2，b?3，求sin?BDC的值. 14【答案】(Ⅰ) C?【解析】

?3；(Ⅱ)

321. 14试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用正弦定理及三角变换的公式求解；(Ⅱ)借助题设条件运用余弦定理及三角变换公式求解. 试题解析：

（Ⅱ）由余弦定理：AB?(2)?(3)?2?2?3?2221?7，所以AB?7，…………………………7分 2因为cos?BCD?13?33且0?BCD?，所以sin?BCD?，…………………………8分 14314321(2)2?(3)2?(7)27因为cos?ABC?，所以sin?ABC?，…………………………9分 ?14142?2?7所以sin?BDC?sin(??(?BCD??CBD))…………………………10分

?sin(?BCD??CBD)

?sin?BCDcos?CBD?cos?BCDsin?CBD…………………………11分

?

33713321321????．…………………………12分 1414141414- 12 -

考点：正弦定理余弦定理和三角变换等有关知识的综合运用． 19.（本小题满分12分）

如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB//DC，AD?CD，?ADE是正三

角形，CD?DE?2AB，CE?2CD.

（Ⅰ）求证：平面CDE?平面ADE； （Ⅱ）求二面角C?BE?A的余弦值.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)?【解析】

试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；(Ⅱ)借助题设条件运用二面角的定义进行转化为平面角或运用空间向量的数量积公式求解. 试题解析：

证明：（Ⅰ）因为CD?DE，CE?2226. 42CD，

所以CD?DE?CE，…………………………1分 所以CD?DE,…………………………2分 因为AD?CD,

所以CD?平面ADE，…………………………4分 因为CD?平面CDE，

所以平面ADE?平面CDE，…………………………6分

- 13 -

在?NEP中，所以PE?2， 5因为

PGAB1?，所以PG?,…………………………9分 PEAE5所以EG?1，…………………………10分 过G作GR?ME，则R是ME中点， 所以NG?NM?RM?RG?1?222222213??2，…………………………11分 44在?NPG中，NG?NP?PG?2NP?PG?cos?NPG， 所以cos?NPG??66，即二面角C?BE?A的余弦值为?．…………………………12分 44 - 14 -

设CD?2，则NF?2，

在Rt?BNE，BN?3，NE?2, 所以NO?NF156，tan?NOF?， ?ON356，…………………………11分 46．…………………………12分 4所以cos?NOF?所以二面角C?BE?A的余弦值为?

法三：（Ⅲ）过点D作DF?平面CDE，由（Ⅰ）知：平面ADE?平面CDE， 所以DF?平面ADE，…………………………7分

以D为原点，分别以DC、DE、DF为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则C(2,0,0)，E(0,2,0)，A(0,1,3)， 因为BA//CD，且BA?1CD， 2所以B(1,1,3)，…………………………8分

?CE?(?2,2,0)，CB?(?1,1,3)，EA?(0,?1,3)，BE?(?1,1,?3)，

- 15 -

考点：空间直线与平面的位置关系和空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用． 20.（本小题满分12分）

31x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点P(1,)，其离心率为.

22ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），若D在MN上，且AD?MN，

|AD|2?|MD||ND|，证明直线l过定点.

x2y2??1；(Ⅱ)证明见解析. 【答案】(Ⅰ)43【解析】

试题分析：(Ⅰ)借助题设条件建立方程组求解；(Ⅱ)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立方程求解推证. 试题解析：

- 16 -

?c1?a?2?9?1（Ⅰ）由已知得?2?2?1,：…………………………3分

4b?a?a2?b2?c2??解之得：a?2，b?3，

x2y2所以椭圆C的方程??1；…………………………4分

43

所以??(8km)2?4(3?4k2)?(m2?3)?0，即4k?m?3?0，(*)，

228km4m2?12且x1?x2??，x1x2?，…………………………8分 223?4k3?4k设M(x1,y1)，N(x2,y2)，因为?MAN?90，

所以AMAN?0，即：(x1?2)(x2?2)?y1y2?0，…………………………9分

4m2?1228km2(k?1)?(km?2)(?)?m?4?0，…………………………10分 所以223?4k3?4k整理得：4k?16km?7m?0，

22 - 17 -

考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条

?c1?a?2?9x2y2?1??1.第二问的求解过程中,先将直线件建立方程组?2?2?1,,然后求得椭圆的标准方程为

4b43?a?a2?b2?c2??x2y2l:y?kx?m与椭圆方程??1联立方程组,消去变量y求得(3?4k2)x2?8kmx?4(m2?3)?0,

43222再利用题设条件AD?MN，|AD|?|MD||ND|,即AMAN?0,求出4k?16km?7m?0解得

k??7mm2

或?,进而推证得直线l:y?kx?m过定点(,0).从而使得问题获解. 227

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)?lnx?a(x?1)，（其中a?0，e是自然对数的底数）. （Ⅰ）若关于x的方程f(x)?121x?x?a有唯一实根，求(1?lna)a2的值； 2ae?1e2?1?a?（Ⅱ）若过原点作曲线y?f(x)的切线l与直线y??ex?1垂直，证明：； ee（Ⅲ）设g(x)?f(x?1)?e，当x?0时，g(x)?1恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(Ⅰ)【解析】

试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用导数的知识求解；(Ⅱ)借助题设条件运用导数的知识推证；(Ⅲ)依据题设条件运用导数的知识求解. 试题解析：

x1；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)(0,2]. 2 - 18 -

（Ⅱ）因为过原点所作曲线y?f(x)的切线l与直线y??ex?1垂直， 所以切线l的斜率为k?11，且方程为y?x. ee设l与曲线y?f(x)的切点为(x1,y1)，

1?'f(x)?1?e?所以?y1?lnx1?a(x1?1)，…………………………5分

?1?y1?x1e?所以a?1111?，且lnx1?1???0，…………………………6分 x1ex1e1111?，则m'(x)??2?， xexx令m(x)?lnx?1?所以m(x)在（0,1）上单调递减，在(1,??)上单调递增. 若x1?(0,1)，因为m()??2?e?1e11?0，m(1)???0， ee所以x1?(,1)，…………………………7分

1e1e?1e2?111?a?而a??在x1?(,1)上单调递减，所以.

eeex1e若x1?(1,??)，因为m(x)在(1,??)上单调递增，且m(e)?0，则x1?e， 所以a?

11??0（舍去）.…………………………8分 x1e- 19 -

e?1e2?1综上可知，；……………………………9分 ?a?ee

②当a?2时，

因为g'(x)在[0,??)上递增，…………………………12分 因为g'(0)?2?a?0，则存在x0?(0,??)，使得g'(x0)?0. 所以g(x)在(0,x0)上递减，在(x0,??)上递增，

又x?(0,x0)时，g(x)?g(0)?1，所以g(x)?1不恒成立，不合题意.………………………………13分 综合可知，所求实数a的取值范围是(0,2]．………………………………14分 考点：导数在研究函数的单调性和最值等方面的有关知识的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助方程有根,将问题转化为函数h(x)?lnx?121x?(a?)x有零点的问题,建立了含2aa的方程1?lna?lnx1?1?111?lna?,从而求得；第二问中借助导数,运用导数的几何意义建立方程

2a22a21111??0,然后构造函数m(x)?lnx?1??,运用导数进行推证；第三问的求解中则借助导

xex1e数与函数单调性的关系,运用分类整合的数学思想进行分类推证,进而求得实数a的取值范围是(0,2],从而使得问题简捷巧妙获解.

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