福建省泉州市2017届高考数学考前适应性模拟卷二理

泉州市2017届高三高考考前适应性模拟卷（二）

理 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页．

2．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效． 4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． （1）复数z满足z

?3?i?1?3i,则z?

（B）3 （C）2 （D）23 ?（A）1

2（2）随机变量X服从正态分布3,?,且P?X?4??0.84,则P?2?X?4??

??（A）0.16 （B）0.32 （C）0.68 （D）0.84

?2x?y?0,y?（3）若x,y满足约束条件?x?2y?2?0,则z?的最大值为

x?x?1?0.?（A）1

（B）2 （C）3 （D）4

3（4）已知a?log23,b?log47,c?0.3??2,则a,b,c的大小关系为

（A）b?a?c （B）a?b?c （C）c?a?b （D）c?b?a （5）已知sin2??（A）???12?,则cos?????

4?3?1122 （B） （C）? （D） 3333 - 1 -

（6）某三棱锥的三视图如图所示,正视图和俯视图都是等腰直角三角形,则该三棱锥中棱长最大值是

（A）25 （B）23 （C）22 （D）5 2y2（7）过双曲线x??1右支上一点P分别向圆C1:?x?4??y2?4与圆

152C2:?x?4引切线,切点分别是M,N,则PM?PN的最小值为 ??2y?1（A）10 （B）13 （C）16 （D）19

（8）如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行.

点A,B是“六芒星”（如图1）的两个顶点,动点P在“六芒星”上（内部以及边界）,

若OP?xOA?yOB, 则

222????????????x?y的取值范围是

（A）??4,4?

A

?（B）???21,21?

（C）??5,5? （D）??6,6?

O B O 图1 六芒星 图2 （9）设函数f?x??Asin??x????A?0,??0?,若f?????2??f???2??3????f??????,且f?x??6?在区间?（A）

????,?上单调,则f?x?的最小正周期是 6?2???? （B） （C）　 （D）?

263（10）设四棱锥P?ABCD的底面不是平行四边形, 用平面?去截此四棱锥,使得截面四边形

是平行四边形,则这样的平面?

（A）有无数多个 （B）恰有4个 （C）只有1个 （D）不存在 （11）函数f?x???x?1?e?kx?k??,1??,则f?x?在?0,k?的最大值h?k??

x2???1???2?? - 2 -

?1 （A）2ln2?2??ln2? （B）　（C）2ln2?2??ln2?k

23（D）?k?1?e?k

k3（12）5支篮球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛）,任两支球队之间胜率都是

1.2单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.有下列四个命题：

p1：恰有四支球队并列第一名为不可能事件； p2：有可能出现恰有两支球队并列第

一名；

p3：每支球队都既有胜又有败的概率为

为

17； p4：五支球队成绩并列第一名的概率323. 32其中真命题是

（A）p1,p2,p3 （B）p1,p2,p4 （C）p1.p3.p4 （D）p2.p3.p4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题～第（21）题为必考题,每个试题考生都必须做答．第（22）、（23）题为选考题,考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． （13）某车间需要确定加工零件的加工时间,进行了若干次试验.根据收集到的数据（如下表）：

零件数x（个） 加工时间y（分钟） 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 ??0.67x?a?,则a?的值为_________． 由最小二乘法求得回归直线方程y（14）如图所示,图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为________．

x2y2?1的左,右焦点分别为F（15）椭圆?1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于

43P,Q 两点,则△F1PQ的内切圆面积最大值是________.

（16） ?ABC中,D为线段BC的中点,AB?2AC?2,tan?CAD?sin?BAC,则

BC?________.

三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． （17）（本题满分12分）

在数列?an?中,a1?1,an?1?(n?1)an?(n?1)!.

- 3 -

?an?（Ⅰ）求证：数列??是等差数列,并求{an}的通项公式；

?n!?（Ⅱ）求?an?的前n项和Sn．

- 4 -

（18）（本小题满分12分）

某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理,处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p?0?p?1?.经化验检测,若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.

某厂现有4个标准水量的A级水池,分别取样、检测. 多个污水样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达．．．．．标,则原水池的污水直接排放.

现有以下四种方案, 方案一：逐个化验；

方案二：平均分成两组化验；

方案三：三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验； 方案四：混在一起化验.

化验次数的期望值越小,则方案的越“优”.

（Ⅰ） 若p?2,求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率； ．．．52,现有4个A级水样本需要化验,请问：方案一,二,四中哪个最“优”？ 5（Ⅲ） 若“方案三”比“方案四”更“优”,求p的取值范围.

（Ⅱ） 若p?

（19）（本小题满分12分）

o如图,三棱柱ABC?A1B1C1中,侧面ABB1A1为菱形且?BAA1?60,D,M分别为

CC1和A1B的中点,A1D?CC1,AA1?A1D?2,BC?1．

（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC； （Ⅱ）求二面角B?AC?A1的余弦值．

（20）（本小题满分12分）

BACDC1A1MB1

已知圆M:(x?a)2?(y?b)2?9,M在抛物线C:x2?2py(p?0)上,圆M过原点且与C的准线相切.

(Ⅰ) 求C的方程；

(Ⅱ) 点Q?0,?t?(t?0),点P（与Q不重合）在直线l：y??t上运动,过点P作C的

- 5 -

两条切线,切点分别为A,B.求证：?AQO??BQO（其中O为坐标原点）.

（21）（本小题满分12分）

已知函数f?x??x?x,g?x??e?ax?1．

2x（Ⅰ）讨论函数g?x?的单调性；

（Ⅱ）当x?0时,f?x??g?x?恒成立,求实数a的取值范围．

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

3C:??,2C1:?2?4?cos??3?0,???0,2??,曲线??????0,2??．

4sin?????6?

（Ⅰ）求曲线C1的一个参数方程；

（Ⅱ）若曲线C1和曲线C2相交于A、B两点,求AB的值．

（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

1已知函数f?x??x?a?x?1的最小值为2．

2（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若a?0,求不等式f?x??4的解集．

- 6 -

理科数学试题答案及评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试

题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题

的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）A （2）C （3）B （4）C （5）D （6）B （7）B （8）C （9）D （10）A （11）D （12）A 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

（13）54.9 （14）

140π 3 （15）9π （16）3 16部分选填详解

（12）p1为真：因为若出现四支球队并列第一名，则第一名的胜场数不可能为3或者4（因为如此需要超过10个单场胜利者）并列赢两场，那么自然就是五队同名次，所以不可能恰有四支球队并列第一.

p2为真.p3为真：5支球队单循环一共是10场比赛，所以有210个不同的结果，由于胜率都116是，故认为所有不同比赛结果都是等可能的. 记有全胜的比赛可能结果为C52种，有全败21623的比赛可能结果为C52种.既有全胜又有全败的结果为A52种，则既无全胜又无全败的结果

10161623为2?C52?C52?A52种.命题p3的概率为1616210?C52?C52?A5223 1025?2720?235517=1?10?10?1???,故p3是正确的.

2283232p4为假：若五支球队成绩并列第一名则必出现

a

b e a?b?c?d?e?a，同时a?c?e?b?d?a，

也就是彼得森图.规定外圈顺时针为胜，

A55那么外圈一共有种不同排列，内圈只有两种，

5483故一共有48种，所以概率为10?.

264（16）解法一：如图，设?CAD??，?BAD??， 则?CAB????.有中线性质可得sin??2sin?. 由题意知tan?CAD?sin?CAB 即tan??sin?????. 切化弦可得

c d

A

??sin??sin????? cos?C D- 7 -

B

故sin??sin??????cos?，从而可得2sin??sin??????cos?，利用角的变形可得

2sin????????????sin??????cos?，

展开得sin??????cos??2cos??????sin?，两边同除以cos?（cos??0） 可得sin??????2cos??????tan?，又因为tan??sin?????， 化简得2cos??????1，故cos??????1. 2所以BC2?AB2?AC2?2AB?AC?cos??????3，故BC?3.

解法二：（建系）以点A做坐标原点,AB为X轴建立直角坐标系.具体（略）.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意，an?1??n?1?an??n?1?!?所以?an?1a?n?1， ············· 2分

?n?1?!n!a1?an?3分 ?是以?1为首项，1为公差的等差数列， ················

n!1??a所以n?1??n?1??1?n， ··························· 5分

n!即an?n?n!． ································· 6分

（Ⅱ）因为an?n?n!??n?1?!?n!， ························ 8分 所以Sn??2!?1!???3!?2!???????n?1?!?n!??， ················ 10分 所以Sn??n?1?!?1． ···························· 12分 （18）（本小题满分12分）

?2?4解：（Ⅰ）该混合样本达标的概率是?···················· 2分 ??5；

?5?41所以根据对立事件原理，不达标的概率为1??． ················ 4分

55（II）方案一：逐个检测，检测次数为4．

方案二：由（I）知，每组两个样本的检测时，若达标则检测次数为1，概率为不达标则检测次数为3，概率为率分布列如下，

24；若51． 故方案二的检测次数?2，?2可能取2，4，6．概5?2 P 2 4 6 ?4? ???5?214C?? 5512?1? ???5?2- 8 -

168170?4??6??， ··········· 6分 25252525方案四：混在一起检测，记检测次数为?4，?4可取1，5．概率分布列如下，

可求得方案二的期望为E??2??2?

可求得方案四的期望为E??4??1??4 P 1 5 4?2??? ?5??2?1??? ?5?416961?5??． ················ 8分 252525比较可得E??4??E??2??4，故选择方案四最“优”． ··············· 9分 （III）解：方案三：设化验次数?3，?3可取2，5．

?3 2 P p3

方案四：设化验次数?4，?4可取1，5．

5 1?p3 E??3??2?p3?5?1?p3??5?3p3； ······················ 10分

?4 P 1 5 p4 1?p4 E??4??1?p4?5?1?p4??5?4p4； ······················ 11分

由题意得E??3??E??4??5?3p?5?4p?p?343． 4故当0?p?3时，方案三比方案四更“优”． ·················· 12分 4（19） （本小题满分12分）

解法一：∵A， ?AC1D?CC1，且D为中点，AA1?A1D?2，∴AC111?5?AC又 BC?1，AB?BA············ 1分 1?2，∴ CB?BA，CB?BA1， 又 BA?BA1?B，∴CB?平面ABB1A·················· 2分 1， 取AA1中点F，则BF?AA1，即BC，BF，BB1两两互相垂直， ········ 3分 以B为原点，BB1,BF,BC分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图（4）， ∴

B1(2,0,0)，C(0,0,1)，A(?1,3,0)，A1(1,3,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,1) ，

13······························· 4分 M(,,0)

22 - 9 -

z Cy DC1AFMBA1x

图 （4）

B1?????13（I） MD?(,?,1)，设平面ABC的法向量为m?(x,y,z) ，

22??????m?BA??x?3y?0,则?，取m?(3,1,0)， ················ 6分 ??????m?BC?z?0.??????????33∵m?MD?，∴7分 ??0?0m?MD， ··················

22又MD?平面ABC， ∴直线MD∥平面ABC． ················ 8分

????????（II） 设平面ACA1的法向量为n?(x1,y1,z1)，AC?(1,?3,1),AA， 1?(2,0,0)??????n?AC?x1?3y1?z1?0, 则????? ，取n?(0,1,3)， ·············· 10分

??n?AA1?x1?0. 又由（Ⅰ）知平面ABC的法向量为m?(3,1,0)，设二面角B?AC?A1为?，

m?n11cos??||??∴， ························ 11分

|m|?|n|2?241∵ 二面角B?AC?A1为锐角，∴ 二面角B?AC?A1的余弦值为． ······· 12分

4解法二：取AA1中点F，则BF?AA1，即BF?BB1，以B为原点，BB1，BF分别为x,y轴，

建立空间直角坐标系如图（5），设点C(a,b,c)， ·················· 1分

z y AFCDC1A1M

x B1B又

图 （5）

13，B1(2,0,0),A(?1,3,0),A1(1,3,0),M(,,0)22??????????????????????BC1?BC?CC1?BC?BB1，

?????∴ BC1?(a,b,c)?(2,0,0)?(a?2,b,c)，即C1(a?2,b,c)，∴ D(a?1,b,c)， 由 A1D?CC1，A1D?2，BC?1 可得：

- 10 -

???????????A1D?CC1?(a,b?3,c)?(2,0,0)?a?0????????222 ?|A1D|?a?(b?3)?c?2，解得?b?0， ··············· 3分

??c?1????222?|BC|?a?b?c?1?? ∴ C(0,0,1)，C1(2,0,1)，D(1,0,1)， ······················ 4分

下同解法二．

1解法三：（Ⅰ）如图（6），取AB中点N，连接MN,CN，则有MN//?AA1//?CD，

2 ·········································· 2分 ∴MNCD为平行四边形， ∴MD∥NC， ···················· 4分

CDC1ANBMA1B1

图 （6）

又MD?平面ABC，BC?平面ABC，∴ 直线MD∥平面ABC． ········· 6分 （Ⅱ）由各棱长，易得BC?BA,BC?BA1，∴BC?平面ABB1A7分 1， ···········

取AB中点N，连接A1N，过N作NH?AC于H，连接HA1，

如图（8），可证：A1N?平面ABC， ······················· 8分

CHANBMA1B1DC1

图 （8）

证明AC?平面A1NH，可得A····················· 9分 1H?AC， 故?NHA1为所求的二面角的平面角， ······················ 10分 在Rt?A1NH中，求得：cos?NHA1?解法四：

（Ⅰ）如图（7），取BB1中点G，由MG∥AB， ···················· 1分

CDC111，故所求的二面角的余弦值为． ······ 12分 44AMBA1GB1

图 （7）

MG?平面ABC，∴ 直线MG∥平面ABC， ··················· 2分

由GD∥BC，GD?平面ABC， ························ 3分 ∴ 直线GD∥平面ABC， ···························· 4分 又MG?GD?G，∴平面MGD∥平面ABC， ················· 5分

- 11 -

又MD?平面MGD， ∴ 直线MD∥平面ABC． ················· 6分 （Ⅱ）同解法一．

（20） （本小题满分12分）

（I）解法一：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为3，

p， ································· 1分 2p2222因为圆过原点，所以a?b?9，所以a?3p?， ··············· 2分

4p2p2又a?2pb，所以3p?····················· 3分 ?2p(3?)，

42因为p?0，所以p?4，所以抛物线C方程x2?4y． ··············· 4分 解法二：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，

p圆M必过抛物线的焦点(0,)， ························· 1分

2p又圆M过原点，所以b?， ·························· 2分

4p22又圆的半径为3，所以a?9?，又a2?2pb， ················· 3分

16p2p22又9?，得p?16?p?0?，所以p?4．所以抛物线C方程x2?4y． ···· 4分 ?162p解法三：因为圆M与抛物线准线相切，所以b?3?， ··············· 1分

2pppp且圆过(0,)又圆过原点，故b?，可得3??， ··············· 3分

2424解得p?4，所以抛物线C方程x2?4y． ····················· 4分

121(Ⅱ) 解法一：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(m,?t)，C方程为y?x，所以y'?x，

42故b?3?

5分

求得抛物线在点A处的切线的斜率k?1x1，所以切线PA方程为：2y?y1?1x1(x?x1)， 2121121即y?x1?x1(x?x1)，化简得y??x1?x1x， ··············· 6分

4242121又因过点P(m,?t)，故可得，?t??x1?x1m， ················· 7分

4222即x1?2x1m?4t?0，同理可得x2?2x2m?4t?0， ················ 8分

所以x1,x2为方程x2?2mx?4t?0的两根，所以x1?x2?2m，x1x2??4t， ······ 9分

2y1?ty2?tx12?4tx2?4t???因为Q(0,?t)，所以kAQ?kBQ?， ········ 10分 x1x24x14x2x1x1(x1?x2)t(x1?x2)?tm?tmk?k????0． ············ 11分 化简AQBQ4x1x2x1x2?4t所以?AQO??BQO． ···························· 12分

- 12 -

解法二：依题意设点P(m,?t)，设过点P的切线为y?k(x?m)?t，所以

?y?k(x?m)?t,， ?2x?4y,?所以x2?4kx?4km?4t?0，所以??16k2?4(4km?4t)?0，即k2?km?t?0，

·········································· 5分

不妨设切线PA、PB的斜率为k1、k2，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，

1211x，所以y'?x，所以k1?x1， ······ 6分 422222所以x1?2k1，y1?k1，即点A(2k1,k1)，同理点B(2k2,k2)， ············ 7分

所以k1?k2?m，k1?k2??t，又y?k2tk12?tk1tk????因为Q(0,?t)，所以kAQ?，同理BQ， ········· 9分

22k22k122k1k1k2k1?k2t(k1?k2)mmttk?k?(?)?(?)?????0， ···· 11分 所以AQBQ22k122k222k1k222所以?AQO??BQO． ···························· 12分

（21） （本小题满分12分）

解：（Ⅰ） g?(x)?ex?a． ······························ 1分

（1）当a?0时，g?(x)?0,g(x)在(??,??)单调递增． ················ 2分 （2）当a?0时，当x?(??,lna)时，g?(x)?0,g(x)单调递减； ············ 3分 当x?(lna,??)时，g?(x)?0,g(x)单调递增． ··················· 4分

xe1（Ⅱ）当x?0时， x2?x?ex?ax?1，即a??x??1． ··············· 5分

xxex1ex(x?1)?x2?1（x?0）令h(x)??x??1，h?(x)?． ··············· 6分 2xxx（x?0）令F(x)?ex(x?1)?x2?1，F?(x)?x(ex?2)．

当x?(0,ln2)时，F?(x)?0，F(x)单调递减； ··················· 7分 当x?(ln2,??)时，F?(x)?0，F(x)单调递增． ·················· 8分 又F(0)?0，F(1)?0，所以当x?(0,1)时，F(x)?0,即h?(x)?0,h(x)单调递减， ··· 9分

当x?(1,??)时，F(x)?(x?1)e?x?1?0，即h?(x)?0,h(x)单调递增．． ····· 10分 所以h(x)min?h?1??e?1，所以a????,e?1?． ················· 12分 （22）解：（Ⅰ）由?2?4?cos??3?0可知：x2?y2?4x?3?0，所以?x?2??y2?1． 3分

2?x?令x?2?cos?,y?sin?;所以C1的一个参数方程为?（Ⅱ）C2:4??sin所以4???x?2?cos????R?． ······ 5分

?y?sin??????cos??cossin???3， ··················· 6分 66??y?7分 ??3，即2x?23y?3?0， ·················· 2??2因为直线2x?23y?3?0与圆?x?2??y2?1相交于A，B两点，

1所以圆心到直线的距离为d?， ························· 8分

4x?32

- 13 -

?11515?1?所以AB?2?1????2?． ··················· 10分 ?42?4??3x?2?1?a,x?a,?a?x（23）解：（Ⅰ）当a??2时，f(x)????1?a,?2?x?a,所以f(x)min?1??2,a?2，

2?2?3x??2?a?1,x??2.? 2分

2?3x?2?1?a,x??2,??3xaf(x)?a??2当时，4分 ??1?a,a?x??2,所以f(x)min??1??2,a??6， ····

22??3x??2?a?1,x?a?所以a?2或?6． ································ 5分

1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a?0时a?2．不等式f?x??4即x?2?x?2?4， ······ 6分

2?3x?2?1,x?2,??xf(x)?由（Ⅰ）知，8分 ???3,?2?x?2, ·····················

2??3x??2?1,x??2?103xx?1?4，得到x?由；由??3?4，得到x??2， ·············· 9分

322

所以不等式解集为??2，?． ··························· 3分 3??10??

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