数学竞赛中几个重要定理
1、 梅涅劳斯定理:如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F
三点共线,则
2、 梅涅劳斯定理的逆定理:如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F,且
满足
【例1】已知△ABC的重心为G,M是BC边的中点,过G作BC边的平行线AB边于X,交AC
边于Y,且XC与GB交于点Q,YB与GC交于点P. 证明:△MPQ∽△ABC
1
BDCEAF=1 ??DCEAFBBDCEAF=1,则D、E、F三点共线. ??DCEAFBAXQBGPjYCM
【例2】 以△ABC的底边BC为直径作半圆,分别与边AB,AC交于点D和E,分别过点D,
E作BC的垂线,垂足依次为F,G,线段DG和EF交于点M.求证:AM⊥BC
【例3】四边形ABCD内接于圆,其边AB,DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,过Q作该圆的两条切线,切点分别为E,F.求证:P,E,F三点共线.
FNOCMPBAADEMBFHGC
QDE
2
【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M,过M作AD的平行线分别交AB,CD
于点E,F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心,以OM为半径的圆上一点. 求证:∠OPF=∠OEP
PEA0B
DMFC【练习2】 在△ABC中,∠A=900,点D在AC上,点E在BD上,AE的延长线交BC于F. 若BE:ED=2AC:DC,则∠ADB=∠FDC
FC
3
DEABAMBNCP塞瓦定理:设O是△ABC内任意一点,AO、BO、CO分别交对边于N、P、M,则???1
MBNCPA
AMBNCP塞瓦定理的逆定理: 设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上,且满足???1,
MBNCPA则AN、BP、CM相交于一点.
【例1】BE是△ABC的中线,G在BE上,分别延长AG,CG交BC,AB于点D,F, 过D作DN∥CG交BG于N,△DGL及△FGM是正三角形.求证:△LMN为正三角形.
FMEA
NGLBDC
4
【例2】在△ABC中,D是BC上的点
BD1=,E是AC中点.AD与BE交于O,CO交AB于F DC3A求四边形BDOF的面积与△ABC的面积的比
DEFOC【练习1】设P为△ABC内一点,使∠BPA=∠CPA,G是线段AP上的一点,直线BG,CG分别交边AC,AB于E,F.求证:∠BPF=∠CPE
FAGE
BPC【练习2】 在△ABC中,∠ABC和∠ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点,且AD平分∠BAC,过点D作垂线DP⊥AB于P,DQ⊥AC于Q,CP于BQ相交于K. 求证:AK⊥BC
BCDPKQA 5
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