南京市白下区2012届高三“市二模”模拟考试
数学试卷
注意事项：
1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两
部分，本试卷满分为160分，考试时间为120分钟；
2. 统一用黑色水笔作答，答题前，请务必将自己的姓名、学校、考号填涂在答卷纸上相应位置上，试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答卷纸。 一、
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在相应位置上。
1. 已知函数f(x)?cosx，则f(x)的导函数f'(x)= 。
2. 命题“?x?R,x2?2?0”的否定是 命题。（填“真”或“假”之一）
x2y2??1(0?m?9)的焦距为23，则m? 。 3. 若椭圆9m4. 抛物线y2?2x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是 。 5. 下面四个条件中，使a?b成立的充分而不必要的条件是 。（填写序号）
3322①a?b?1 ②a?b?1 ③a?b ④a?b
6. 如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P?ABD和Q?CBD是
两个高相等的正三棱锥，四点A,B,C,D在同一平面内，要使塔尖P,Q之间的距离为50m, 则底边AB的长为 m。 7. 若m,n为两条不同的直线，?,?为两个不同的平面，则以下命
题正确的是 .（填写序号） ①若m//?，n??，则m//n； ②若m//?，?//?，则m//?；
③若m??，m//n，?//?，则n??； ④若m?n，m??，n??，则???
第6题图
8. 如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使
点M与点F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况） 9. 曲线y?x与y?8在它们交点处的两条切线与轴所围成的x三角形的面积为 。
第8题图
10. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12?，
则这个正三棱柱的体积为 。 11. 如图所示，在圆锥PO中，已知PO?2，⊙O的直径
AB?2，点C在弧AB上，且?COB?60°，则二面角
B?PA?C的余弦值是 。
x2y212. 已知点F是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点，
ab第11题图
点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若
?ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 。
213. 已知函数f(x)?(ax?x)?xlnx在?1,???上单调递增，则实数a的取值范围
是 。
14. 已知点P是抛物线x?4y上一个动点，过点P作圆x?(y?4)?1的两条切线，切
点分别为M,N，则线段MN长度的最小值是 。
二、解答题：本大题共六小题，共计90分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分14分）
222x2y2??1表示双曲线，命题q：圆x2?(y?1)2?9与圆设命题p：方程
a?6a?7(x?a)2?(y?1)2?16相交。若“?p且q”为真命题，求实数a的取值范围。
16. （本小题满分14分）
已知函数f(x)?(ax2?bx?c)e2?x在x?1处取得极值，且在点(2,f(2))处的切线方程为6x?y?27?0。 （1） 求a,b,c的值；
（2） 求函数f(x)的单调区间，并指出f(x)在x?1处的极值是极大值还是极小值。
17. （本小题满分14分）
已知圆C经过两点P(?1,?3),Q(2,6)，且圆心在直线x?2y?4?0上，直线l的方程为(k?1)x?2y?5?3k?0。 （1） 求圆C的方程；
（2） 证明：直线l与圆C恒相交； （3） 求直线l被圆C截得的最短弦长。
18. （本小题满分16分）
如图，平面ABDE?平面ABC，?ABC是等腰直角三角形，AC?BC?4，四边形
ABDE是直角梯形，BD//AE,BD?BA,BD?1AE?2, O,M,N分别为2CE,AB,EM的中点。
（1） 求证：OD//平面ABC； （2） 求证：ON?平面ABDE；
（3） 求直线CD与平面ODM所成角的正弦值。
第18题图
19. （本小题满分16分）
x2y2如图，A,B是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右顶点，M是椭圆上异于A,B的
ab任意一点，若椭圆C的离心率为（1） 求椭圆C的方程；
（2） 设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线
1，且右准线l的方程为x?4。 2PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标。
20. （本小题满分16分）
已知函数f(x)??x?x?b,g(x)?alnx， （1） 若f(x)在x???32第19题图
3?1?,1?上的最大值为，求实数b的值；
8?2?2（2） 若对任意x?? 1,e?，都有g(x)??x?(a?2)x恒成立，求实数a的取值范围；（3） 在（1）的条件下，设F(x)???f?x?,x?1，对任意给定的正实数a，曲线
?g?x?,x?1y?F(x)上是否存在两点P,Q，使得?POQ是以（O为坐标原点）为直角顶
点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由。
南京市白下区2012届高三“市二模”模拟考试
数学参考答案
一、填空题：
1．?sinx 2．假 3．6 4．
1 5．② 6．503 7．③④ 26331 12．?1,2? 13．a? 14． 332e21. 8．椭圆 9．6 10．54 11．22. 二、解答题：
x2y223. 15．解：若p真，即方程??1表示双曲线，
a?6a?724. 则?a?6??a?7??0，??6?a?7． ………………………………5分 25. 若q真，即圆x2??y?1??9与圆?x?a???y?1??16相交，
26. 则1?a2?4?7,??35?a?35． ………………………………10
分
27. 若“?p且q”为真命题，则p假q真， ??a??6或a?728. ??，即?35?a??6，
???35?a?3522229. ?符合条件的实数a的取值范围是?35?a??6． ………………………………14
分
30. 16．解：（1）f??x???2ax?b?e2?x?ax2?bx?ce2?x??1?
22?x?31. ??， ………………………………4分 ?ax?2a?bx?b?ce??????1???f??1??0??a??2a?b???b?c???e?0???032. 由题意，?f??2???6，即????4a?2?2a?b???b?c???e??6，
??0?f?2??15???4a?2b?c?e?15??33. ?a?c?1,b?5； ………………………………8分 34. （2）由（1）知，f?x??x2?5x?1e2?x，
35. ?f??x???x2?3x?4e2?x???x?4??x?1?e2?x， ………………………………10分 36. 令f??x??0，得?4?x?1，f??x??0，得x??4或x?1，
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