第五章机械能

第五章 机械能

本章学习提要

1．功的定义和计算，功率的概念和计算。 2．动能、势能和机械能。 3．功和能量变化的关系。 4．机械能守恒定律。

本章的内容是物理学的重点知识，也是前面学习过的力学知识的总结和深化。在本章中我们要学习功和功率，动能、势能和机械能的概念。学习动能与势能之间相互转化时遵循的机械能守恒定律。能量是物质的属性，对应不同的运动形式，能量的形式也不一样，在一定的条件下各种形式的能量可以相互转化，功则是这种转化的量度。功和能是物理学的两个重要概念，是认识自然界物质运动的本质和规律所必须掌握的重要基础内容，它贯穿于物理学习的始终。通过本章学习，认识功与能之间关系的重要性，在了解“永动机”历史的过程中懂得尊重科学的重要性。

A 功

一、学习要求

理解功的概念，知道正功、负功。理解功的表达式。学会应用功的表达式计算常力做的功。在区分“工作”和“功”时认识定义科学概念的方法，感悟科学的严谨和一丝不苟的要求。

二、要点辨析 1．正功和负功

我们用公式W＝Fscosθ进行计算时，发现计算的结果有时为正，有时为负，其原因在于cosθ的取值范围为－1≤cosθ≤1。当计算结果为正，即W＞0时，我们说力做正功；当计算结果为负，即W＜0时，我们说力做负功或者说是物体克服阻力做功。

图5－1中列出了力与位移方向的夹角θ从0°～180°范围内变化时，外力做功的情况。我们对正功和物体做负功的理解，不应该满足于知道数学运算的结果，更重要的是明确它的物理含义。正功实质上是动力做功，当外力与物体的位移方向相同，或外力方向与物体位移方向之间的夹角小于90°时，外力是物体运动的动力。从后面的学习我们会知道，动力做的功将使物体的动能增加；当外力与物体的运动方向相反，或外力方向与物体位移方向之间的夹角大于90°时，外力是物体运动的阻力，物体克服阻力做功将使物体的动能减少。

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（a）当0°≤θ＜90°时，0＜cosθ≤1，W＞0，外力对物体做正功。即θ为锐角时，外力对物体做正功

（b）当θ＝90°时，cosθ＝0，W＝0，外力对物体不做功。即θ为直角时，外力对物体不做功

（c）当90°＜θ≤180°时，－1≤cosθ＜0，W＜0，外力对物体做负功。即θ为钝角时，物体克服外力做功负功

2．正确判断力是否做功

判断力是否做功，常常使初学物理的同学感到困惑。例如提着一桶水，从一楼走上二楼，我们说人对水桶做了功；而提着一桶水，平稳地在水平地面上坚持走2000m路（桶的重心离地面高度始终不变），人没有对水桶做功，很多人想不通，后者花费的体力大得多，为什么没有做功？

物理学中功有特定的含义，指的是力对物体所做的功，必须在力的方向上有位移，它跟一般所说的“消耗体力”及“工作”的含义不同。在后面的学习中同学们将会知道功跟物体能量的变化紧密地联系在一起。力对物体做了功，物体的能量要增大。

上述疑问，其实涉及两个问题：（1）用了力是否一定做功？（2）用力越大是否做功越多？

先谈问题（1），用了力是否一定做功？做功一定要用力，而用了力不一定做功，判定做功的唯一依据是功的两个要素，即力和在这个力的方向上是否发生了位移。

如图5－2所示，一个置于光滑水平面上的物体，共受到三个力的作用，重力G、水平地面的支持力FN和拉力F，物体沿水平直线从位置A移动到位置B的过程中发生的位移为sAB，在物体移动的过程中，重力G、支持力FN、拉力F都做功了吗？

从图中可以看出，拉力F的方向与位移sAB的方

向相同，即在拉力F的方向上发生了位移，所以拉力F做了功；重力G和支持力FN的方向都在竖直方向，而位移sAB在水平方向，两者相互垂直，即在重力G和支持力FN的方向上没有发生位移，所以重力G和支持力FN都不做功。

如图5－3所示，一个置于光滑斜面的物体，受到重力G和斜面支持力FN的作用，当物体从位置A沿斜面移动到位置B的过程中产生的位移为sAB，在物体移动的过程中，重力G和斜面支持力FN，做功了吗？

从图中可以看出，斜面支持力FN的方向与位移sAB

的方向垂直，即在斜面支持力FN的方向上没有发生位移，所以支持力不做功；重力G的方向与位移sAB的方向既不在一条直线上，又不相互垂直，怎么判断重力G是否做功呢？处理的办法是判断物体的高度有没有变化，只要物体高度有变化，就有重力做功或克服重力做功。本题中重力G与位移sAB之间的夹角为90°－θ，根据三角函数关系可以得出物体下降的高度为sABsinθ[或者sABcos（90°－θ）]，由于θ＞0°，sABsinθ≠0，所以在物体从A位置滑动到B

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位置的过程中重力G做了功。

由于sABsinθ就是物体在运动过程中沿竖直方向下落的实际高度h，我们在计算重力做功时可将公式W＝Fscosθ简化为W＝mgh，即重力做功等于重力的大小乘以物体在竖直方向上下落的高度。若物体在竖直方向上上升了高度h，则重力做负功，大小仍为mgh。

事实上，只有当力与位移的方向垂直时，位移在力的方向上的投影才等于零，因而我们可以得到一个判断依据，凡是当力与位移的方向不垂直时，该力就做了功；或者说只有当力与位移垂直时，力才不做功。

问题（2），用力越大做功未必越大。根据功的计算公式W＝Fscosθ，功的大小与F、s和cosθ三个因素有关，若F大，但s很小，或者θ角接近90。，功都不会很大。

只有在力做功而且s和θ不变的前提下，功的大小才与力F成正比。

3．用图线求功的方法（功的图示）

画一直角坐标图，以作用力F为纵坐标，力的方向上通过的位移s为横坐标，则图线与坐标轴所围的面积表示作用力对物体所做功的大小。如图5－4所示，图中阴影面积表示F1作用在物体上的位移为s1时所做的功。

4．计算力对物体做功的一般步骤

（1）首先确定研究对象。

（2）对物体进行受力分析，作出物体的受力图。 （3）找准每个力与位移方向之间的夹角θ。 （4）根据功的公式：W＝Fscosθ求解。

三、例题分析

【例1】如图5－5所示，在光滑水平地面上，有一个质量为25kg的木箱，在一个大小为200N、与水平方向成37°角斜向上的拉力F作用下，向右前进了30m，求作用在物体上的每个力所做的功。（g取10m/s2，sin 37°＝0.6，cos37°＝0.8）

【分析】（1）首先确定研究对象为木箱。 （2）对木箱进行受力分析。 木箱受到重力G、拉力F、支持力FN三个力，其中重力和拉力的大小已知，G＝mg＝250 N，F＝200N，支持力FN的大小可以利用竖直方向受力平衡求出（因为FN＝Fsinθ－mg，所以FN＝mg－Fsinθ）。受力图如图5－5所示。

（3）明确各力与位移方向之间的夹角。 从图中可以看出，拉力F与位移方向的夹角等于37°，重力G和支持力FN与位移方向的夹角等于90°。

【解答】根据公式W＝Fscosθ，有

拉力F做的功W1＝Fscos37°＝200×30×0.8J＝4800J。

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重力G做的功W2＝mgscos90°＝25×10×35×0 J＝0。 支持力FN的功W3＝FNscos90°＝0。

【例2】如图5－6所示，用一根长l＝0.8m的细绳拴住一个质量为0.5kg的小球悬挂在O点，将小球拉至A点使细绳呈水平状态。求从释放小球到细绳和小球摆至竖直位置OC的过程中，重力和细绳的拉力对小球做的功。（g取10m/s2）

【分析】选定小球为研究对象。小球共受两个力的作用，重力G和细绳的拉力F。重力的大小为mg，方向竖直向下，从A到C的过程中下落的高度为l。拉力F是一个变力，它的大小和方向虽然在不断地变化，但始终指向O点。因而拉力F的方向在任何时刻都与运动方向垂直，拉力不做功。

【解答】重力做功WG＝mgl＝0.5×10×0.8J＝4J。 拉力F不做功WF＝0。

【例3】如图5－7所示，一枚质量为12t的火箭，竖直向上发射，从开始发射到升高3000m的阶段，其发动机产生的向上的推力F保持为9.2×105N，不计空气阻力，设火箭质量的变化可以忽略，求在这个阶段内：

（1）发动机推力F做的功。 （2）重力做的功。 （3）合外力做的功。

【分析】以火箭为研究对象，它共受到两个力，重力mg，方向竖直向下；发动机推力F的大小为9.2×105N，方向竖直向上。根据功的计算公式W＝Fscosθ可求。

【解答】（1）发动机推力F做的功

WF＝Fhcosθ＝9.2×105×3000×cos0°J＝2.76×109J。

（2）因为重力的方向与火箭的位移方向相反，θ＝180°，所以重力对火箭做负功

WG＝mghcosθ＝12×103×10×3000×cos180°J＝－3.6×108J。 （3）合外力做的功等于所有外力做功的代数和，即 W＝WF＋WＧ＝(2.76×109－3.6×108）J＝2.4×109J。

因为在火箭上升的这一阶段发动机的推力和重力同时作用在火箭上，

且均为恒力，所以合外力做的功，也可以采取先求重力G和推力F的合力，然后用合力来计算功的方法。由

F合＝F－mg＝（9.2×105－12×103×10）N＝8×105N， 方向竖直向上，所以

W＝F合scos0°＝8×105×3000×1J＝2.4×109J。

四、基本训练 A组

1．关于功，下列正确的说法是（ ）。

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（A）物体受到力的作用，并且有位移，力就一定做功

（B）在功的计算式W＝Fscosθ中，F、s和cosθ均可取正值、负值或零 （C）合力的总功等于每个分力所做功的绝时值相加 （D）功不是描述物体状态的物理量

2．如图5－8所示，在斜面上放一个光滑的重球，用固定在斜面上的竖直挡板挡住。现使整个装置沿水平面向右匀速运动，那么球的重力G、斜面对球的支持力FN和挡板对球的弹力F中（ ）。 （A）只有重力G不做功 （B）只有支持力FN不做功 （C）弹力F可能做正功 （D）支持力FN可能做负功

3．分别在光滑的水平面、粗糙的水平面和粗糙的斜面上推同一物体，如图5－9所示。如果所用的推力相等，物体运动的位移相等，此过程中推力对物体所做功的大小应是（ ）

（A）在光滑的水平面上较大 （B）在粗糙的水平面上较大 （C）在粗糙的斜面上较大 （D）三次做功都是相等的

4．起重机吊住质量为m的木箱，以加速度a匀加速上升h高度，则钢索拉力对木箱所做的功为_______，重力对木箱做的功为______。

5．用一水平拉力拉着质量为50kg的物体沿水平路面匀速运动了20m。若物体受到的阻力为100N，则在此过程中重力对物体做功_______J，地面支持力对物体做功为______J，阻力对物体做功_______J，水平拉力对物体做功________J。

6．如图5－10所示，一位老爷爷在一片平坦的草地遛狗，拉狗的绳子与地面夹角为30°，设绳的拉力始终是20N，在向前运动2m的过程中拉力做了多少功？

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