第二类曲线与曲面积分

第二类曲线与曲面积分

（一） 基本概念

1.第二类曲线积分

?定义6.5 若矢量函数A?x,y,z???P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z??与曲线?AB上点(x,y,z)处

切线的单位矢量T??cos?,cos?,cos??(且T的方向?AB指定的方向一致)的点乘积在?AB上的第一类曲线积分分。

00???AB??0?A?Tds.存在 该积分值称为A?x,y,z?沿曲线?从A到B的第二类曲线积

??????0?A?Tds的物理意义是：当流体流速为A沿闭合曲线?指定的方向通过的环流量。

???0

注：由定义知第二类曲线积分是特殊的第一类曲线积分。若把A.T看成数量函数，这个积分

也具有第一类曲线积分的性质。

由定义容易得到下面两个性质

性质1

???AB??0??0A?Tds????BAA?Tds

???注：等式左右两边的T正好相差一个符号。

性质2 若有向曲线?AB是由有向曲线?AC，?CB首尾相接而成，则

?0

???AB??0??0??0A?Tds???ACA?Tds???CBA?Tds.

???????0记 ds?Tds??cos?,cos?,cos??ds??dx,dy,dz?.

cos?ds??x?dx是ds在x轴上的有向投影，dx?0，dx?0，注：当?为锐角，当?为钝角，

???2,dx?0，而dy,dz是ds分别在y轴，z轴上的有向投影，从而第二类曲线积分五种形式之

一出现：

??Pcos??Qcos??Rcos??ds??????A?ds??P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz ??P?x,y,z?dx??Q?x,y,z?dy??R?x,y,z?dz.?AB?AB?AB?AB?AB?AB?AB??0A?Tds??而常常以形式

??ABP?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz出现的较多，如果是直接计算，不

论是给哪一种形式出现，都需化成

??ABP?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz的形式（最后一种

形式和上面形式实际上是相同的）

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若曲线?AB?x?x?t??:?y?y?t?，为光滑曲线且起点A对应的参数为tA，终点B对应的参数为tB，则 ?z?z?t??????ABP?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz

tBtA?P?x?t?,y?t?,z?t??x??t??Q?x?t?,y?t?,z?t??y??t??R?x?t?,y?t?,z?t??z??t??dt.

必须注意，公式中的tA，tB一定要与曲线的起点A终点B相对应。即化成t函数的定积分时，积分的下限必须是起点A对应的参数，积分的上限必须是终点B对应的参数，至于上下限谁大谁小

不受限制，这一点与第一类曲线积分化为一元函数定积分时，下限一定小于上限的限制是不同的。

而平面上的第二类曲线积分，是空间第二类曲线积分的特殊情况.

定义6.6 没有洞的平面区域，称为平面单连通区域，有洞的平面区域称为复连通区域。

定义 6.7 若空间区域V中任意的封闭曲线L，都可以找以L为边界的曲面S?V，则V为线单连通区域。

2.第二类曲面积分

?定义6.8 若矢量函数A?x,y,z???P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z??与曲面S在曲面上点

??0?x,y,z?处单位法向量n??cos?,cos?,cos??（n0的方向与曲面S指定的方向相同）的点乘积在

S上的第一类曲面积分??A?n0dS存在，该积分值称为A?x,y,z?沿定侧曲面S上的第二类曲面积

S?????分。

???S??0?A?ndS的物理意义是当流速为A的不可压缩流体，通过封闭曲面S沿指定侧的S流量。

???0由定义知第二类曲面积分是特殊的第一类曲面积分，若把A?n看成一个数量函数，这时为第

一类曲面积分，也具有第一类曲面积分的性质。

由定义知第二类曲面积分具有下面两条性质

性质1 性质2

???S???0??0A?ndS????A?ndS。

??????S??0??0??0A?ndS???A?ndS???A?ndS.

?S?????S1S2其中S1，S2的侧与曲面S的侧相同且S=S1+S2，S1，S2只有公共边界。 3.场论

?定义6.9设A?x,y,z???P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z??，且P,Q,R偏导数存在，称函数

???P?Q?R??为向量函数A在点M（x, y, z）的散度，记作divA?x,y,z?.即?x?y?z · ·294

??P?Q?RdivA?x,y,z????.

?x?y?z散度具有线性运算法则，即div?A??B??divA??divB.其中?,?为常数，A,B为向量函数，

???????????利用散度的概念，高斯公式可写成下列简洁形式??A?ds????divAdv.

SV??定义6.10 若?M?x,y,z??v,有divA?0，称A为无源场，并有下面两个推论。

?定义6.11 设A??P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z??，且P,Q,R具有一阶偏导，称矢量函数????R?Q?P?R?Q?P?,?,??为矢量函数A在点M（x, y, z）处的旋度，记作rotA，即 ???y?z?z?x?x?y?????ijk????R?Q?P?R?Q?P????以便记忆.rotA???,?,??或者形式可写成rotA??x?y?z??y?z?z?x?x?y?PQR????旋度也具有线性运算法则，即rot?A??B??rotA??rotB.此时斯托克斯公式可写成

????A?ds???rotA?dS.

??LS（二）重要定理与公式

定理6.2 （格林（Green）公式 ） 若函数P?x,y?,Q?x,y?在有界闭区域D上具有连续的一阶

偏导数，则

??Q?P??Pdx?Qdy???????x??y??dxdy，这里?为区域D的边界曲线，并取正向。

?D?格林公式也可借助行列式来记忆

??Pdx?Qdy???D??xP??ydxdy . Q注意：这里

???QQ?. 与Q乘积指的是?x?x?x定理6.3 设在单连通区域D内，P，Q具有连续的一阶偏导数且图10-1）的任何两条闭曲线（取同方向）上的曲线积分相等。

平面曲线积分与路径无关性定理

?P?Q?,则环绕同一些洞（如?y?x设D?R是平面单连通区域，若函数P?x,y?,Q?x,y?在区域D

2 ·295·

内具有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：

（1）沿D中任一按段光滑的闭曲线L，有

?LPdx?Qdy?0；

（2）对D中任一按段光滑曲线?，曲线积分无关，只与?的起点和终点有关；

??Pdx?Qdy与路径

（3）Pdx?Qdy是D内某一些函数u?x,y?的全微分，即在D内存在一个二元函数u?x,y?，使

du?Pdx?Qdy，即

?u?u?P,?Q； ?x?y?P?Q?. ?y?x（4）在D内每一点处，有

定理6.4（斯托克斯（Stokes）公式 ） 设光滑曲面S的边界曲线L是按段光滑的连续曲线，若P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在S（连同L）上具有连续的一阶偏导数，则

??R?Q???Q?P???P?R????Pdx?Qdy?Rdz??dydz??dzdx????L????y?z???x??y??dxdy. ?z?x?????S?其中S的侧面与L的方向按右手法则确定由定理的证明过程可知，只要以L为边界且符合定理

条件的曲面S，结论都成立，从而我们在利用Stokes公式时，寻找以L为边界的较简单曲面S，比如平面上的圆面，椭圆面，三角形平面或球面等等，以利于解决问题。

定理6.5（空间曲线积分与路径无关性）

设??R为空间线单连通区域，若函数P、Q、R在?上具有连续的一阶偏导数，则以下四个条件是等价的：

（1）对于?内任一按段光滑的封闭曲线L，有

3?LPdx?Qdy?Rdz?0；

?（2）对于?内任一按段光滑的曲线?，曲线积分终点有关；

?Pdx?Qdy?Rdz与路径无关，仅与起点、

（3）Pdx?Qdy?Rdz是?内某一函数的全微分，即存在?内的三元函数u?x,y,z?，使

du?Pdx?Qdy?Rdz，即

?u?u?u?P,?Q,?R； ?x?y?z（4）

?P?Q?Q?R?R?P?,?,?在?内处处成立。 ?y?x?z?y?x?z??即rotA?0,?x,y,z???，其中A?x,y,z???P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z??.

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??0设dS?ndS??cos?,cos?,cos??dS??dydz,dzdx,dxdy?，其中dxdy?cosrdS，称为dS在Oxy平面上的有向投影，当r为锐角时，dxdy?0，当r为钝角时，dxdy?0，当r?

?2

时，

dxdy?0。

我们可以证明cosr?sgn???????事实上，当r为锐角时，cosr?0,sgn??r??1,知?r?cosr。

?2??2?r为钝角时，

???cosr?sgn??r?cosr?2?，当

???cosr?0,sgn??r???1,知

?2??????????? cosr?sgn??r?cosr，当r为时，cosr?0,sgn??r??0,知cosr?sgn??r?cosr。

2?2??2??2?从

而

dxdy?crdSo?s???n?c?g?r?2?rodS?ss???n?d?.?g?r?2?同理可知

??????cos??sgn????cos?，cos??sgn????cos??2??2??1,????dzdx?sgn????d?.其中sgnx??0,?2???1,?x?0,x?0, x?0.，且dy?dszg?n???d????2??，

第二类曲面积分常常以下面五种形式之一出现：

???SS??0A?ndS????Pcos??Qcos??Rcosr?dS?????A?dS???P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy

SS???P?x,y,z?dydz???Q?x,y,z?dzdx???R?x,y,z?dxdy.SSS如果是直接计算，无论是以哪一种形式给出，一定要化下面形式

??P?x,y,z?dydz???Q?x,y,z?dzdx???R?x,y,z?dxdy

SSS来计算，而且每一项要分别计算再相加，我们以计算

??R?x,y,z?dxdy为例。

S要求光滑曲面S一定要表示成z?z?x,y?:?x,y???xy（其中?xy是曲面S在Oxy平面上的投影区域），且要求曲面S上每一点（x, y, z）处的法向量与Oz轴的夹角或者全是锐角或者全是钝角（曲面上个别曲线的法向量可以为

??）或者全是。如果做不到上述要求，需把S分成几块，使得22·297·

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