(精校版)2016年江苏数学高考试题文档版(有答案)

2016年江苏数学高考试题

数学Ⅰ试题

参考公式

圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。 圆锥的体积公式：V圆锥1Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。 3一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合A?{?1,2,3,6},B?{x|?2?x?3},则A?B=________▲________. 2.复数z?(1?2i)(3?i),其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.

x2y23.在平面直角坐标系xOy中，双曲线??1的焦距是________▲________.

734.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y=3-2x-x的定义域是 ▲ .

6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲ . 2

7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .

8.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=-3，S5=10，则a9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ▲ .

x2y2b

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2?2?1(a＞b＞0)的右焦点，直线y?与椭圆交于B，

2ab?C两点，且?BFC?90 ,则该椭圆的离心率是 ▲ .

(第10题)

?x?a,?1?x?0,?11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ ?1,1)上，f(x)??2其中a?R.若

?x,0?x?1,?5?59f(?)?f()，则f（5a）的值是 ▲ . 22?x?2y?4?0?12. 已知实数x，y满足?2x?y?2?0，则x2+y2的取值范围是 ▲ . 学科&网

?3x?y?3?0?????????????????13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BC?CA?4，BF?CF??1，????????则BE?CE的值是 ▲ .

14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ▲ .

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在△ABC中，AC=6，cosB=（1）求AB的长； （2）求cos(A-

π)的值. 64π，C=. 54

16.(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D?A1F，

AC11?A1B1.

求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

17.（本小题满分14分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P?A1BC11D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD?A1BC11D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高PO1的四倍. 学科&网 (1) 若AB?6m,PO1?2m,则仓库的容积是多少？

(2) 若正四棱柱的侧棱长为6m,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

18. （本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:

x2?y2?12x?14y?60?0及其上一点A(2，4)

(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； (2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；学科&网 (3) 设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得

??????????TA?TP?TQ,,求实数t的取值范围。

19. （本小题满分16分） 已知函数

f(x)?ax?bx(a?0,b?0,a?1,b?1).

1（1） 设a=2,b=2.

① 求方程

f(x)=2的根;

若对任意x?R,不等式f(2x)?mf(x)?6恒成立，求实数m的最大值；②

1，函数g?x??f?x??2有且只有1个零点，求ab的值。 （2）若0?a?1,b＞

20.（本小题满分16分） 记

U??1,2,…，100?.对数列

?an??n?N*?和

U的子集T，若

T??,定义

ST?0;若

T??t1,t2,…，tk?，

定义

ST?at1?at2?…+atk.例如：T=?1,3,66?时，ST?a1?a3+a66.现设?an??n?N*?是公比为3的等

比数列，且当(1) 求数列

T=?2,4?时，ST=30.学科&网

的通项公式；

?an?(2) 对任意正整数

k?1?k?100?，若

T??1,2,…，k?，求证：

.

ST?ak?1；

（3）设C?U,D?U,SC?SD,求证：SC?SC?D?2SD

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.

B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）

1??1??12?,矩阵B的逆矩阵B?1=?已知矩阵A??2?，求矩阵AB. ????0?2?02??

C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

1?x?1?t?2?在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?（t为参数），椭圆C的参数方程为

?y?3t??2?x?cos?,（?为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长. ?y?2sin??D.设a＞0，|x-1|＜

aa，|y-2|＜，求证：|2x+y-4|＜a. 33【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说．．．．．．．．．．．．明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； （2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）； ②求p的取值范围.

23.（本小题满分10分）

4（1）求7C36–4C7的值；

（2）设m，n?N*，n≥m，求证：

mmmmm+2（m+1）Cmm+（m+2）Cm+1+（m+3）Cm+2+…+nCn–1+（n+1）Cn=（m+1）Cn+2.

【说明】： 【参考版答案】非官方版正式答案，答案和解析为学科网解析团队教师与学而思培优名师团队制作，有可能存在少量错误，仅供参考使用。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

21n1n样本数据x1,x2,?,xn的方差s??xi?x，其中x??xi．

ni?1ni?12??棱柱的体积V?Sh，其中S是棱柱的底面积，h是高．

1棱锥的体积V?Sh，其中S是棱锥的底面积，h为高．

3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．

1. 已知集合A???1,2,3,6?，B??x|?2?x?3?，则A?B? ． 【答案】??1,2?；

【解析】由交集的定义可得A?B???1,2?．

2. 复数z??1?2i??3?i?，其中i为虚数单位，则z的实部是 ． 【答案】5；

【解析】由复数乘法可得z?5?5i，则则z的实部是5．

x2y23. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线??1的焦距是 ．

73【答案】210；

【解析】c?a2?b2?10，因此焦距为2c?210．

4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； 【解析】x?5.1，s2?10.42?0.32?02?0.32?0.42??0.1． ?55. 函数y?3?2x?x2的定义域是 ． 【答案】??3,1?；

【解析】3?2x?x2≥0，解得?3≤x≤1，因此定义域为??3,1?．

6. 如图是一个算法的流程图，则输出a的值是 ．

开始a?1b?9b?b?2a?bYNa?a?4输出a结束【答案】9；

【解析】a,b的变化如下表：

a b 则输出时a?9．

1 9 5 7 9 5 7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】

5； 6【解析】将先后两次点数记为?x,y?，则共有6?6?36个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有

?4,6?,?5,5?,?5,6?,?6,4?,?6,5?,?6,6?六种，则点数之和小于10共有30种，概率为

305?． 36628. 已知?an?是等差数列，Sn是其前n项和．若a1?a2??3，S5?10，则a9的值是 ．

【答案】20；

【解析】设公差为d，则由题意可得a1??a1?d???3，5a1?10d?10，

解得a1??4，d?3，则a9??4?8?3?20．

9. 定义在区间?0,3π?上的函数y?sin2x的图象与y?cosx的图象的交点个数是 ． 【答案】7；

【解析】画出函数图象草图，共7个交点．

2y1xO-1

x2y2b10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2?2?1?a?b?0?的右焦点，直线y?与椭圆交于B,C2ab两点，且?BFC?90?，则该椭圆的离心率是 ．

yBOCFx

【答案】6； 3【解析】由题意得F?c,0?，直线y???3ab?3ab?b与椭圆方程联立可得B?，， ?,C,???????22222???????????????????3ab????3ab?由?BFC?90?可得BF?CF?0，BF??，c?,?CF?c?,????????， 2222????c263131?则c2?a2?b2?0，由b2?a2?c2可得c2?a2，则e??．

a334442?x?a,?1?x?0,?11. 设f?x?是定义在R上且周期为2的函数，在区间??1,1?上f?x???2

?x,0?x?1,?5??5??9? 其中a?R，若f????f??，则f?5a?的值是 ．

?2??2?2【答案】?；

51?5??1?【解析】由题意得f????f??????a，

2?2??2?1?9??1?21f???f?????， ?2??2?5210113?5??9?由f????f??可得??a?，则a?，

2105?2??2?则f?5a??f?3??f??1???1?a??1?32??． 55

?x?2y?4?0,?12. 已知实数x,y满足?2x?y?2?0, 则x2?y2的取值范围是 ．

?3x?y?3?0,??4?【答案】?,13?；

?5?【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下

4321–4–3–2–1–1–2–3–4yBA1234x

x2?y2为可行域内的点到原点距离的平方．

可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线2x?y?2?0的距离， d??24?1?25，则x2?y25??min?4， 5图中B点距离原点最远，B点为x?2y?4?0与3x?y?3?0交点，则B?2,3?， 则x2?y2??max?13．

????????????????13. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上两个三等分点，BA?CA?4，BF?CF??1， ????????则BE?CE的值是 ．

AEFC

7【答案】；

8?????????????????????????B【解析】令DF?a，DB?b，则DC??b，DE?2a，DA?3a， D????????????????????????????????????则BA?3a?b，CA?3a?b，BE?2a?b，CE?2a?b，BF?a?b，CF?a?b， ?????????2?2?????????2?2?????????2?2则BA?CA?9a?b，BF?CF?a?b，BE?CE?4a?b，

?????????????????2?2?2?2?25?213由BA?CA?4，BF?CF??1可得9a?b?4，a?b??1，因此a?,b?，

88?????????2?24?5137因此BE?CE?4a?b???．

88814. 在锐角三角形ABC中，sinA?2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ． 【答案】8；

【解析】由sinA?sin?π?A??sin?B?C??sinBcosC?cosBsinC，sinA?2sinBsinC，

可得sinBcosC?cosBsinC?2sinBsinC（*）， 由三角形ABC为锐角三角形，则cosB?0,cosC?0，

在（*）式两侧同时除以cosBcosC可得tanB?tanC?2tanBtanC， 又tanA??tan?π?A???tan?B?C???则tanAtanBtanC??tanB?tanC(#)，

1?tanBtanCtanB?tanC?tanBtanC，

1?tanBtanC2?tanBtanC?2由tanB?tanC?2tanBtanC可得tanAtanBtanC??1?tanBtanC，

令tanBtanC?t，由A,B,C为锐角可得tanA?0,tanB?0,tanC?0， 由(#)得1?tanBtanC?0，解得t?1 2t22tanAtanBtanC????，

111?t?t2t11?11?1111t?1????，由则，因此tanAtanBtanC最小值为8， 0??????22tt?t2?4tt42当且仅当t?2时取到等号，此时tanB?tanC?4，tanBtanC?2，

解得tanB?2?2,tanC?2?2,tanA?4（或tanB,tanC互换），此时A,B,C均为锐角．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过

程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）

4π在△ABC中，AC?6，cosB?，C?．

45⑴ 求AB的长； π??⑵ 求cos?A??的值．

6??【答案】⑴52；⑵72?6 ． 20【解析】⑴ ?cosB?4，B为三角形的内角 5?sinB???3 5ABAC ?sinCsinBAB22?6，即：AB?52； 35⑵ cosA??cos?C?B??sinBsinC?cosBcosC

?cosA??2 10又?A为三角形的内角 ?sinA?72 10π?3172?6??cos?A???cosA?sinA?．

6?2220?

16. （本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D,E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱B1B上， 且B1D?A1F，AC11?A1B1． 求证：⑴ 直线DE//平面AC11F；

⑵ 平面B1DE?平面AC11F．

【答案】见解析；

【解析】⑴ ?D,E为中点，?DE为?ABC的中位线

?DE//AC

C1A1B1FCADEB又?ABC?A1B1C1为棱柱，?AC//AC11

?DE//AC11，又?AC11?平面AC11F，且DE?AC11F ?DE//平面AC11F；

⑵ ?ABC?A1B1C1为直棱柱，?AA1?平面A1B1C1

?AA1?AC11，又?AC11?A1B1

且AA1?A1B1?A1，AA1,A1B1?平面AA1B1B ?AC11?平面AA1B1B，

又?DE//AC11，?DE?平面AA1B1B 又?A1F?平面AA1B1B，?DE?A1F

又?A1F?B1D，DE?B1D?D，且DE,B1D?平面B1DE ?A1F?平面B1DE，又?A1F?AC11F

?平面B1DE?平面AC11F．

17. （本小题满分14分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P?A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD?A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍． ⑴ 若AB?6m，PO1?2m，则仓库的容积是多少；

⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，仓库的容积最大？

【答案】⑴312m3；⑵23m； 【解析】⑴ PO1?2m，则OO1?8m，

ADOBCPD1O1A1B1C111VP?A1B1C1D1=SABCD?PO1??62?2?24m3，VABCD?A1B1C1D1=SABCD?OO1?62?8?288m3，

33V=VP?A1B1C1D1?VABCD?A1B1C1D1?312m3， 故仓库的容积为312m3；

⑵ 设PO1?xm，仓库的容积为V(x)

22则OO1?4xm，AO11?36?xm，A1B1?2?36?xm，

11VP?A1B1C1D1=SABCD?PO1??33VABCD?A1B1C1D1=SABCD?OO1??72?2x22?2?x?1272x?2x3??24x?x3m3， ?3333?72?2x??4x?288x?8xm，

2226V?x?=VP?A1B1C1D1?VABCD?A1B1C1D1?24x?x3?288x?8x3??x3?312x?0?x?6?，

33V'?x???26x2?312??26?x2?12??0?x?6?，

当x?0,23时，V'?x??0，V?x?单调递增， 当x?23,6时，V'?x??0，V?x?单调递减， 因此，当x?23时，V?x?取到最大值， 即PO1?23m时，仓库的容积最大．

????[来源学科网]

18. （本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2?y2?12x?14y?60?0 及其上一点A?2,4?．

⑴ 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x?6上，求圆N的标准方程； ⑵ 设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点，且BC?OA，求直线l的方程；

??????????⑶ 设点T?t,0?满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA?TP?TQ，求实数t的取值范围．

y

22?【答案】⑴?x?6???y?1??1⑵y?2x?5或y?2x?15⑶??2?221,2?221?； MA【解析】⑴ 因为N在直线x?6上，设N?6,n?，因为与x轴相切，

则圆N为?x?6???y?n??n2，n?0

又圆N与圆M外切，圆M：?x?6???x?7??25，

222222Ox则7?n?n?5，解得n?1，即圆N的标准方程为?x?6???y?1??1； ⑵ 由题意得OA?25，kOA?2 设l:y?2x?b，则圆心M到直线l的距离

d?12?7?b2?122?5?b52,

则BC?25?d?225??5?b?52，BC?25，即225??5?b?52?25，

解得b?5或b??15，即l：y?2x?5或y?2x?15；

???????????????????????????????⑶ TA?TP?TQ，即TA?TQ?TP?PQ，即TA?PQ，

???TA??t?2?2?42，

????又PQ≤10,

??42≤10，解得t???2?221,2?221?，

?????????t?2?221,2?221对于任意??，欲使TA?PQ，

即?t?2?2???此时TA?10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为25???????????????P、Q必然与圆交于两点，此时TA?PQ，即TA?PQ， ?因此对于任意t???2?221,2?221?，均满足题意，

???2TA4，

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