河南省信阳高级中学2015-2016学年高二下学期开学考试数学(文)试

2017届高二寒假假期复习检测

数学（文）试题

命题人：沈洋 审题人：王春宇

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1．已知曲线C1,C2的方程分别为f1?x,y??0,f2?x,y??0，则“f1?x0,y0??f2?x0,y0?”是“点M?x0,y0?是曲线C1与C2的交点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．命题“?x?0,2x?0”的否定是 A.?x?0,2x?0 B.?x?0,2x?0 C.?x?0,2x?0 D.?x?0,2x?0

63．已知函数f(x)=-log2x ，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是

x A. ?0,1? B.?1,2? C.?2,3? D.?3,4?

4．已知函数f(x)?4x2?kx?8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是

A．[160,??) B．(??,40] C．(??,40]?[160,??) D．(??,20]?[80,??) 5．在?ABC中．sin2A?sin2B?sin2C?sinBsinC．则A的取值范围是 A．（0，6] B．[6，?） C．（0，3] D．[3，?）

6．设过点P?x,y?的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP?2PA且OQ?AB?1，则点P的轨迹方程是 A．3x2?323y?1(x?0,y?0) B．3x2?y2?1(x?0,y?0) 221

????

33 C．x2?3y2?1(x?0,y?0) D．x2?3y2?1(x?0,y?0)

22

7．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是

A．i?4? B．i?5? C．i?4? D．i?5?

2?x28．设函数f?x??3sin，若存在f?x?的极值点x0满足x02??fx???0??m，?m则m的取值范围是

A．???,?2???2,??? B．???,?4???4,??? C．???,?6???6,??? D．???,?1???1,???

????????x2y29．已知两定点A(0,?2)，B(0,2)，点P在椭圆??1上，且满足|AP|?|BP|1216????????＝2，则AP?BP 为

A．－12 B．12 C．一9 D．9 10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元） 4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54 ??a?为9．4，据此模型预报广告费用为6万??bx?中的b根据上表可得回归方程y元时销售额为

A.63．6万元 B.65．5万元 C.67．7万元 D.72．0万元 11．函数f?x??x2?bx的图象在点A?1,f?1??处的切线与直线3x?y?2?0平行，

??1??若数列??的前n项和为Sn，则S2015?

fn?????? A．1 B．

201320142015 C． D． 201420152016?3x?5y?6?0?12．若x,y满足条件?2x?3y?15?0，当且仅当x?y?3时，z?ax?y取最小值，

?y?0?则实数a的取值范围是

32232333 A．(?,) B．(?,) C．(?,) D．(,)

43343545

第II卷（非选择题）

2

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13．已知m，n为实数，若关于x的不等式x2+mx+n＜0的解集为（—1，3），则m+n的值为 ．

14．A,B,C,D是同一球面上的四个点，?ABC中，?BAC??2,AB?AC,AD⊥平

面ABC，AD?6，AB?23,则该球的表面积为 ．

15．设a1，a2，?，an是各项不为零的n（n?4）项等差数列，且公差d?0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对

?a1??n,?所组成的集合为 ． ?d?16．已知椭圆C:x2a2?y2b2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2?2px 的

79焦点与F2重合，若点P为椭圆和抛物线的一个公共点且cos?PF1F2?离心率为 ．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）

，则椭圆的

17．在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

sinC?sin?B?A??2sin2A,A??2.

（1）求角A的取值范围； （2）若a?1，?ABC的面积S?

18．设数列数列?an?的前n项和为Sn，a1?10，an?1?9Sn?10， （1）求证：?lgan?是等差数列； （2）设Tn是数列???312T?(m?5m)对所有的n?N*都的前项和，求使n?nlga?lga4n?1??n3?1，C为钝角，求角A的大小. 4成立的最大正整数m的值．

?ABC为等边三角形，19．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1?平面ABC，

3

AB?2,AA1?23，D、E分别为AA1、BC1的中点． （1）求证：DE?平面BB1C1C； （2）求BC与平面BC1D所成角； （3）求三棱锥C?BC1D的体积．

20．设关于x的一元二次方程x2?2ax?b2?0．

（1）若a是从1,2,3,4四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有两个不等实根的概率．

（2）若a是从区间?1,4?任取的一个数，b是从区间?0,2?任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

21．已知函数f?x??x3?527（a,b为常数）. x?ax?b,g?x??x3?x2?lnx?b，

22（1）若g?x?在x?1处的切线过点（0，-5），求b的值；

（2）设函数f?x?的导函数为f'?x?，若关于x的方程f?x??x?xf'?x?有唯一解，求实数b的取值范围；

（3）令F?x??f?x??g?x?，若函数F?x?存在极值，且所有极值之和大于

5?ln2，求实数a的取值范围.

22．已知抛物线y2?2px?p?0?上有两点A?x1,y1?,B?x2,y2?

1（1）当抛物线的准线方程为x??时，作正方形ABCD使得边CD直线方程为

4y?x?4，求正方形

的边长；

（2）抛物线上一定点Px0，（y0>0），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，，y0）

求证直线AB的斜率是非零常数．

4

2017届高二寒假假期复习检测数学（文）

参考答案

1．B

【解析】 试题分析：设

C1方程为x?y?1?0，C2方程为2x?2y?1?0，当x?1,y?1时，满足1?1?1?2?2?1，但是点推不出“点“

?1,1?并不是其交点，所以由“f1?x0,y0??f2?x0,y0?”

C1与C2的交点”，反之时成立的，所以

是曲线

M?x0,y0?是曲线

f1?x0,y0??f2?x0,y0?”是“点

M?x0,y0?C1与C2的交点”的必要不充分条件，

故选择B． 考点：判定充分必要条件． 2．D

x?x?0,2?0”的否定【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可得命题“x?x?0,2?0”是“，故选择D．

考点：特称命题的否定． 3．D

【解析】

试题分析：由于f1=6-log21=6>0,f2=3-log22=2>0,f3=2-log23>0,

()()()33根据函数的零点存在定理可知：在区间?3,4?内有函数f(x)f(4)=-log24=-2<0，

22的零点；

考点：函数的零点存在定理； 4．C

【解析】试题分析：由于二次函数f(x)?4x?kx?8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)?4x?kx?8在区间(5,20)上是单调函数，二次函数

22f(x)?4x2?kx?8对称轴为x=kkk，因此３5或888 20； 考点：二次函数的单调性；

5．C

【解析】试题分析：由正弦定理可将原三角不等式转化为

b2?c2?a21a?b?c?bc?b?c?a?bc??

2bc22222221????cosA??A??0,?2?3?

考点：正余弦定理

5

6．C

【解析】试题分析：由A，B两点分别在x轴正半轴和y轴正半轴，且BP?2PA，可知

????????33A（x,0)，B（0,3y)，因为Q（?x,y)，所以OQ?AB?(?x,y)?(?x,3y)?1，化简得：22323所以点P的轨迹方程是x2?3y2?1(x?0,y?0)，故选C． x?3y2?1(x?0,y?0)，

22考点：1、向量的数量积；2、轨迹方程． 7．A

【解析】试题分析：当s?1,i?1，不满足输出条件，执行循环体后，s?3,i?2 当s?3,i?2，不满足输出条件，执行循环体后，s?7,i?3 当s?7,i?3，不满足输出条件，执行循环体后，s?15,i?4 当s?15,i?4，不满足输出条件，执行循环体后，s?31,i?5

当s?31,i?5，满足输出条件 故条件应为i?4?，故选A． 考点：程序框图 8．A

fx0）??3，【解析】试题分析：由题意可得，（且 再由x0???f?x0????m222?x0m?k???2即x0?，k?Z，2k?1m．2可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为

11利用导数研究函数的性质 m,?m2＞m2?3?m2?4?m?2或m??2,选A 考点：

24【名师点睛】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，属中档题.其中关键点

fx0）??3，另一个就是由有两个，一是由x0为f?x?的极值点，可得到（2122可得当最小时，最小，而最小为|x||x|x02??fx?mm?m，进而得到不等??000??2式，解之即可.

9．D

????????【解析】试题分析：由|AP|?|BP|?2，可得点P(x,y)的轨迹是以两定点A(0,?2)，B(0,2)为焦点的双曲线的上支，且2a?2,c?2,?b?3 x2?1(y?0)， ∴P(x,y)的轨迹方程为：y?32?x2?9x2y2x22??1和y??1(y?0)联立可解得：?2由， 12163?y?4????????则AP?BP?(x,y?2)?(x,y?2)?x2?y2?4?9?4?4?9．

6

故选D． 考点：椭圆的简单性质． 10．B

【解析】试题分析：?x?3.5,y?42，数据的样本中心点在线性回归直线上，因此代入

??a??bx?中得42?9.4?3.5?ay??a??9.1?y?9.4x?9.1，广告费用为6万元时销售额

为9.4?6?9.1?65.5 考点：回归方程 11．D

【解析】试题分析：由题意知函数f?x??x?bx的图象在点A1,f?1?处的切线的斜率

2??为k?f?1??2x?b'x?1?2?b?3，所以b?1，

11111?2?(?)，则f?n?n?2n2nn?2S2015?1??1??11??11?1??2015?1，故D为正确答案． 1??????L?????????????2??3??24??35??20152017??2016考点：1、导数的几何意义；2、数列求和．

12．C

【解析】试题分析：作出题设约束条件表示的可行域，如图?ABC内部（含边界），作直线

l:z?ax?y，把l向上平移时，z减小，由题意，z在点A(3,3)处取得最小值，a是直线

3?03153?02l的斜率，又B(?2,0)，C(,0)，kAC???，所以??，kAB?1523?(?2)533?223??a?．故选C． 35

考点：简单的线性规划问题．

【名师点睛】求二元一次函数z＝ax＋by（ab≠0）的最值的方法 将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－求出z的最值． （1）当b>0时，截距

azzx＋，通过求直线的截距的最值间接bbbzz取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值； bb7

（2）当b<0时，截距

zz取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值． bb线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只

有一个，也可能有无数多个，也可能没有． 13．－5

【解析】试题分析：由题意得：?1,3为方程x?mx?n?0的两根，因此

2?1?3??m,?1?3?n?m??2,n??3,m?n??5. 考点：不等式解集与方程根的关系

14．60?

【解析】试题分析：由题可知三棱锥D?ABC的所有顶点都在球OO的表面上，侧棱AD⊥平面ABC，AD?6AB?AC?AB?23，故三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球，

外接球的直径就是长方体的对角线的长度．故球的半径R?2160．球的36?12?12?22?60?2表面积为：4?R?4??? 考点：球的表面积

?2???60?．??15．

?(4,?4),(4,1)?

【解析】试题分析：若n?6，则删去任意一项，剩下的项皆有连续三项，而这连续三项既5.成等差数列，又成等比数列，则这连续三项必为常数列，即公差为零，与题意矛盾，故n=4，当n=4时，只能删去第

2项或第3

22项，a3?a1a4或a2?a1a4，

?a1??n,?22(a1?2d)?a1(a1?3d)或(a1?d)?a1(a1?3d)，解得a1??4d或a1?d，此时数对?d?所

?(4,?4),(4,1)?；当n=4时，只能删去第3项，a组成的集合为

7?17 1622?a1a4，a1?d，但a5?5d，

不满足“等比数列”这一条件． 考点：等差数列与等比数列综合 16．【解析】试题分析：由P在抛物线上可得

cos?PF1F2?PF2797??PF1?PF2?2a?PF1?a,PF2?a PF19882122812492a?a?4c2PF?F1F2?PF2764?64?，化简得 由余弦定理可知cos?PF1F2?92PF1?F1F292?a?2c8

8

8c2?7ac?a2?0?8e2?7e?1?0?e?考点：椭圆抛物线方程及性质 17．（1）?0,7?17 16????4?（2）A??；

?6

【解析】试题分析：（1）由条件利用两角和差的正弦公式，二倍角的正弦公式求得可得sinA的范围，从而求得A的范围．（2）由（1）及及a?1得b?2，sinB?2sinA，又S?3?1，结合C为钝角，可求C，由余弦定理可求得c的值，由正弦定理可求4asinC，从而得解． csinA?试题解析：（1）由sinC?sin?B?A??2sin2A，得

sin?B?A??sin?B?A??22sinAcosA，即2sinBcosA?22sinAcosA，因为

cosA?0，所以sinB?2sinA.

由正弦定理，得b?2a，故A必为锐角，又0?sinB?1，所以0?sinA???2. 2因此角A的取值范围为?0,???4?.

（2）由（1）及a?1得b?2，又因为S?3?113?1，所以?1?2?sinC?，从424而sinC?6?27，因为C为钝角，故C??. 412由余弦定理，得c2?1?2?2?1?2?cos?7?6?2? ?1?2?2?1?2????2?3，???124??故c?asinC6?2?. 由正弦定理，得sinA?c41?6?21?4?，因此A?. 266?22考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数 18．（1）详见解析；（2）m?5 【解析】

9

试题分析：（1）借助于an??S1,n?1将an?1?9Sn?10转化为数列的递推公式，将

?Sn?Sn?1,n?2???13其变形后可得到?lgan?是等差数列；（2）数列?，?的通项公式为bn?lga?lgann?1??n?1??n依据特点采用裂项相消法求和可得到Tn的值，从而求得m的最大值 试题解析：（1）?an?1?9Sn?10 ?an?9Sn?1?10(n?2) 相减：an?1?an?9an 即

an?1?10(n?2)an

令n?1?a2?100满足

a2?90 a1?an?10n，lgan?n

??lgan?以1为首项，以1为公差的．

)??3??（2）?Tn??3(1?)?(?)???(?223nn?1n?12 ???11111?3331??(m2?5m) 24解得?1?m?6 ?最大正整数m?5

考点：1．等差数列的判定；2．裂项相消法求和 19．（1）证明见解析；（2）60o；（3）2．

【解析】试题分析：(1）设BC中点为F，连结AF,EF,可证四边形AFED为平行四边形，进而DE?AF，再证AF?平面BB1C1C，得DE?平面BB1C1C；（2）先证明?CBC1就是BC与平面BC1D所成的角，再求出tan?CBC的值，得?CBC1的大小；（3）由等积变换可得：VC?BC1D?VD?BCC1?1SV?BCC1?DE． 31CC1， 2试题解析：（1）设BC中点为F，连结AF,EF，∴EF?CC1,EF?而AD?CC1,AD?1CC1，∴EF?AD,EF?AD，∴四边形AFED为平行四边形， 210

∴DE?AF，又?ABC为等边三角形，∴AF?BC，而CC1?平面ABC

CC1?AF，而BC?CC1?C，∴AF?平面BB1C1C，∴DE?平面BB1C1C ．

（2）由（1）可得，平面AFED?平面BB1C1C，过C作CM?BC1于M点，则CM?平面BC1D，∴?CBC1就是BC与平面BC1D所成的角，tan?CBC1?CC1?3，∴BC?CBC1?60?．

（3）QVC?BC1D?VD?BCC1?111SV?BCC1?DE???2?3?23?2． 332考点：1、线面平行的判定定理；2、直线和平面所成角的定义及求法；3、利用等积变换求

三棱锥体积．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的． 20．（1）

311；（2） 412【解析】试题分析：（1）本题是一个古典概型，由分布计数原理知基本事件共12个，方程

x2?2ax?b2?0有实根的充要条件为a?b，满足条件的事件中包含6个基本事件，由古

典概型公式得到事件A发生的概率，同理可得出事件B发生的概率，最后利用互斥事件的

加法公式即可求出结果；

（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为构成事件A的区域为

??a,b?|0?a?3,0?b?2?，

??a,b?|0?a?3,0?b?2,a?b?，根据几何概型公式可求得结果．

试题解析：设事件A为“方程有实根”．

当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a>b

（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个： （1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2） （4，0）（4，1）（4，2）

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件， ∴事件A发生的概率为P?93? 124（2）由题意知本题是一个几何概型，

试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2}

满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2，a≥b}

11

1?1?111∴所求的概率是P?1?2? 考点：古典概型和几何概型

2?312【思路点睛】首先，确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事

件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次，计算出基本事件的总数及事件A所包含的基本事件数；最后，计算P?A??A包含基本事件数．首先确定事件类型为集合概型并明

基本事件总数确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算P?A?．解几何概型问题的关键是画图，求长度、面积或体积等几何度量． 21．（1）b?37??1??（2）???,???,?????（3）?4,??? 254??8??【解析】试题分析：（1）由求导公式和法则求g，利用导数的几何意义求出切线的斜率，（?x）再由题意和点斜式方程求出切线方程，把x?1代入求出切点坐标，代入g?x?求出b的值； （2）求出方程f?x??x?xf'?x?的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围；（3）求函数F?x?以及定义域，求F??x?出，利用导数和极值之间的关系将条件转化：F??x??0在F??x?（0，+∞）上有根，即

（0，??）上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列2x2?ax?1?0在

出关于a的不等式，求出a的范围．

试题解析：（1）设g?x?在x?1处的切线方程为y?kx?5，因为

1g'?x??3x2?7x?,g'?1??11，所以k?11，故切线方程为y?11x?5.

x73当x?1时，y?6，将（1,6）代入g?x??x3?x2?lnx?b，得b?.

2252（2）f'?x??3x?5x?a，由题意得方程x3?x2?ax?b?3x3?5x2?ax?x有唯

255一解，即方程2x3?x2?x?b有唯一解.令h?x??2x3?x2?x，则

221??1??h'?x??6x2?5x?1=?2x?1??3x?1?，所以h?x?在区间???,??,??,???上是增函

2??3??数，在区间?-1?1?7?11??1?,??上是减函数.又h?????,h?????.故实数b的取值范围是

8?3?54?23??2? 12

7??1????,???,??????.

54??8??2x2?a?1（3）F?x??ax?x?lnx，所以F'?x???.因为F?x?存在极值，所以

x22x2?a?1F'?x????0在?0,???上有限，即方程2x2?ax?1?0在?0,???上有限，

x则有??a2?8?0.显然当??0时，F?x?无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正

跟.记方程

2x2?ax?1?0的两根

x1,x2，则

1?xx??0??122??x+x=a12??2，

a2a211F?x1??F?x2??a?x1?x2???x?x2???lnx1?lnx2????1?ln?5?ln2422212，解得a2?16，满足??0，又x1+x2=a?0，即a?0，故所求a的取值范围是?4,???. 2考点：利用导数研究函数的性质

【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数的性质的一般方法，包括构造新函数，分离变量，以及求极值、最值等. 22．（1）32或52（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）将直线方程与抛物线方程联立方程，结合韦达定理得到弦长CD的值，由AB与CD的距离求得正方形的边长，从而得到关于参数b的方程，进而通过b值得到边长；（2）由PA与PB的倾斜角互补时可知斜率互为相反数，结合已知条件中点的坐标得到两直线的斜率表达式，从而得到关于P，A，B点坐标的关系式，将其整理变形可求得直线AB的斜率

?y?x?b2

试题解析：（1）解：设CD的方程为y=x+b，由?2消去x得y-y+b=0，

?y?x设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=1，y1y2=b， ∴｜CD｜ =1?1k2(y1?y1)2?4y1y2=2?8b，

又AB与CD的距离d=

4?b2，由ABCD为正方形有2?8b=

4?b2，

解得b=-2或b=-6．∴正方形的边长为32或52．

13

（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，

由y2＝2pxy2

11，0＝2px0，相减得 （y1－y0）（y1＋y0）＝2p（x1－x0）， 故kPA＝

y1?y02p2x＝y（x．同理可得kp1≠x0）PB＝（x2≠x0）．

1?x21?y0y1?y0由PA、PB倾斜率角互补知kPA＝－kPB， 即

2pyy＝－2p．

1?0y2?y0∴yy1?y1＋y2＝－2y0，故

2y＝－2． 0设直线AB的斜率为k2

y2

AB，由y2＝2px2，1＝2px1， 相减得（y2－y1）（y2＋y1）＝2p（x2－x1）． ∴kAB＝

y2?y1x＝2p（x1≠x2）．

2?x1y2?y1将y1＋y2＝－2，（y0>0）代入得 kpAB＝

2y＝－py，所以kAB是非零常数．

1?y20考点：1．直线与抛物线相交的相关问题；2．直线的斜率

14

2017届高二寒假假期复习检测数学（文）

参考答案

1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．C 7．A 8．A 9．D 10．B 11．D 12．C 13．－5 14．60? 15．

?(4,?4),(4,1)? 16．7?17 1617．（1）?0,????4?（2）A??；

?6

试题解析：（1）由sinC?sin?B?A??2sin2A，得

sin?B?A??sin?B?A??22sinAcosA，即2sinBcosA?22sinAcosA，因为

cosA?0，所以sinB?2sinA.

由正弦定理，得b?2a，故A必为锐角，又0?sinB?1，所以0?sinA???2. 2因此角A的取值范围为?0,??. ?4?（2）由（1）及a?1得b?2，又因为S?3?113?1，所以?1?2?sinC?，从424而sinC?6?27，因为C为钝角，故C??. 4122?7?6?2?由余弦定理，得c?1?2?2?1?2?cos， ?1?2?2?1?2???????2?3124??故c?asinC6?2?. 由正弦定理，得sinA?c41?6?21?4?，因此A?. 266?2218．（1）详见解析；（2）m?5

试题解析：（1）?an?1?9Sn?10 ?an?9Sn?1?10(n?2)

15

相减：an?1?an?9an 即

an?1?10(n?2)an

令n?1?a2?100满足

a2?90 a1?an?10n，lgan?n

??lgan?以1为首项，以1为公差的．

)??3??（2）?Tn??3(1?)?(?)???(?223nn?1n?12 ???11111?3331??(m2?5m) 24解得?1?m?6 ?最大正整数m?5

19．（1）证明见解析；（2）60o；（3）2．

试题解析：（1）设BC中点为F，连结AF,EF，∴EF?CC1,EF?而AD?CC1,AD?1CC1， 21CC1，∴EF?AD,EF?AD，∴四边形AFED为平行四边形， 2∴DE?AF，又?ABC为等边三角形，∴AF?BC，而CC1?平面ABC

CC1?AF，而BC?CC1?C，∴AF?平面BB1C1C，∴DE?平面BB1C1C ．

（2）由（1）可得，平面AFED?平面BB1C1C，过C作CM?BC1于M点，则CM?平面BC1D，∴?CBC1就是BC与平面BC1D所成的角，tan?CBC1?CC1?3，∴BC?CBC1?60?．

（3）QVC?BC1D?VD?BCC1?20．（1）

111SV?BCC1?DE???2?3?23?2． 332311；（2） 412试题解析：设事件A为“方程有实根”．

当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a>b

（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个： （1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2） （4，0）（4，1）（4，2）

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，

16

∴事件A发生的概率为P?93? 124（2）由题意知本题是一个几何概型，

试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2}

满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2，a≥b}

1?1?111∴所求的概率是P?1?2?

2?31221．（1）b?37??1??（2）???,?????,???（3）?4,??? 254??8??试题解析：（1）设g?x?在x?1处的切线方程为y?kx?5，因为

1g'?x??3x2?7x?,g'?1??11，所以k?11，故切线方程为y?11x?5.

x73当x?1时，y?6，将（1,6）代入g?x??x3?x2?lnx?b，得b?.

2252（2）f'?x??3x?5x?a，由题意得方程x3?x2?ax?b?3x3?5x2?ax?x有唯

255一解，即方程2x3?x2?x?b有唯一解.令h?x??2x3?x2?x，则

221??1??h'?x??6x2?5x?1=?2x?1??3x?1?，所以h?x?在区间???,??,??,???上是增函

2??3??数，在区间?-1?1?7?11??1?,??上是减函数.又h?????,h?????.故实数b的取值范围是

8?3?54?23??2?7??1????,???,??????.

54??8??2x2?a?1（3）F?x??ax?x?lnx，所以F'?x???.因为F?x?存在极值，所以

x22x2?a?1F'?x????0在?0,???上有限，即方程2x2?ax?1?0在?0,???上有限，

x则有??a2?8?0.显然当??0时，F?x?无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正

跟.记方程

2x2?ax?1?0的两根

x1,x2，则

1?xx??0??122??x+x=a12??2，

17

a2a211F?x1??F?x2??a?x1?x2???x?x2???lnx1?lnx2????1?ln?5?ln2422212，解得a2?16，满足??0，又x1+x2=a?0，即a?0，故所求a的取值范围是?4,???. 222．（1）32或52（2）详见解析

试题解析：（1）解：设CD的方程为y=x+b，由??y?x?by2

-y+b=0，

?y2?x消去x得设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=1，y1y2=b， ∴｜CD｜ =1?1k2(y1?y1)2?4y1y2=2?8b，

又AB与CD的距离d=

4?b2，由ABCD为正方形有2?8b=

4?b2，

解得b=-2或b=-6．∴正方形的边长为32或52． （2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，

由y22

1＝2px1，y0＝2px0，相减得 （y1－y0）（y1＋y0）＝2p（x1－x0）， 故kPA＝

y1?y0x?x＝2p（xk2p1≠x0）．同理可得PB＝（x2≠x0）．

12y1?y0y1?y0由PA、PB倾斜率角互补知kPA＝－kPB， 即

2py＝－2p．

1?y0y2?y0∴yy1＋y2＝－2y0，故

1?y2y＝－2． 0设直线AB的斜率为k2

2

AB，由y2＝2px2，y1＝2px1， 相减得（y2－y1）（y2＋y1）＝2p（x2－x1）． ∴kAB＝

y2?y1x＝2p（x1≠x2）．

2?x1y2?y1将y1＋y2＝－2，（y0>0）代入得 k2ppAB＝y＝－，所以kAB是非零常数．

1?y2y0

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