《理论力学》习题

第一章习题

1.1沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t，而通过下一等距离s的时间为t2.

1试证明枪弹的减速度（假定是常数）为

2s?t2?t1? t1t2?t1?t2?1.2 某船向东航行，速率为每小时15km,在正午某一灯塔。另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔。问在什么时候，两船的距离最近？最近的距离是多少？ 1.3 曲柄OA?r,以匀角速?绕定点O转动。此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线Ox运动。求连杆上C点的轨道方程及速度。设AC?CB?a，?AOB??,?ABO??。

yAraC?O?aBx

第1.3题图

1.4 细杆OL绕O点以角速?转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动。图中的d为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。

LAd?O第1.4题图xCB

1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：

?t? ?a?c?1?sin?2T??式中c及T为常数，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。

1.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为?r及??，式中?及?是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为

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?r?1.7 试自

2?2?2???,?????? rr??x?rcos?,y?rsin?

出发，计算??。并由此推出径向加速度ar及横向加速度a?。 yx?及?1.8 直线FM在一给定的椭圆平面内以匀角速?绕其焦点F转动。求此直线与椭圆的焦点

M的速度。已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为

a1?e2 r?1?ecos?式中a为椭圆的半长轴，e为偏心率，都是常数。

1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。 1.10 一质点沿着抛物线y2?2px运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的?2k倍。如此质点从正焦弦????p?的一端以速度出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。

u,p?2??1.11 质点沿着半径为r的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角?保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知出速度为v0。 1.12 在上题中，试证其速度可表为

v?v0e????0?ctg?

式中?为速度矢量与x轴间的夹角，且当t?0时，???0。

1.13 假定一飞机从A处向东飞到B处，而后又向西飞回原处。飞机相对于空气的速度为v?，而空气相对于地面的速度为v0。A与B之间的距离为l。飞机相对于空气的速度v?保持不变。

?a?假定vo?o，即空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为

t0?2l

v? ?b?假定空气速度为向东（或向西），试证来回飞行的总时间为

tB?1?t0v02

v?2 ?c?假定空气的速度为向北（或向南），试证来回飞行的总时间为

tN?t0v02

1?2v?- 12 -

1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？

1.15 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米。但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米。如果雨点的速度为8米/秒，求轮船的速率。

1.16 宽度为d的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c。一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。

1.17 小船M被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度C朝岸上A点划回。假定河流速

2度C沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。

11.18 一质点自倾角为?的斜面上方O点，沿一光滑斜槽OA下降。如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽OA与竖直线所成之角?应为何值？

O?A?

第1.18题图1.19 将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即

R?mk2gv2。如上抛时的速度为v0，试证此质点又落至投掷点时的速度为

v1?v01?kv220

1.20 一枪弹以仰角?、初速度v0自倾角为?的斜面的下端发射。试证子弹击中斜面的地方和发射点的距离d（沿斜面量取）及此距离的最大值分别为

2v20cos?sin????? d?gcos2?v20????dmax?sec2???。

2g?42?1.21 将一质点以初速v0抛出，v0与水平线所成之角为?。此质点所受到的空气阻力为其速度的mk倍，m为质点的质量，k为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为

?时所需的时间。

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1.22 如向互相垂直的匀强电磁场E、B中发射一电子，并设电子的初速度V与E及B垂直。试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为e?E?v?B?，式中E为电场强度，e为电子所带的电荷，v为任一瞬时电子运动的速度。 1.23 在上题中，如

?a?B?0，则电子的轨道为在竖直平面?xy平面?的抛物线；

?b?如E?0，则电子的轨道为半径等于mVeB的圆。试证明之。

1.24 质量为m与2m的两质点，为一不可伸长的轻绳所联结，绳挂在一光滑的滑轮上。在m的下端又用固有长度为a、倔强系数k为

mg的弹性绳挂上另外一个质量为的质点。在

ma开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳则处在固有的长度上。由此静止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期?及任何时刻两段绳中的张力T及

T?。

aT?2mT?T?

?m?T第1.24题图1.25 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W的物体。当滑轮以匀速转动时，物体以匀速v0下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受W的作用时的静伸长为?0。

1.26 一弹性绳上端固定，下端悬有m及m?两质点。设a为绳的固有长度，b为加m后的伸长，c为加m?后的伸长。今将m?任其脱离而下坠，试证质点m在任一瞬时离上端O的距离为

a?b?ccosg tb1.27 一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下。问滑至何处，此质点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为r。

1.28 重为W的不受摩擦而沿半长轴为a、半短轴为b的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长2轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。

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1.29 一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为

2mgcos?，式中?为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为

x?a?2??sin2??,y??a?1?ccos2??

1.30 在上题中，如圆滚线不是光滑的，且质点自圆滚线的尖端自由下滑，达到圆滚线的最低点时停止运动，则摩擦系数?应满足下式

?2e???1

试证明之。

1.31 假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振幅很小，故阻力与??成正比，且可写为

g时，单摆2＜，式中是摆锤的质量，为摆长，为比例系数。试证当?mlkR??2mkl?kl的振动周期为

??2?l 2g?kl1.32 光滑楔子以匀加速度a0沿水平面运动。质量为m的质点沿楔子的光滑斜面滑下。求质点的相对加速度a?和质点对楔子的压力P。

1.33 光滑钢丝圆圈的半径为r，其平面为竖直的。圆圈上套一小环，其中为w。如钢丝圈以匀加速度a沿竖直方向运动，求小环的相对速度v及圈对小环的反作用力R。

r1.34 火车质量为m，其功率为常数k。如果车所受的阻力f为常数，则时间与速度的关系为：

t?如果f和速度v成正比，则

mkk?v0fm?v?v0? ln?2fk?vffmvvk?fv20 t?ln2fv?k?vf?式中v0为初速度，试证明之。

1.35 质量为m的物体为一锤所击。设锤所加的压力，是均匀地增减的。当在冲击时间?的一半时，增至极大值P，以后又均匀减小至零。求物体在各时刻的速率以及压力所作的总功。

1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。

?a? ?b?

Fx?6abz3y?20bx3y2，Fy?6abxz3?10bx4y，Fz?18abxyz2 F?iFx?x??jFy?y??kFz?z?

1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能：

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理论力学思考题习题

参考答案

周衍柏 第二版

朊病毒 整理 2007-10-22

仅供参考，多思考，勤练习

目录

第一章 质点力学 ................................................................................................................. - 4 - 第一章 思考题 ............................................................................................................... - 4 - 第一章思考题解答 ........................................................................................................... - 5 - 第一章习题 ..................................................................................................................... - 11 - 第一章习题解答 ............................................................................................................. - 18 - 第二章 质点组力学 ........................................................................................................... - 72 - 第二章思考题 ................................................................................................................. - 72 - 第二章思考题解答 ......................................................................................................... - 72 - 第二章习题. .................................................................................................................... - 74 - 第二章习题解答 ............................................................................................................. - 77 - 第三章 刚体力学 ............................................................................................................... - 96 - 第三章思考题 ................................................................................................................. - 96 - 第三章思考题解答 ......................................................................................................... - 97 - 第三章习题 ................................................................................................................... - 102 - 第三章习题解答 ........................................................................................................... - 108 - 第四章 转动参考系 ......................................................................................................... - 140 - 第四章思考题 ............................................................................................................... - 140 - 第四章思考题解答 ....................................................................................................... - 140 - 第四章习题 ................................................................................................................... - 143 - 第四章习题解答 ........................................................................................................... - 145 - 第五章 分析力学 ............................................................................................................. - 156 - 第五章思考题 ............................................................................................................... - 156 - 第五章思考题解答 ....................................................................................................... - 157 - 第五章习题 ................................................................................................................... - 164 - 第五章习题解答 ........................................................................................................... - 170 -

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第一章 质点力学

第一章 思考题

1.1平均速度与瞬时速度有何不同？在上面情况下，它们一致？

?.为什么a?????2r??2而非?1.2 在极坐标系中，v?r?，v??r????r?？为什么a0?r?r?r?rr而非r????r?？你能说出ar中的?r??2和a?中另一个r?出现的原因和它们的物理意义????吗？

1.3 在内禀方程中，an是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向？当质点沿空间运动时，副法线方向的加速度ab等于零，而作用力在副法线方向的分量Fb一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？

1.4 在怎样的运动中只有a?而无an？在怎样的运动中又只有an而无a?？在怎样的运动中既有an而无a?？

??drdrdvdv有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论.1.5与有无不同？与 dtdtdtdt?向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？1.6人以速度v

1.7雨点以匀速度v落下，在一有加速度a的火车中看，它走什么路经？

1.8某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中.两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶.追到渔竿之处是在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？

1.9物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？

1.10在那些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明.

1.11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的将如何？

1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？

1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是v?3i?2j?3k，式中i、j、k是沿x、

y、z轴上的单位矢量。求此质点的动量和动能的量值。

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1.14在上题中，当质点以上述速度运动到（1，2，3）点时，它对原点O及z轴的动量矩各是多少？

1.15动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒？

1.16如F?F?r?，则在三维直角坐标系中，仍有▽?F?0的关系存在吗？试验之。 1.17在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？

1.18我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为68．5?，比苏

联及美国第一次发射的都要大。我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大的优点是什么？

1.19卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？

第一章思考题解答

1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔t?t??t内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿?t对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在?t?0的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。

1.2答：质点运动时，径向速度V和横向速度Vθ的大小、方向都改变，而a中的?r?只反映rr了V本身大小的改变，a?中的r????r??只是Vθ本身大小的改变。事实上，横向速度Vθ方

r向的改变会引起径向速度V大小大改变，?r??2就是反映这种改变的加速度分量；经向速r度V的方向改变也引起Vθ的大小改变，另一个r?即为反映这种改变的加速度分量，故??r???2r?.。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能?2，a?r???ar??r??r??完整地描述质点的运动变化情况

1.3答：内禀方程中，an是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切面内，速度v总是沿轨迹的切线方向，而an垂直于v指向曲线凹陷一方，故an总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时，ab?0,Fb?0z何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力F，还受到被动的约反作用力R，二者在副法线方向的分量成平衡力Fb?Rb?0，故ab?0符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻若

Fb与Rb大小不等，ab就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，

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质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来ab所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足Fb?Rb?0即ab?0。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。

1.4答：质点在直线运动中只有a?而无an，质点的匀速曲线运动中只有an而无a?；质点作变速运动时即有at又有an。

1.5答：dr即反应位矢r大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，

dt而

dr只表示大小的改变。如在极坐标系中，dr?j而dr?r?i?r??。在直线运动中，规?rrdtdtdt定了直线的正方向后，

drdr。且dr的正负可表示dr的指向，二者都可表示质点的运

?dtdtdtdtdrdr，且dr也表示不了dr的指向，二者完全不同。 ?dtdtdtdtdt动速度；在曲线运动中

dv表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而dv只是质点运动速度大小

dt的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同，

dvdv?a??an,而?a?。 dtdt1.6答：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题1.6

V球对人V

V人对地题1-6图图所示，故人以速度V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投出，（事实上要稍高一点，使球的运动有一定弧度，便于投篮）。

1.7答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度a的匀速水平直线运动的合成运动如题1.7图所示，

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x?O?aa???a

V?y?题1-7图1?x??at2?雨点相对车的加速度a???a，其相对运动方程?消o?x?y?是固定于车的坐标系，2??y??vt去t的轨迹

2v2

y??x?a2如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线凹向的内侧，a?垂直于V?方向的分量a?在改变着V?的方向，该轨迹上凹。

n1.8答：设人发觉干落水时，船已上行s?，上行时船的绝对速度V?V，则

船水 s?? V船?V水?2

①

船反向追赶竿的速度V船?V水，设从反船到追上竿共用时间t，则

( V船?V水)t?600?s?

②

又竿与水同速，则

V（2?t)?600

水 ③

①+③=②得

??V水?150mmin

1.9答：不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度的方向与合外力的方向一致。外力不但改变速度的大小还改变速度的方向，在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一致，只是在加速度直线运动二者的方向一致。

1.10答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动。在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻

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既可沿初速度方向运动，也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过程中初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动。

在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致，物体初时刻速度沿初速度的反方向，但以后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动，外力不断改变物体的运动方向，各时刻的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关。如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不一致，重力的方向决定了轨道的形状开口下凹，初速度的方向决定了射高和射程。 1.11答：质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑，达到任意点的速度只和初末时刻的高度差有关，因重力是保守力，而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功，因此有此结论 假如曲线不是光滑的，质点还受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不仅与初末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形状有关。

1.12答：质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动方向，故约束力不做功，动能定理或能量积分中不含约束力，故不能求出约束力。但用动能定理或能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出an，有牛顿运动方程Fn?Rn?man便可求出Rn，即为约束力 1.13答：动量

p?mv?1?32?22?3?4?kg.ms?

2 动能

T?1.14答：

21122?mv2??1??3?23???8?N?m?

??22ijkJ?r?mv?1232故

3?23?6i?9?3j??2?6?k 3????22??kg?m22?J0?23?6?9?3???4??8.67?s???kg?m2??J??4???Zs???????????

1.15答：动量矩守恒意味着外力矩为零，但并不意味着外力也为零，故动量矩守恒并不意味着动量也守恒。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心，力对力心的矩为零，但这质点受的力并不为零，故动量不守恒，速度的大小和方向每时每刻都在改变。 1.16答：若F?F?r?,在球坐标系中有

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ere?????F??r??F?r?0e???F?r??F?r??e??e??0 ??????0由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中仍有??F?0的关系。在直角坐标系中

r?xi?yj?zk,F?r??Fx?r?i?Fy?i?j?Fz?r?k

故

ijk?????F???x?y?zFx?r?Fy?r?Fz?r?i??xF?r?xrj??yF?r?yrk??zF?r?zr???F?r?xi?yj?zkr?????F?r????F?rr事实上据“?”算符的性质，上述证明完全可以简写为

??F???F?r?r?0

这表明有心力场是无旋场记保守立场

1.17答平方反比力场中系统的势能V?r???km，其势能曲线如题图1.17图所示，

2rV?r?E?0rReTrminE?0E?0rmaxT03T1T0R2m?rT01T02T2T3

题1-17图由T?V?r??E知T?E?V?r?,因T?0,故有E?V?r?。

若E?0，其势能曲线对应于近日点rmin和远日点rmax之间的一段。近日点处对应于双曲线轨道的E?V?r??T即为进入轨道需要的初动能若E?0则质点的运动无界，

运动；若E?0位于有界和无界之间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有近日点，即对大的r质点的运动是无界的，当r很大时V?r??0，还是选无限远为零势点

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的缘故，从图中可知，做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大。事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小 由

??01km? mv2??E??0 2r??0?2得

?????V2???????k2rk2 rk2r即速度V的大小就决定了轨道的形状，图中T1,T2,T3对应于进入轨道时的达到第一二三宇宙速度所需的能量由于物体总是有限度的，故r有一极小值Re，既相互作用的二质点不可能无限接近，对于人造卫星的发射Re其为地球半径。T0?E?V?r?为地面上发射时所需的初动能，图示T01,T02,T03分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动能。?T0i?Ti? i?1,2,3.为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。

1.18答：地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用，此力的方位线平行于赤道平面，指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大，则卫星的惯性离心力与轨道平面的家教越大，运动中受的影响也越大，对卫星导向控制系统的要求越高。交角越大，对地球的直接探测面积越大，其科学使用价值越高。

2?1kze2k?21.19答：对库仑引力场有mv??E,其中k??若V2〉,则，E〉0，轨道是双

2r4??0 r曲线的一点，与斥力情况相同，卢瑟福公式也适用，不同的是引力情况下力心在双曲线凹陷方位内侧；若V2?2k?,则E?0，轨道椭圆?E?0?或抛物线?E?0?，卢瑟福公式不适用，r2k?的情况下即可得卢瑟福公式。

近代物理学的正，

r仿照课本上的推证方法，在入射速度V0?负粒子的对撞试验可验证这一结论的近似正确性。

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ke?ar＜0

V?r??,kr试求

?a?中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；

?b?求质量为m的粒子作半径为a的圆运动的动量矩J及能量E。

1.38 已知作用在质点上的力为

Fx?a11x?a12y?a13zFy?a21x?a22y?a23z Fz?a31x?a32y?a33z式中系数aij?i,j?1,2,3?都是常数。问这些aij应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。

1.39 一质点受一与距离3次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到

2达a时的速率和自a静止出发到达

a时的速率相同。 41.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其达到O点所需的时间。 1.41 试导出下面有心力量值的公式：

mh2dp?2 F?2dr式中m为质点的质点，r为质点到力心的距离，h?r2???常数，p为力心到轨道切线的垂直距离。

1.42 试利用上题的结果，证明：

?a?如质点走一圆周，同时力心位于此圆上，则力与距离五次方成反比。

?b?如一质点走一对数螺线，而其质点即力心，则力与距离立方成反比。

1.43 质点所受的有心力如果为

??2??

F??m??r2?r3????式中?及?都是常数，并且?＜h2，则其轨道方程可写成

r?2a 1?ecosk?22222h??khAkh（为积分常数）

试证明之。式中k?。 ,a?,e?A222h??1.45 如s?p为质点在远日点及近日点处的速率，试证明 ?a及s- 16 -

?p﹕s?a=?1?e?﹕?1?e? s1.46 质点在有心力作用下运动。此力的量值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率则与距离成反比，即v?a。?， 如果a2＞h2h?r2?求点的轨道方程。设当r?r0时，??0。

r??1.47 ?a?某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道（假定为圆形）半径的1。则此

n彗星运行时，在地球轨道内停留的时间为一年的

2n?2n?1 3?n2n倍，试证明之。

?b?试再证任何作抛物线轨道的彗星停留在地球轨道（仍假定为圆形）内的最长时间为一年的

2倍，或约为76日。

3?1.48 试根据§1.9中所给出的我国第一颗人造地球卫星的数据，求此卫星在近地点和远地点的速率v及v以及它绕地球运行的周期?（参看79页）。

121.49 在行星绕太阳的椭圆运动中，如令a?r?aecosE,2?dt?T，式中?为周期，a为

??半长轴，e为偏心率，E为一个新的参量，在天文学上叫做偏近点角。试由能量方程推出下面的开普勒方程：

T?E?esinE

1.50 质量为m的质点在有心斥力场mc中运动，式中r为质点到力心O的距离，c为常数。

r3当质点离O很远时，质点的速度为v，而其渐进性与O的垂直距离则为?（即瞄准距离）。

?试求质点与O的最近距离a。

O?av??A第1.50题图m?

v

- 17 -

第一章习题解答

1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:

SS?t2设开始计时的时刻速度为v0,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a. 则有:

12?s?vt?at101??2 ??2s?v?t?t??1a?t?t?201212?2??t1

题1.1.1图由以上两式得

v0?s1?at1 t12再由此式得

a?证明完毕.

2s?t2?t1? t1t2?t1?t2?1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.

AO

B题1.2.1图1?设A船经过t0小时向东经过灯塔,则向北行驶的B船经过??t0?1?小时经过灯塔2??任意时刻A船的坐标

xA???15t0?15t?，yA?0

B船坐标xB?0，

- 18 -

???1?yB???15?t0?1??15t?

2????则AB船间距离的平方

d2??xA?xB?2??yA?yB?2

即

???1?d2??15t0?15t?2??15?t0?1??15t?

2????2?450t??900t0?675?t22?225t01???225?t0?1?

2??2d2对时间t求导

dd2?900t??900t0?675? dtdd2 船相距最近，即AB?0，所以 dtt?t0?3 h4????即午后45分钟时两船相距最近最近距离

smin3??33????15????15??15??km

4??42??221.3 解 ?1?如题1.3.2图

yAraC?O?aBx

第1.3题图yA??r?OC?a

Bx?题1.3.2图- 19 -

由题分析可知，点C的坐标为

?x?rcos??acos? ??y?asin?又由于在?AOB中，有

r2a?sin?sin?sin??（正弦定理）所以

2asin?2y

?rr联立以上各式运用

sin2??cos2??1

由此可得

22x?acos?x?a?ycos???rr

得

222224y2x?a?y?2xa?y ??1r2r2得

3y2?x2?a2?r2?2xa2?y2

化简整理可得

24x2a2?y2?x2?3y2?a2?r2

????此即为C点的轨道方程. （2）要求C点的速度，分别求导

r?cos???x??r?sin??sin??2cos?? ?r?cos??y???2?其中

? ???又因为

rsin??2asin?

对两边分别求导 故有

- 20 -

???r?cos?

2acos?所以

V???r?cos?r2?2cos2? 22??y???x??r?sin??2cos?sin????4??2?r?2cos?cos2??4sin?cos?sin?????

1.4 解 如题1.4.1图所示，

LAd?O第1.4题图xCB

OL绕O点以匀角速度转动，C在AB上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分

量

v????OC??d2?x2

C点速度

v?d2?x2 2v??v?sec???dsec???cos?d又因为?点加速度 ???所以C

dv2?2xd2?x222?a???d?2sec??sec??tan???2d?sec?tan??dtd2??

1.5 解 由题可知，变加速度表示为

?t? ?a?c?1?sin?2T??由加速度的微分形式我们可知

a?dv dt代入得

- 21 -

?t? ?dv?c?1?sin?dt2T??对等式两边同时积分

?0可得 ：

vt??t?

dv?c??1?sin?dt02T??v?ct?2T?ccos?t2T?D（D为常数）

代入初始条件：t?0时，v?0，故

D??2T?c

即

?2T??t?? v?c?t?cos?1????2T????又因为

v?ds

dt所以

?2T??t???1??dt ds?c?t??cos??2T???对等式两边同时积分，可得：

?12T?2T?t??s?c?t2?sin?t?? ????2T???2

1.6 解 由题可知质点的位矢速度

v//??r①

沿垂直于位矢速度

v????

又因为 v//?r???r ， 即

???r r- 22 -

?? ?v???r???即???ra?dvdd?j（取位矢方向i，垂直位矢方向j） ?i???r?r?dtdtdt??所以

?ddrdi?j?i????i?r???ri?r??rdtdtdt

?ddr?d??j?r????2i ??dj?r??j?r?r?j??j?rj?r?dtdtdtdt??故

?2i?r????2r?j ??r???a??r????即 沿位矢方向加速度

?2 ??r?a??r??垂直位矢方向加速度

???2r? ??a??r?对③求导

????2r r???r??对④求导

???????r2??r????????????? r?r?把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得

?2?2 a//??r?2r???a????????

r??1.7 解 由题可知

?x?rcos? ①②

??y?rsin?对①求导

? ③ ??r?cos??rsin??x对③求导

?sin??r???sin??r??2cos?④ ?????cos??2r??xr- 23 -

对②求导

?cos?⑤ ??r?sin??r?y对⑤求导

?cos??r???cos??r??2sin?⑥ ?????sin??2r??yr对于加速度a，我们有如下关系见题1.7.1图

y?a??arO?题1.7.1图

x即

??arcos??a?sin?x?? ⑦--⑧ ???arsin??a?cos?y??对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦?cos?，⑧?sin? 即得

?cos??arcos??a?sin?cos?x?? ⑨--⑩ ??sin??arsin??a?sin?cos?y??⑨+⑩得

?cos????sin? ⑾ ar??xy把④⑥代入 ⑾得

?2 ar??r??r?同理可得

???2r? ??a??r?1.8解 以焦点F为坐标原点，运动如题1.8.1图所示]

y??OFMx

题1.8.1图- 24 -

则M点坐标

?x?rcos? ??y?rsin?对x,y两式分别求导

?sin????r?cos??r??x ?????r?sin??r?cos??y故

?sin??2?y?2?r?cos??r?v2?x如图所示的椭圆的极坐标表示法为

????r?sin??r??cos??22?2?r2?2 ?ra1?e2

r?1?ecos???对r求导可得（利用????）又因为

11ecos? ??22ra1?ea1?e????即

a1?e2?r cos??re??所以

sin??1?cos??1?故有

22a21?e2??2?r2?2ar1?e2r2e2??

v?e2?2r4a1?e22e2?2r4a21?e2a1?e2??2sin2??r2?2

??22?[1??22??r?2ar1?er2e22?2?]?r2?2

?e2r2?r2?2ar1?e2??2r2r2?2?2????2?2a?r?r 22a1?e?1?eb?????即

v?r?r?2a?r? b- 25 -

（其中b2?1?e2a2,b为椭圆的半短轴）

1.9证 质点作平面运动，设速度表达式为

??v?vxi?vyj

令为位矢与轴正向的夹角，所以

dvy?dvdvxdidvydj??dvx?v???i????? ?v???a??i?vx?j?vyyx?j?dtdtdtdtdt?dt??dt?所以

?dvx??dvy??????vxi?vyj? a????vy??i???v?x?j???dt??dt?dvydvy dvxdvx???vx?vxvy??vy?vxvy??vx?vydtdtdtdt又因为速率保持为常数，即

v2x?v2y?C,C为常数

对等式两边求导

2vxdvydvx?2vy?0 dtdt所以

a?v?0

即速度矢量与加速度矢量正交.

1.10解 由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，

yO?p??,p??2???p??,?p??2?x

题1.10.1图则质点切向加速度

at?dv dt- 26 -

2v法向加速度an?，而且有关系式

?dvv2 ①

??2kdt?又因为

1??y???1?y??322 ②

y2?2px

所以

y??p ③ yp2 ④ y????3y联立①②③④

p2dv??2kv2dty3?p2???1?y2????32 ⑤

又

dvdvdydv ????ydtdydtdy把y2?2px两边对时间求导得

??x?yy p又因为

?2?y?2 v2?x所以

v2??yy2 ⑥ 1?2p2把⑥代入⑤

- 27 -

v?y2???1?p2????既可化为

12?dv??2kv2?dyp2y3?p2???1?y2????32

dvdy ??2kp22vy?p对等式两边积分

?所以

vu?pdvdy ??2kp?22pvy?pv?ue?k?

1.11解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示

v?题1.11.1图a

?v2a??asin???nr ??a?dv?acos?t?dt?两式相比得

v21dv?? rsin?cos?dt即

1dvcot?dt?2 rv对等式两边分别积分

?即

t0v1dv cot?dt??v0rv211t??cot? vv0r- 28 -

此即质点的速度随时间而变化的规律.

1.12证 由题1.11可知质点运动有关系式

?v2?asin???r ①② ??dv?acos???dt所以 dv?dv?d??dv?，联立①②，有

dtd?dtd?dvv2??cos? d?rsin?又因为

v??r

所以 dv?cot?d?，对等式两边分别积分，利用初始条件t?0时，???0

vv?v0e????0?cot?

1.13 证（a）当v0?0，即空气相对地面上静止的，有v绝?v相?v牵.式中v绝 质点相对静止参考系的绝对速度， v相指向点运动参考系的速度， v牵指运动参考系相对静止参考系的速度.

可知飞机相对地面参考系速度：v绝=v?，即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞行的总时间

t0?2l. v?（b）假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度

v1?v??v0

飞行时间

t1?l v??v0当飞机向西飞行时速度

v?v相?v牵?v??v0

飞行时间

- 29 -

t2?l v??v0故来回飞行时间

t?t1?t2?ll2v?l ??22???v?v0v?v0v?v0即

2lt0 t?v?2?2v0v01?21?2v?v?同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间

t?t02 v01?2v?（c）假定空气速度向北.由速度矢量关系如题1.13.1图

v0v绝Av?题1.13.1图B v绝?v0?v?

2 v?v?2?v0所以来回飞行的总时间

t?2lv??v220?1?2lv?2v0?v?2t01?v20

v?2同理可证空气速度向南时，来回飞行总时间仍为

t?1?1.14解 正方形如题1.14.1图。

t02v0

v?2- 30 -

题1.26.1图

设绳的弹性系数为k,则有

mg?kb ①

当 m?脱离下坠前，m与m?系统平衡.当m?脱离下坠前，m在拉力T作用下上升，之后作简运.运动微分方程为

? ② mg?k?y?a??m?y联立①② 得

???yga?b ③

y?gbb???ygy?0 b齐次方程通解

Y1?A1cos非齐次方程③的特解

gg t?A2sintbbY0?a?b

所以③的通解

Y1?A1cosggt?A2sint?a?b bb代入初始条件：t?0时，y?a?b?c,得A1?c,A2?0；故有

y?ccos即为m在任一时刻离上端O的距离.

gt?a?b b1.27解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图1-24.

- 46 -

N??

mg题1.27.1图运动的轨迹的切线方向上有:

mgsin??mdv ① dt法线方向上有：

v2 ②

mgcos??N?mR对于①有gsin??dv?dvds（s为运动路程，亦即半圆柱周围弧长）即

dtdsdtvdv?gsin?ds

又因为

Rd??ds

即

vdv?gsin?Rd? ③

设质点刚离开圆柱面时速度v0，离开点与竖直方向夹角?0，对③式两边积分

?刚离开圆柱面时N?0即

v00vdv???00gsin?Rd?

12v0?gR?1?cos?0? ④ 22v0mgcos?0?m ⑤

R联立④⑤ 得

?0?arccos- 47 -

2 3即为刚离开圆柱面时与竖直方向夹角.

1.28解 建立如题1.28.1图所示直角坐标.

ybOaAx

B题1.28.1图椭圆方程

x2y2?2?1 ① 2ab从A滑到最低点B，只有重力做功.机械能守恒.即

mgb?1mv2 ② 2设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为N则有：

v2 ③

N?mg?m??为B点的曲率半径.

A?B的轨迹：

x2

y??b1?2a得

y??a又因为

2bxx； 1?2a2y???b?2a1?x? ??1?a2????2321??k?y???1?y??- 48 -

322?b a2

所以

?bb2?

N?mg??mg?2?2mgh?W?1?22???aa???故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为

?b2W??1?2a2?? ???mv2方向垂直轨道向下.

1.29 解质点作平面直线运动，运动轨迹方程为

?x?a?2??sin2?? ①-② ??y??a?1?cos2??由曲线运动质点的受力分析，我们可以得到：

?v2mgcos??N?m??? ③-④ ??mgsin??mdv?dt?因为曲线上每点的曲率

k?所以

y???1?y??322 ⑤

dydyd?2asin2?sin2? ⑥ ???dxdx2a?2acos2?1?cos2?d?d2yd?dy?d?dy?d?

???????dx2dx?dx?d??dx?dx?2cos2??1?cos2???2sin22??1?cos2??211 ⑦ ??22a?2acos2?a?1?cos2??把⑥⑦代入曲率公式⑤中

k?1 4acos?所以

- 49 -

??由④

1?4acos? ⑧ kdvdvdsdv??v?gsin? dtdsdtds即vdv?gsin?ds，又有数学关系可知dy?dssin?，即vdv?gdy所以

v2?2gy??2ga?1?cos2?? ⑨

把⑧⑨代入①

v2 N?mgcos??m?mgcos??m2ga?1?cos2???2mgcos? 4acos?

1.30 证当题1.29所述运动轨迹的曲线不光滑时，质点的运动方程为：

?v2?mgcos??N?m?? ①②③④⑤ ?12??d??mv???mgsin???N?ds????2由1.29题可知

??4acos? ②

由数学知识知

?d??ds ③

把①③④代入②

12dv?g?sin???cos??4acos?d???v2d? 2dv2?2?v2?4ag?sin2?????cos2?? ⑤ d???这是一个非齐次二阶微分方程.解为

v2?ag22?? ?4?sin2??2cos2?1???2ag?Ce21??????当???时，v?0得

2- 50 -

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