计算流体力学作业--刘仔

航天与建筑工程学院

计算流体力学与传热学

学 号：2010026213

专 业：飞行器动力工程

学生姓名：刘仔

任课教师：王 革 教授

2013年12月

人工压缩法数值模拟不可压流场

摘要：利用人工压缩法计算顶盖驱动流和突扩管流。对不同的计算结果进行了对比分析，结果表明，顶盖驱动流和雷诺数有关，雷诺数Re较低时，方腔底部两个角附近的二次漩涡较小，随着雷诺数Re增加，二次漩涡变得越来越大，当雷诺数达到一定数值时，二次漩涡会破碎形成多个漩涡，同时在顶盖角处也会形成二次漩涡；由流线可以看出在突扩处右侧会形成涡，并且雷诺数Re越低涡就越小，雷诺数Re越低涡心的位置越靠近侧壁附近，同时当雷诺数Re很大时会在出口处形成回流区；通过算例的模拟发现数值计算的收敛情况还与人工压缩系数和雷诺数Re有关，人工压缩系数只能在某些特定的值时才会收敛较快，人工压缩系数的选择还与雷诺数和具体的流动问题有关，因此需要根据实际情况选择合适的人工压缩系数值，雷诺数Re越大收敛速度越慢。

关键词：人工压缩法，顶盖驱动流，突扩管流，人工压缩系数 1.概述

不可压缩Navier-Stokes方程的求解一直是计算流体力学研究的一个重点，由于在计算过程中速度和压力之间存在一个强烈的耦合效应，因此在计算过程中如何让速度和压力能够耦合在一起是计算中的重点和难点。目前求解不可压缩Navier-Stokes方程的方法主要有涡量-流函数法、SIMPLE算法、分步法、抛射法、人工压缩法和压力Poisson方程法等。每种算法都有自己的优势，但比较普遍使用的方法是SIMPLE算法，目前的商业软件基本都使用SIMPLE系列算法进行数值计算，但是该方法在编程复杂并耗时，而人工压缩法在计算和编程上相对较SIMPLE简单，而且可以直接推广到三维问题上。该方法最早是由Chorin提出的，用于解决定常流问题，得到了广泛的运用和发展。

本文利用人工压缩法求解顶盖驱动流和突扩管流问题。人工压缩法是将不可压缩流体人为的进行压缩，构造一个压力随时间的伪偏导数和连续性方程结合在一起，使动量方程和连续性方程自动耦合在一起，使压力和速度的计算不会出现失耦现象，当计算达到稳定时，压力随时间的偏导数为零使连续性方程自动得到满足。

2.控制方程

不可压缩牛顿流体的二维定常流的连续性方程和动量方程为：

???u??v??0??y??x?p?2u?2v ???uu??vu ?????2?2??x?y?x?x?y????uv??vv?p?2u?2v????2?2???y?y?x?y??x人工压缩法是人为的将不可压缩流体进行压缩，构造一个压力随时间的偏导 数加到连续性方程中去，利用人为的构造压力的非稳态进行求解每一个时层的压力值，再用压力求解该时层的速度值，从而解决了压力和速度的失耦问题。由人工压缩法构造的牛顿流体的连续性方程和动量方程为：

??p??v2??u?C(?)?0??x?y??t??p?2u?2v???uu??vu????2?2??x?y?x?x?y? ???uv??vv?p?2u?2v????2?2???y?y?x?y??x式中：C表示人工压缩系数，其中C值需要根据具体情况进行选定。

3.数值模拟 3.1 方程离散

为了进行数值计算，首先需要对控制方程进行离散化处理。本文所描述的两个物理问题所采用的离散格式不同，突扩管流采用有限差分进行离散；顶盖驱动流内部节点采用具有三阶精度的QUICK格式，内部边界采用一阶迎风格式。

突扩管流的离散方程为：

?n?1pin?1,j?pin,j?uin?2,j?2uin?1,j?uin,juin?1,j?1?2uin?1,j?uin?1,j?1nn?(?))?ui?1,j?ui?1,j??t(ai?1,j?22?x??x?y?nnnnnnnn?p?pv?2v?vv?2v?u??n?1i,j?1i,ji,j?2i,j?1i,ji?1,j?1i,j?1i?1,j?1nn?(?))?vi,j?1?vi,j?1??t(bi?1,j?22?y??y?x?n?1n?1n?1n?1?u?uv?vi?1,ji,ji,j?1i,j1n2?pin,??)j?pi,j??tC(?x?y??其中：

?n(u2)in?1,j?(u2)in,j(uv)in?1,j?1?(uv)in?1,j??ai?1,j??x?y??(v2)in,j?1?(v2)in,j(uv)in?1,j?1?(uv)in,j?1n?bi,j?1????y?x?1n?2nn2?(u)i,j?(ui?1,j?ui,j)4?1n?2nn2 ?(v)i,j?(vi,j?1?vi,j)

4?nn?(uv)n?1(un?un)(v?vi?1,ji?1,ji?1,j?1i,ji?1,j)?4??由于顶盖驱动流采用了两种离散格式，因此其离散方程分为两种情况。具有三阶精度QUICK格式的离散方程为：

nnnnnnnnn?aPuP?aWuW?aWWuWW?aEuE?aEEuEE?aNuN?aNNuNN?aSuS?aSSuSS??n?1n?(?u)P?(?u)P?x?y?(pn?pn)?yew??t ? nnnnnnnnn?aPvP?aWvW?aWWvWW?aEvE?aEEvEE?aNvN?aNNvNN?aSvS?aSSvSS??(?v)n?1?(?v)nnPP??x?y?(pn?psn)?x?t?其中：

613?a?D??F??F?(1??w)Fwwwwee?W888??a??1?Fww?WW8??aE?De?3?eFe?6(1??e)Fe?1(1??w)Fw?888?1?aEE?(1??e)Fe8??613? ?aS?Ds??sFs??nFn?(1??s)Fs

888?1?a???sFs?SS8??a?D?3?F?6(1??)F?1(1??)Fnnnnnss?N888??aNN?1(1??n)Fn?8?a?a?a?a?a?a?a?a?a?F?F?F?FWWWEEENNNSSSewns?P??一阶迎风格式的离散方程为：

?1n?(?u)nnnnnnnP?(?u)PaPuP?aWuW?aEuE?aNuN?aSuS??x?y?(pen?pw)?y???t ? n?1n?avn?avn?avn?avn?avn?(?v)P?(?v)P?x?y?(pn?pn)?xPPWWEENNSSns??t?其中：

?aE?aW???aN?a?S ??aP?De?max(?Fe,0)?Dw?max(Fw,0)?Dn?max(?Fn,0)?Ds?max(Fs,0)?aW?aE?aN?aS?Fe?Fw?Fn?Fs

3.2 网格划分

两个物理问题均采用交错网格。网格节点设置的两类方法是外节点法和内节点法两种，其中对顶盖驱动流采取内节点法，突扩管流采取外节点法。网格划分如下：

v(i,j) p(i,j) u(i,j) 顶盖驱动流网格图（阴影区域为实际的流体区域，外部为虚拟网格区域）

v(i,j) u(i,jp(i,j) ))

突扩管的网格图（阴影部分为实际流动区域，外部为虚拟流动区域）

3.3 边界条件处理

顶盖驱动流边界条件处理：边界外的虚拟网格存储位置上的速度分量，由边界内的真实网格对应存储位置上的速度分量沿边界对称得到，这样可以保证虚拟网格与真实网格在对应存储位置上的速度分量大小相等，方向相反，二者在边界上的线性平均值为零，满足无滑移边界条件。上壁面有速度，为运动壁面，速度分量u≠0,v=0。速度分量v采用前述对称方法处理。速度u(i,n)=2u-u(i,n-1)。边界外虚拟网格中心的压力，认为等于边界附近对应真实网格中心的压力，即假定区域边界附近沿边界法向的压力梯度为零。

突扩管流边界条件处理：进口按入口条件给定速度分布，压力按差分方程计算；出口给定压力值Pe=1.0，速度值按自由输出条件给出，其中u(n,j)=u(n-1,j)， v(n,j)=v(n-1,j)。壁面边界外的虚拟网格存储位置上的速度分量，由边界内的

真实网格对应存储位置上的速度分量沿边界对称得到，这样可以保证虚拟网格与真实网格在对应存储位置上的速度分量大小相等，方向相反，二者在边界上的线性平均值为零，满足无滑移边界条件。壁面上的压力值仍按照差分方程计算得到。对于拐点，压强取周围平均值，速度值强制取为零，则有速度压力关系式:u(i,j)=u(i+1,j)=0,v(i,j)=v(i,j+1)=0,P(i,j)=(P(i,j+1)+P(i+1,j)+P(i+1,j+1))/3。

3.4 收敛判据

??u?v??u?v?p?0和?0时，速度达到稳定值；当?0时，?当??x??y???0，因此，?t?t?t??当满足以下条件时，即可认为计算结果收敛到了定常解： max(1n?111u?un，vn?1?vn，pn?1?pn)?? ?t?t?t其中?为收敛精度，计算过程中取??0.00001。

4.计算结果分析

4.1 顶盖驱动流计算结果分析

利用数值计算得到不同雷诺数条件下流动的流线图，主要利用QUICK格式计算了Re=100、Re=1000、Re=5000和Re=10000四种条件下的流线图。

Re=100 Re=1000

Re=5000 Re=10000

从以上流线图可以看出：二维顶盖驱动流的中心大涡随雷诺数Re的增大而向方腔中心移动。随雷诺数Re的增加底部两个顶角的二次小涡也逐渐增大，当雷诺数Re达到一定的数值时，二次小涡将出现分离，形成多个二次小涡，同时在顶盖的顶角处也会开始形成漩涡。当雷诺数Re的增加时，收敛速度将减慢，要达到相同的精度，需要成倍的增加计算次数。利用人工压缩法可以很精确的计算得到顶盖驱动流的大涡和二次小涡的形成和随雷诺数的变化。

4.2 突扩管流计算结果分析

利用差分格式计算不同雷诺数Re条件下突扩管的流动结果，给出了雷诺数在Re=20、Re=50、Re=100、Re=150、Re=200时的流线图。

Re=20

Re=50

Re=100

Re=150

Re=200

从流线图可以看出：突扩后在侧壁的右边形成漩涡，随雷诺数Re的增大，漩涡也逐渐增大，涡心距离侧壁也逐渐增大，当Re=200时在突扩管的出口位置出现了回流现象。随雷诺数Re的增大，收敛速度减慢。要达到相同的收敛精度，需要成倍的增加计算计算次数。利用人工压缩法可以得到很精确的计算得到突扩管流的回流区，同时能够很好的计算得到回流区的长度随雷诺数的变化。

5.结论

通过以上两个物理问题的计算可以看出：雷诺数的变化对流体的流动状态有很强烈的影响。根据计算结果可以知道人工压缩法对不可压流体的流动的数值模拟是很准确的，该方法可以准确的计算出流体的流动情况。其中人工压缩法中的人工压缩系数对计算的收敛速度也有很大的影响，经过计算可以得到人工压缩系数在某些特定的值时计算才能收敛，具体的系数取值还与雷诺数的大小和具体问题有关系，在突扩管流时同样的人工压缩系数，当雷诺数较大时会发散，同样的人工压缩系数在突扩管流和顶盖驱动流中收敛速度不同，因此在利用人工压缩法进行计算时需要根据具体的试算选择能够加快收敛的人工压缩系数。

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