2015-2016学年山东省济宁一中高一(下)期中考试题(解析版)

2015-2016学年山东省济宁一中高一（下）期中考试题

一、选择题

1．下列向量组中能作为基底的是（ ）．

?????A．e1??0,0?,e2??1,?2?

B．e1???1,2?,e2??5,7?

??????????C．e1??3,5?,e2??6,10?

??????13?D．e1??2,?3?,e2??,??

?24?【答案】B

【解析】试题分析： 只有两个非零的不共线的向量，才能作为基底，

????????对于A．e1??0,0?,e2??1,?2?中，e1??0,0??0故它们不能作为基底；

??????????对于B．e1???1,2?,e2??5,7?由于?1?7?5?2??17?0，所以e1,e2不共线，故

它们能作为基底；

??????????对于C．e1??3,5?,e2??6,10?由于3?10?6?5?0，所以e1//e2不共线，故它们不

能作为基底；

???????????13??3?1对于D．所以e1//e2不共线，e1??2,?3?,e2??,??由于2????????3??0，

2442????故它们不能作为基底；

故选B．

【考点】向量平行的条件．

002．记cos?80?k，那么tan100?（ ）

??1?k21?k2kkA. B. ? C. D. ?

22kk1?k1?k【答案】B

0【解析】试题分析：Qcos?80?k ,

???cos80o?k,从而sin80o?1?cos280o?1?ko，

sin80o1?k2?tan80??， ocos80ko1?k2那么tan100?tan(180?80)??tan80??，

koooo故选B．

【考点】1.同角三角函数间的关系；2.诱导公式．

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3．函数y?2sin????3?x????cos????6?x????x?R?的最小值等于（ ） A. -3 B.-2 C.-1 D. ?5 【答案】C

【解析】试题分析：Qy?2sin????3?x????cos????6?x????x?R? ?2sin????3?x????cos????2?(?3?x)???

?2sin????3?x????sin?????3?x??

??sin?????x?3??

?ymin??1

故选C．

【考点】1.诱导公式；2.三角函数的性质．

4．直线3x?4y?5?0与圆x2?y2?4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（A. 43 B. 33 C. 23 D. 3 【答案】C

【解析】试题分析：由于圆x2?y2?4的圆心为O(0,0)，半径r?2，

而圆心O(0,0)到直线3x?4y?5?0的距离d??532?42?1，

?AB?2r2?d2?24?1?23

故选C．

【考点】1.圆的弦长的求法；2.点到直线的距离公式． 5．要得到函数y?sin2x的图象，可由函数y?cos??2x????3??（ ） A. 向左平移?6个单位长度 B.向右平移?6个单位长度 C.向左平移?12个单位长度 D.向右平移?12个单位长度

【答案】D

【解

析

】

试

题

分

析

：

由

于

函

y?sin2x?cos(?2?2x)?cos(2x???2)?cos[2(x??12)?3],

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）数

所以可由函数y?cos?2x?????3??向右平移

?个单位长度得到函数函数y?sin2x的图12象， 故选D．

【考点】1.诱导公式；2.三角函数的图象变换．

???????6．已知a??5,?2?,b???4,?3?,c??x,y?，若a?2b?3c?0，则c?（ ）

A. ?1,? B. ?【答案】D

?3??8??138??134??134?,? C. ?,? D. ??,?? ?33??33??33?????1??【解析】试题分析： Qa?2b?3c?0，?c?(2b?a)

3????a??5,?2?,b???4,?3?,c??x,y?，

?1134?c?[2(?4,?3)?(5,?2)]?(?,?)

333故选D．

【考点】向量的坐标运算．

7．若???0,??，且cos??sin???1，则cos2??（ ） 3A. 17171717 B. ? C. ? D. 99931，两边平方得： 3【答案】A

【解析】试题分析： 由cos??sin???1?2sin?cos??14?sin?cos???， 9914?1?17x??0的两个实根，解得：x1,2? 396492由cos?,sin?是一元二次方程：x?????0,??，且由上可知：sin?cos????0，

?sin??0,cos??0

?sin???1?17?1?17 ,cos??66?cos2??cos2??sin2?，

?(?1?172?1?172)?() 6617 9?故选A．

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【考点】1.同角三函数间的关系；2.余弦的倍角公式．

8．已知a?R，则函数f?x??1?asinax的图象不可能是（ ）

A. B.

C.

【答案】D

D.

【解析】试题分析： 对于A.由振幅可知：a?1，从而可知，其周期T?图象相符，故有可能；

对于B. 由振幅可知：a?1，从而可知，其周期T?2??2?，a2??2?，图象相符，故有可能； a对于C. 当a?0时，函数的图象就是与x轴平行的直线，故有可能； 对于D. 由振幅可知：a?1，从而可知，其周期T?2??2?，而由图象得：T?2?a矛盾，故不可能； 故选D．

【考点】三角形的图象．

【易错点晴】本题主要考查了学生对三角函数图象与性质之间的关系的深刻认识，不能仔细观察图象，发现振幅与周期之间的关系，学生会感觉无从下手，进而胡乱猜. 9．函数y?tan???????x?（??x?且x?0）的值域为（ ）

44?2?A. ??1,1? B. ???,?1???1,??? C. ???,1? D. ?1,??? ?【答案】B

【解析】试题分析：???4?x??4且x?0，??4??2?x?3???且?x?， 422由于正切函数的图象及单调性，得：

tan(?2?x)?1或tan(?2?x)??1，

即y????,?1???1,??? 故选B．

【考点】正切函数的图象．

10．若实数x,y满足x?y?8x?8y?28?0，则x?y的最小值为（ ）

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2222A. 18 B. 32 C. 36?162 D. 42?2 【答案】C

【解析】试题分析：由x2?y2?8x?8y?28?0，得：

(x?4)2?(y?4)2?4，则点P(x,y)就是以C(4,4)为圆心，2为半径的圆上的点，

22那么x?y?OP，

2而OP?OC?r?42?2,

?x2?y2的最小值为: (42?2)2?36?162.

故选C.

【考点】数形结合法．

??????11．已知向量a,b的夹角为120°，且a?2,b?1，则a?b在a?b方向上的投影为

（ ） A. 3 B. 【答案】A

33373 C. D. ? 772????【解析】试题分析：由于a?b在a?b方向上的投影为：

??????2?2a?b?a?ba?b3??????， ??a?ba?ba?b?????2??2?2???22?而a?b?a?b?a?2a?b?b?2?2?2?1?cos120?1?3，

?????a?b?3，

?????a?b在a?b方向上的投影为：3.

故选A.

【考点】向量的数量积．

【易错点晴】本题主要考查了学生对一个向量在另一个向量方向上的投影的求法，涉及

??向量的数量积与向量模的计算，易错点就是a在b上的投影是什么的问题，学生往往记

错记混，或都死搬公式而不知变通.

12．定义在R上的偶函数f?x?满足f?2?x??f?x?，且在??3,?2?上是减函数，?,?是钝角三角形的两个锐角，下列不等式中正确的是（ ） A. f?sin???f?cos?? B. f?cos???f?cos?? C. f?cos???f?cos?? D. f?sin???f?cos?? 【答案】D

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【解析】试题分析： 由?,?是钝角三角形的两个锐角，知0??????2，

?0????2????2?0?sin??sin(?2??)?cos??1，

?定义在R上的偶函数f?x?满足f?2?x??f?x?， ?f(x?2)?f(2?(?x))?f(?x)?f(x)，

因此函数f?x?是以2为周期的周期函数，

那么由函数f?x?在??3,?2?上是减函数，得函数f?x?在[?1,0]也是减函数，从而可知：函数f?x?在[0,1]也是增函数，

?f?sin???f?cos??

故选D.

【考点】1.函数的单调性；2函数的奇偶性与周期性．

【思路点晴】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性以及单调性的综合应用、三角函数式的化简，将三角函数与函数的性质结合，要求学生具有一定的综合能力，此题也考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题.

二、填空题

13．若tan??3，则cos2??sin?cos?? _________. 【答案】

2. 5【解析】试题分析：?tan??3，

cos2??sin?cos??cos??sin?cos?? 22sin??cos?21?tan?1?32??

tan2??132?152故答案应填：．

5?【考点】同角三角函数间的基本关系．

????????14．已知点A?1,?2?，若向量AB与向量a??2,3?同向，且AB?213，则点B的

坐标为__________. 【答案】?5,4?.

【解析】试题分析： 设点B的坐标为(x,y)，则AB?(x?1,y?2)

?????3x?2y?7?0??2(y?2)?3(x?1)?0由已知得：?，即?， 2222(x?1)?(y?2)?52???(x?1)?(y?2)?213第 6 页 共 13 页

解得：?

?x?5?x??3或?，

?y?4?y??8??????????x?5

当?时，AB?(4,6)?2a，向量AB与向量a??2,3?同向，符合题意；

y?4?

当???????????x??3时，AB?(?4,?6)??2a，向量AB与向量a??2,3?反向，与题意不符合，

?y??8故舍去；

故答案应填：?5,4?．

【考点】1.向量共线；2.向量的模．

15．已知函数f?x??2sin??x???的图像如图所示，则f??7??12???_________. ?

【答案】0.

【解析】试题分析：由已知图象可知：T?325??2?????T?, 443???2??3, T又知：点(?4,0)是“五点法”的第一点，

?3??3???0?????， 44从而f?x??2sin?3x???3?4??， ?7?3??7???f??2sin(3??)?2sin??0 ?12124??故答案应填：0．

【考点】1.三角函数的图象；2.三角函数求值． 【易错点晴】本题主要考查了由三角函数的图象确定三角函数的解析式，首先确定周期，再由周期确定x的系数，最后由图象上的特殊点确定初相，确定初相一定要找准特殊点，否则是极易出错的. 16．函数f?x??sinx的最大值为_________.

cosx?2第 7 页 共 13 页

【答案】3. 3sinx,x?R，则sinx?ycosx?2y，

cosx?2【解析】试题分析： 令y?1?y2sin(x??)?2y，（其中cos??11?y2,sin??y1?y2）

?sin(x??)?2y1?y22y1?y2，由于x?R，?sin(x??)?[?1,1]，

??1??1，

解得：?33 ?y?333． 3故答案应填：【考点】1.三角函数的最值；2. 辅助角公式．

【难点点晴】本题考查了三角函数的最值的求法，难点在于将函数化为

sinx(???)2y1?y2，然后利用三角函数的有界性，通过解不等式，求出函数的值域，

进而得到函数的最值.

三、解答题

??17．已知a?1,b?2,

??（1）若向量a与向量b的夹角为60°，求a?b；

?????（2）若向量a?b与向量a垂直，求向量a与b的夹角.

【答案】（1）3?2；（2）

??【解析】试题分析：（1）由已知a?1,b?2,若向量a与向量b的夹角为60°，利

?． 4??2??用平方法将a?b转化为求(a?b)求解，然后再开平方，即可得到答案；

????vvvv2vv（2）由向量a?b与向量a垂直，得a?b?a?0，进而可得：a?a?b，设向量a与

???b的夹角为?，则由已知及向量数量积的有关知识，可求出cos?的值，再注意到

???0,??，即可求得结果.

??试题解析：（1）a?b????a?b?2?2?2???a?b?2abcos600?3?2，

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（2）∵a?b?a?0， ∴a?a?b， ∴1??vvv?v2vv2cos?.

2， 2∴cos??∵???0,??， ∴???4.

【考点】1.向量的数量积；2.向量的夹角．

18．已知圆C:?x?3???y?4??4，直线l过点A?1,0?.

22（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；

（2）若圆D的半径为3，圆心D在直线l2:x?y?2?0上，且与圆C内切，求圆D的方程.

【答案】（1）x?1,3x?4y?3?0；（2）

?x?3?2??y?1??9或

2?x?2?2??y?4??9.

2【解析】试题分析：（1）按直线l1的斜率不存在与存在，两种情况分类讨论：当直线l1的斜率不存在，易知直线是x?1；当直线l1斜率存在，设直线l1为y?k?x?1?，即

kx?y?k?0，由圆C的圆心到直线的距离等于圆的半径，建立关于k的方程，解此

方程求出k值，从而即可求出直线的方程；

（2）依题意设D?a,2?a?，又已知圆的圆心C?3,4?，由两圆外切，可知CD?5，可知?a?3???2?a?4??5，解此方程，求出a的值，从而即可写出所求圆的方程. 试题解析：（1）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x?1，符合题意 ②若直线l1斜率存在，设直线l1为y?k?x?1?，即kx?y?k?0. 由题意知，圆心?3,4?到已知直线l1的距离等于半径2， 即223k?4?kk?12?2

得k?3. 4所求直线方程是x?1,3x?4y?3?0

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（2）依题意设D?a,2?a?，又已知圆的圆心C?3,4?，r?2， 由两圆外切，可知CD?5 ∴可知?a?3???2?a?4??5， 解得a?3，或a??2， ∴D?3,?1?或D??2,4?，

∴所求圆的方程为?x?3???y?1??9或?x?2???y?4??9 【考点】1、直线与圆的位置关系；2、圆与圆的位置关系．

222222????????3?19．已知向量m??1,1?，向量n与向量m的夹角为，且m?n??1.

4?（1）求向量n；

??????（2）设向量a??1,0?，向量b??cosx,sinx?，其中x?R，若n?a?0，试求n?b的取值范围.

????【答案】（1）n???1,0?或n??0,?1?；（2）0?n?b?2．

?【解析】试题分析：（1）令n??x,y?，根据题意列出关于x,y的方程组，解此方程组，?即可求得向量n；

??（2）由（1）及已知可将n?b表示成x的三角函数，然由三角函数的有界性，可求得??n?b的取值范围.

x?y??1???x??1?x?0??或?试题解析：（1）令n??x,y?，则?， ?3?22y?0y??12?x?ycos??1????4??∴n???1,0?或n??0,?1?；

（2）∵a??1,?0n?,a?，0∴n??0?,?????1；n?b??cosx,sinx?1?，

????2n?b?cos2x??sin2x?1??2?2sinx?2?1?sinx?；

∵?1?sinx?1， ∴0?n?b?2

【考点】1、向量的数量积；2、向量的模及夹角．

220．已知函数f?x??acosx?sinxcosx?b.

????（1）当a?0时，求f?x?的单调递增区间；

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（2）当a?0且x??0,???时，f?x?的值域是?3,4?，求a,b的值. ??2?【答案】（1）?k????3???（2）a?2?22,b?4． ,k???,k?z；

88?【解析】试题分析： （1）首先利用三角恒等变形公式将函数f?x?化为再由2k??f?x??Asin(?x??)?B(A?0,??的形式，0)解出x的范围，可得函数的单调递增区间； （2）由0?x??2??x???2k???2，

?2，得到

?4?2x??4?5?2???，进而得到??sin?2x???1，从424??而由（1）所得式子，可用a、b将函数的最小值及最大值，取立得方程组，解之即可求

得a、b的值.

试题解析： f?x??a?（1）2k??1?cos2x12a???a?a?sin2x?b?sin?2x????b 2224?2??2k???2?2x??4?2，k??3???x?k??， 883????k??,k??,k?z为所求 ??88??（2）0?x???24,?2x??4?5?2???,??sin?2x???1， 424??f?x?min?1?2a?b?3,f?x?max?b?4， 2∴a?2?22,b?4

【考点】1、三角函数的性质；2、三角函数的图象的应用．

【易错点晴】本题重点考查了三角函数的图象和性质，用换元法求函数已知函数的最大值及最小值求其f?x??Asin?(x??)?B(A?0,??的单调区间，0)中字母参数的值，这是学生的难点，是三角函数求最值的逆向过程.不注意已知中的

a?0是本题的易错点.

?????21．已知向量a??sin?,?2?与b??1,cos??互相垂直，其中???0,?.

?2?（1）求sin?和cos?的值； （2）若sin???????10，0???，求cos?的值.

2102552；（2）． ,cos??255第 11 页 共 13 页

【答案】（1）sin???????代入【解析】试题分析：（1）由a与b互相垂直，得a?b?0，可得sin??2cossin2??cos2??1求得sin???得结果； （2）由0???255???，再注意到???0,?，从而可,cos???55?2??2，0????2，得到??2??????2，则利用平方关系可求得

cos?????的值，再注意到?????????????，再用余弦的差角公式可求得cos?的

值.

????试题解析：（1）∵a与b互相垂直，则a?b?sin??2cos??0，即sin??2cos?，

代入sin2??cos2??1得sin???255， ,cos???55又???0,????2??，∴sin??255， ,cos??55（2）∵0????2，0????2，∴??2??????2，

则cos??????1?sin2??????310， 102 2∴cos??cos????????????cos?cos??????sin?sin??????【考点】1、向量垂直的条件；2、三角恒等变形公式．

【方法点晴】本题考查了三角函数值的求法，同角三角函数间的基本关系式，两角和与差的三角公式，特别注意角的变形是关键.

22．已知圆C:x?y?2x?4y?4?0,问是否存在直线l:y?x?b与圆C交于A,B22????????两点，且满足OA?OB（O为坐标原点）．若存在，求出l的方程；若不存在，试说明

理由．

【答案】存在，y?x?1或y?x?4．

【解析】试题分析：首先假设存在满足条件的直线l，然后将直线与圆的方程联立，消去y，得到关于x的一个一元二次方程，设直线l和圆C的交点为A?x1,y1?,B?x2,y2?，由韦达定理，可用含b的代数式将x1x2,x1?x2表示出来，进而由OA?OB，得到

2x1x2?y1y2?0，即2x1x2?b?x1?x2??b?0，代入即得关于b的方程，解此方程得

到b的值，然后检验，关于x的一个一元二次方程的判别式大于零，则符合题意，对应的直线就存在，否则不存在.

试题解析：设存在满足条件的直线l，

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由?y?x?b22y消去，得2x?2?2bx?b?4b?4?0 ① ??22?x?y?2x?4y?4?0?设直线l和圆C的交点为A?x1,y1?,B?x2,y2?，则x1、x2是①的两个根.

b2?4b?4,x1?x2??b?1 ② ∴x1x2?2由题意有：OA?OB，即x1x2?y1y2?0，

∴x1x2??x1?b??x2?b??0，即2x1x2?b?x1?x2??b?0 ③

2将②代入③得：b2?3b?4?0， 解得：b?1或b??4，

b?1时，方程为2x2?4x?1?0，判别式??16?8?0，满足题意. b??4时，方程为2x2?6x?4?0，判别式??36?32?0，满足题意，

所以满足条件的直线l为：y?x?1或y?x?4

【考点】1、直线与圆的位置关系；2、向量的数量积的应用．

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