1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.2 空间几何体的三视图和直观图

知识点

1．中心投影与平行投影 (1)投影的有关概念

投影：光是直线传播的，由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面． (2)投影的分类

?中心投影

?

?投影??正投影

平行投影???斜投影??

①中心投影：光由一点向外散射形成的投影．其投影线相交于一点．

②平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．其投影线是平行的． 2．三视图的概念与特点 光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视正视图 图 分光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视侧视图 类 图 光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视俯视图 图 说明 几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图，三视图是平行投影 一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯特征 视图宽度一样 当堂训练 1．判断下列命题．(正确的打“√”，错的打“×”) (1)平行直线的平行投影仍是平行直线．( ) (2)直线的平行投影可能是点．( )

(3)如果一个几何体的三个视图是完全相同的，则这个几何体是正方体．( ) 解析：(1)错误．也可能重合．

(2)正确．当直线和光线平行时，平行投影是点． (3)错误．也可能是球． 答案：(1)× (2)√ (3)×

2．下列几何体的三视图中是正视图的是( )

解析：选B．由所给的几何体可知其正视图是B． 3．如图是一个几何体的三视图，该几何体是( )

1

A．三棱台 C．三棱柱

解析：

B．三棱锥 D．四棱柱

选C．由三视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱．如图所示． 4．如图是一个几何体的三视图，它对应的几何体是________．

解析：由三视图可知该几何体是圆台． 答案：圆台

中心投影和平行投影

给出一个三角板，画出其在中心投影和平行投影下的投影图． [解]

1．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________．

2

解析：①四边形AGFE在下底面ABCD的投影中，AE重合为点A，F为CD的中点，G为

BC的中点，故在下底面的投影为：，即为(1)图，在上底面的投影与(1)图相同． ②四边形AGFE在正面ABB1A1的投影中，F点为A1B1的中点，G为B1B的中点，图形为

，即为(3)图，其在面DCC1D1内的投影与(3)图相同．

③四边形AGFE在侧面ADD1A1的投影中，F点与D1重合，G点在正方形ADD1A1的中心处

即在AD1的中点处，图形为，即是(2)图，其在另一侧面BCC1B1内的投影与(2)图相同．

答案：(1)(2)(3)

空间几何体的三视图

画出下列物体表示的几何体的三视图．(尺寸不作严格要求)

[解] 如图．

2．画出如图几何体的三视图(尺寸不作严格要求)．

解：如图．

3

由三视图还原几何体

如图(1)、(2)分别是两个简单组合体的三视图，想象并说明它们表示的组合体的结构特征．

(1)

(2)

[解] 图(1)的三视图表示的简单组合体是由三个底面半径不等的圆柱拼接成的组合体． 图(2)的三视图表示的简单组合体是用一个很长的圆柱把左、右分别有三个底面半径不等的圆柱串在一起拼接成的组合体，类似于举重中的杠铃．

3．观察下列几何体的三视图，想象并说明它们的几何结构特征，画出它们的示意图．

解：如图．

将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )

4

[解析] 图2所示的几何体的侧视图可由点A，D，B1，D1确定其外形为正方形，判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一实一虚，其中要把AD1和B1C区别开来． [答案] B 4．某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是( )

解析：选A．该几何体是由圆柱切割而得(如图1所示)，由俯视图可知正视方向和侧视方向(如图1所示)，进一步可画出正视图和侧视图(如图2所示)，故选A．

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )

5

[解析] 由“正视图与俯视图等长，侧视图与俯视图等宽”，知该几何体正视图与侧视图相同，而D项中正视图与侧视图不同，可知选D． [答案] D

A组训练

1．下列说法正确的是( )

A．平行投影的投影线相交于一点，中心投影的投影线相交于一点 B．平行投影的投影线相交于一点，中心投影的投影线互相平行 C．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线互相平行 D．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点 解析：选D．光由一点向外散发形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线相交于一点，而平行投影是在一束平行光线照射下形成的，其投影线是平行的． 2．如图的三视图所示的几何体是( )

A．六棱台 B．六棱锥 C．六棱柱 D．六边形 解析：选B．根据所给的三视图容易看出该几何体是六棱锥．

3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

解析：选D．正方体的三视图可以三个相同，三棱台的三个各不同相，圆锥和正四棱锥的正视图和侧视图相同． 4．下列命题：

①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体； ②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体； ③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；

④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台． 其中真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

解析：选B．①假命题，也可以是球；②假命题，也可以是横放的圆柱；③是真命题；④是

6

假命题，也可以是棱台．

5．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )

A．8 B．7 C．6 D．5

解析：选C．由三视图可知该几何体需要的小正方体有6块，如图．

6．一物体及其正视图如图：

则它的侧视图与俯视图分别是图形中的________．

解析：根据几何体及其正视图可知其侧视图为③，俯视图为②. 答案：③②

7．如果某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________．

解析：根据三视图可知该几何体是四棱锥． 答案：四棱锥

8．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为____________．

解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸23为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.

7

答案：2，4

9．如图所示是一个四棱柱铁块，画出它的三视图．

解：三视图如图所示．

10．如图是某圆锥的三视图，求其底面积和母线长．

解：正视图中底边长即为圆的直径，

20

所以S圆＝π()2＝100π；

2

20l母线＝ 302＋（）2＝1010.

2

B组训练

1．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1在六个面上的正投影长度总和是( ) A．63 B．62 C．6 D．36 解析：选B．正方体的对角线AC1在各个面上的正投影是正方体各个面上的对角线，因而其长度都为2，所以所求总和为62.

2.如图，正方形ABCD的边长为3 cm，以AB所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的正视图的周长是________cm.

解析：正方形旋转一周，所得几何体是圆柱，正视图是矩形，矩形的长是6 cm，宽是3 cm.因此，所得几何体的正视图的周长为6＋6＋3＋3＝18(cm)． 答案：18 3．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，求侧视图的面积．

8

解：形成的三棱锥C-ABD如图①所示，根据正视图和俯视图可知，其侧视图为等腰直角三角形，如图②所示．

1?2?1

则侧视图的面积为×＝.

2?2?4

4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体？

2

解：由三视图可知，该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形 ，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A-A1B1C1D1，

如图(2)所示，三个相同的四棱锥A-A1B1C1D1，A-BB1C1C，A-DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．

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