量子力学二练习题

量子力学量子力学量子力学量子力 ??一、用a表示谐振子的湮灭算符，|??表示a的本征态，即

?????1a|????|??（其中?为本征值，一般为复数）。求H?(aa?2)??、

?x??2m????(a??a)、p?im??2??(a??a)在|??态中的平均值。

二、在两电子自旋波函数Xs(3)?[X(S1z)X?(S2z)?X(S2z)X?(S1z)]12121212中，算符S2?(S1?S2)2和Sz?S1z?S2z的值为多少？

???三、在?z表象中，求??n的本征态和本征值，其中

?????? n?sin?cos?i?sin?sin?j?cos?k

四、设氢原子的状态波函数（考虑自旋）是

?12R21(r)Y11(?,?)??? ???3???2R21(r)Y10(?,?)?????求：（1）轨道角动量Z分量Lz和自旋角动量Z分量Sz的平均值。

??e?e （2）总磁矩Mz??2?Lz??Sz的平均值。

??

五、在三维空间中，能量算符的矩阵表示为

?1?? H????0?0?0200??0? 3?? 1

若基矢用|1?、|2?、|3?表示，则在态??12|1??11|2??|3?中，求 22??（1）H的可能值及相应的几率；H的平均值。

（2）|??的矩阵表示。

六、有一定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指

??向正X方向。磁作用势为H?2e?B?x，设t?0时电子的自旋朝上，?2?即Sz?，求t时刻（t?0）时该电子自旋波函数及电子自旋朝上和朝下的几率。

七、考虑由两个全同粒子组成的体系。设可能的单粒子态为?i、

?j、和?k，试求体系的可能态数目，分三种情况讨论：

（1）粒子为玻色子； （2）粒子为费米子； （3）粒子为经典粒子

??,a?表示费米子的产生和湮灭算符，它们满足 七、用a?a???a??a??1 ?2?(a??)2?0 aa??a?的本征值。 ?2?N?;②求N??a?表示粒子数算符，①证明：N用N

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八、有一个二能级体系，哈密顿量记为H0，能量本征值和本征态分别极为E1,E2与?1,?2。设E1?E2。在t?0时，体系处于状态?1，在t?0时体系受到微扰H'''''H??,H??,H?H221221??作用。设11（?,?,?均为实数），求体系在t?0时处于?2的几率。

??九、设带点粒子在相互垂直的均匀电场E和均匀磁场B中运动，

求能量本征值和本证函数。

十、谈谈你学习量子力学的体会。（不少于1000字）

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