等比数列的运用教学设计(第一课时)

等比数列的运用教学设计（第一课时）

三亚市第一中心 叶永强

【教学目标】 知识与技能目标：

1）了解日常经济生活中的单利与复利，并用等差、等比数列知识理解单利与复利；

2）掌握等差、等比数列的求和公式，使学生运用数列有关知识解决日常经济生活中的存款与贷款问题；

3）让学生学会将实际问题转化为数学模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力； 过程与方法目标：

让学生运用归纳、类比的推理方式研究数列。 情感、态度与价值目标：

感受数学就在身边，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。 【教学重点】

等差、等比数列的求和公式 【教学难点】

将实际问题转化为数学模型 【教学过程】 一、课题引入：（5）

教师提出实际生活中的等比数列的实例，引起学生关注生活中的热点问题：零存整取与分期付款问题。

1、教师提出实际生活中的等比数列的实例： 1）细胞分裂问题；

2）国民经济GDP增长率问题； 3）核衰变问题；

4）住房贷款的分期付款问题。

2、教师提出近期社会热点问题：分期付款（贷款买房）问题

二、学生联系课本知识，通过实例探究单利与复利区别： 1、学生介绍银行的单利与复利：（2）

单利的计算不将上期的利息计入下期的本金。

复利的计算将上期的利息计入下期的本金，民间称为“利滚利”、“驴打滚”。 月利率与年利率的关系：月利率＝年利率/12

2、设计问题：张先生向李先生借钱10000元，约定月利率为2%，（利息按月结） 1）若按单利计算，5年后张先生应还的本息为多少？（答案22000元） 2）若按复利计算，5年后张先生应还的本息为多少？（答案32810元） 复利算法1：10000?1.0260?32810.3079 复利算法2：10000?1.245?29316.2506

让学生讨论哪种算法正确？

算法1正确，因为利息按月结，本金每月都在变大； 而算法2一年以后本金才会变大，不合题意。

3）让学生联系所学数列有关知识，分小组讨论单利与复利的区别：

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1）按单利计算借期n与本息an的关系；按复利计算借期n与本息bn的关系。 按单利计算借期n与本息an的关系为等差数列通项问题； 按复利计算借期n与本息an的关系为等比数列通项问题。

2）在利率r、本金A与存期n相同的条件下，当n>1时， an与bn的大小关系； 在利率r、本金A与存期n相同的条件下，当n>1时，按单利计算所得本息an比复利计算所得本息bn要少，让学生结合指数函数与对数函数图像来解释以上结论。

二、零存整取问题的探究：

设计一个零存整取的问题，上银行的网络去查询结果。让学生分组（一组按单利计算，一组按复利计算）探究银行零存整取采用的单利还是复利。

1）问题：小王采用零存整取的方式每月初向银行存入100元钱，假定月利率为1％，到第13个月的第一天，小王从银行连本带息能取出多少钱？

2）教师引导学生分析：小王总共向银行存钱12次，第1次存入的钱存期为12个月，第2次存的钱存期为11个月，……第12次存入的钱存期为1个月，小王最后从银行能取出的钱是这12笔钱的本息之和。

3）学生分组（一组按单利计算，一组按复利计算）探究银行零存整取采用的单利还是复利。

一组按单利计算：连本带息能取出1278元钱。 一组按复利计算：连本带息能取出1280.93元钱。

4）上银行的网络去查询结果，得出零存整取采用的是单利。 5）让学生联系所学数列有关知识，讨论以上问题的区别：

按单利计算为等差数列求和问题；按复利计算为等比数列求和问题。

三、复习小结： 1、知识上：

1）了解了银行的单利与复利、零存整取问题与数列的关系； 2）复习了等差数列与等比数的通项公式及前n项求和公式。 2、方法上：

运用函数思想研究数列问题

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等比数列的运用教学设计（第二课时）

三亚市第一中心 叶永强

【教学目标】 知识与技能目标：

1）掌握等差、等比数列的求和公式，使学生运用数列有关知识解决日常经济生活中的住房贷款问题；

2）让学生学会将实际问题转化为数学模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力； 过程与方法目标：

让学生运用归纳、类比的推理方式研究数列。 情感、态度与价值目标：

感受数学就在身边，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。 【教学重点】

等差、等比数列的求和公式 【教学难点】

将实际问题转化为数学模型 【教学过程】

一、引入：在上一节课中，我们学习了银行的单利、复利及零存整取的有关知识，并提出了当前住房贷款的热点问题，今天我们将更深入地来研究住房贷款的热点问题。首先我们复习上一节内容：

二、通过实例复习单利、复利存（贷）问题与等差数列与等比数列的关系。 问题1：某人存入银行A元钱，年利率为r，求n年后能取出的本息，

单 利 存期n 1 2 3 4 n an 存期n 复 利 bn 问题2：小王每月初存入银行A元钱，若银行的月利率为r； 1）若按单利计算，一年以后小王能从银行取出的本息为多少？ 2）若按复利计算，一年以后小王能从银行取出的本息为多少？ 以上问题让学生分小组合作解决，每个小组选派代表陈述结果。 三、分期付款（贷款买房）热点问题的探究：

1、设计一个分期付款（贷款买房）的问题，让学生探究银行分期付款问题，最后上银行的网络去查询。

让学生根据本地区的生活实际情况： 1）周边房价；

2）生活居住条件； 3）银行利率：

与教师共同设计一个实际问题：

我校某教师打算按等额本息的还款方式在学校附近贷款买60平的二手房，近期该区域的

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房子每平3万元，房价总共180万元，若该教师首付80万元，向银行贷款100万元，年贷款利率按6.6％计算，贷款年限30年，试问该教师每月应向银行还多少钱？若该教师月平均收入不足7000元，他个人是否有能力贷款买这套房？

分析1：何为等额本息还款方式？即为每月向银行所还的钱相等，月利率为0.55%。

设该教师每月还银行x元钱；共要还多少期（多少个x）？

分析2：还完每期后所欠银行的钱是如何变化的？该如何用x表示？（让学生讨论后作答） 还第1期后，所欠银行的钱为a1?106?1.0055?x；

还第2期后，所欠银行的钱为a2?106?1.00552?1.0055x?x；

还第3期后，所欠银行的钱为a3?106?1.00553?1.00552x?1.0055x?x；

还第4期后，所欠银行的钱为a4?106?1.00554?1.00553x?1.00552x?1.0055x?x； 让学生归纳：an?106?1.0055n?(1.0055359?1.0055358?...?1.00552?1.0055?1)x 还第360期后（最后一期），所欠银行的钱a360的表达式：

0358 a360?106?1.005536?(1.00553x5?91.0055x?...?1.0055x?x)

2、还第360期后，所欠银行的钱实际为0，所以令a360?0，得等式：

9555x? 1.003581.030x5?5?...x1.?x00?556?1 01.00551.0055360?1x()?106?1.0055360

0.00553、设问1：以上等式左边的360项相加有没有实际意义？ （相当于360期还款按复利零存整取的本息之和） 设问2：以上等式右边有没有实际意义？ （相当于银行的原始贷款360个月后的本息） 设问3：以上等式说明什么问题？ （还完最后一期月供后，每期按复利零存整取的本息之和等于原始贷款360个月后的本息）

106?1.0055360?0.0055?6386.5882 4、学生利用计算器计算出月供：x?3601.0055?15、上银行的网络去查询验证：

6、学生讨论：该教师个人是否有能力按等额本息的还款方式向银行贷款买这套房？结合当前房价调控政策让学生进行讨论。

7、分期等额本息付款（贷款买房）的月供计算公式的探究。

给出分期等额本息付款问题的一般形式：贷款总额A，分期付款期数n（按月计算），月

利率为r，求出月供的计算公式？

利用原理：每期（按复利r计算）的本息之和等于原始贷款n个月的本息，得到以下等式：

(1?r)n?1x?(1?r)n?2x?...?(1?r)x?x?A(1?r)n

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Ar(1?r)n所以月供x?

(1?r)n?18、让学生设计一个分期付款买车的题，让学生运用公式计算，并上网验证。 四、小结：

1、知识上：等额本息月供的计算方法 2、方法上：归纳推理

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