行测数学运算：排列组合问题

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行测数学运算：排列组合问题基本知识点： 加法原理：分类用加法

乘法原理：分步用乘法排列：与顺序有关 组合：与顺序无关

排列公式：Pmn=Amn=n!（n-m）!=n×（n-1）×（n-2）×…×（n-m+1）

组合公式：Cmn=Cn-mn=Amnm！=n!m!（n-m）!=n×（n-1）×（n-2）×…×（n-m+1）m×（m-1）×（m-2）×…×1 一、基础公式型

【例1】（吉林2009乙-9）甲、乙、丙三个人到旅店住店，旅店里只有三个房间，恰好每个房间住一个人，问一共有（）种住法。 A. 5B. 6C. 7 D. 8 ［答案］B

［解析］本题等价于从3个人里挑出3个来排一个顺序：A33=6。

【例2】（陕西2008-12）在一条线段中间另有6个点，则这8个点可以构成多少条线段？（） A. 15 B. 21C. 28D. 36 ［答案］C

［解析］本题等价于从8个点中挑出2个构成一条线段，即：C28=28。

【例3】（国家2004B类-44）把4个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法？（） A. 24 B. 4 C. 12 D. 10 ［答案］A

［解析］本题等价于从4个球里挑出4个来排一个顺序：A44=24。

【例4】（上海2004-18）参加会议的人两两都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有多少人？（） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 ［答案］A

［解析］本题等价于从N个人中挑出2个成为一个组合，即：C2N=N×（N-1）2×1=36，解得N=9。

【例5】（国家2004A类-47）林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的两种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同的选择方法?（） A. 4 B. 24 C. 72 D. 144 ?

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［答案］C

［解析］根据乘法原理：共有C13×C24×C14=72种不同的选择方法。

【例6】（国家2009-115）要求厨师从12种主料中挑出2种，从13种配料中挑出3种来烹饪菜肴，烹饪方式共7种，最多可做出多少道不一样的菜肴？（）

A. 131204 B. 132132D. 130468D. 133456 ［答案］B

［解析］根据乘法原理：总共有C212×C313×7=12×112×1×13×12×113×2×1×7=132132道不一样的菜肴。

［注释］本题的计算有很多种简便的方法，原数化简得11×13×12×11×7时可利用尾数判断；也可以利用“7×11×13＝1001”来简化计算；也可以直接不计算，而利用结果是7的倍数来判断。

【例7】（山东2009-115）某单位有3名职工和6名实习生需要被分配到A、B、C三个地区进行锻炼，每个地区分配一名职工和2名实习生，则不同的分配方案有多少种? （） A. 90 B. 180 C. 270 D. 540 ［答案］D

［解析］根据乘法原理：总共有C13×C12×C11×C26×C24×C22＝540种分配方案。或者，有A33×C26×A33=540。

【例8】（江苏2006A类-17）要从三男两女中安排两人周日值班，至少有一名女职员参加，有多少种不同的安排方法？（） A. 7 B. 10 C. 14 D. 20 ［答案］A

［解析］随意安排两个人有C25种情况，不满足题意（即全部是安排男职员）有C23种情况，因此，至少有一名女职员参加的安排方法一共有：C25-C23＝10-3＝7种。

【例9】（浙江2008-18）有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的秩序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？（）

A. 24种 B. 48种 C. 64种 D. 72种 ［答案］C

［解析］使用一、二、三、四盏灯分别有A14=4、A24=12、A34=24、A44=24种不同的信号，易得总数为64种。

【例10】（北京应届2008-16）某单位今年新进3个工作人员，可以分配到3个部门，但是每个部门至多只能接收2个人，问共有几种不?

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同的分配方案（）。

A. 12 B. 16 C. 24 D. 以上都不对

［答案］C［解析］总体分为两种情形：（1）如果三个部门每个部门分配一个工作人员，共有A33种分配方案；（2）如果三个部门分别分配0、1、2个工作人员，一共有C23×C13×C12种分配方案。综上，总的分配方案为：A33+C23×C13×C12＝6+18＝24（种）

【例11】（国家2005一类-48）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法？（） A. 40 B. 41 C. 44 D. 46 ［答案］C

［解析］总体分为两种情形：（1）三个数都是偶数，共有C34种选法；（2）三个数两奇一偶，共有C25×C14种选法。综上，总的选法为：C34+C25×C14＝44（种）。

【例12】（广东2008-14）3个单位要采购300本书，每个单位最少要订购99本，最多只能订购101本，求有几种订购方法？（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 ［答案］B

［解析］总体分为两种情形：（1）三个单位都是100本书，就这么1种情况；（2）三个单位分别99、100、101本书，需要进行一个全排列，有A33=6种情况。总共有1+6＝7种订购方法。

【例13】（上海2004-19）用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：1，2，3，4，5，12，…，54321。其中，第206个数是多少？（） A. 313 B. 12345 C. 325 D. 371 ［答案］B

［解析］由1、2、3、4、5组成的没有重复数字的一位数共有A15=5个；二位数共有A25=20个；三位数共有A35=60个；四位数共有A45=120个；至此由1、2、3、4、5组成的没有重复数字的四位以内的数共有；5+20+60+120=205个；那么第206个数是第一个由1、2、3、4、5组成的五位数，即最小的五位数12345。 二、分步计算型

【例14】（国家2008-57）一张节目表上原有3个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加2个新节目，有多少种安排方法?（）

A. 20 B. 12 C. 6 D. 4 ?

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［答案］A

［解析］分步计算：先插第一个节目，有4种方法；再插第二个节目，有5种方法。根据乘法原理，共有不同安排方法4×5＝20种。 【例15】（国家2009-107）小王忘记了朋友的手机号的最后两位数，只记得倒数第一位是奇数，则他最多要拨号多少次才能保证拨通？（） A. 90 B. 50 C. 45 D. 20 ［答案］B

［解析］分步计算：先考虑最后一位，有5种可能；再考虑倒数第二位，有10种可能。根据乘法原理，共有不同组合方法5×10＝50种。 【例16】（内蒙古2008-8、北京应届2006-14）某铁路线上有25个大小车站，那么应该为这条路线准备多少种不同的车票？（） A. 625 B. 600 C. 300 D. 450 ［答案］B

［解析］分步计算：先考虑起点站，有25种可能；再考虑终点站，有24种可能。根据乘法原理，共有不同车票25×24＝600种。 【例17】（浙江2009-51）如右图所示，圆被三条线段分成四个部分。现有红、橙、黄、绿四种涂料对这四个部分上色，假设每部分必须上色，且任意相邻两个区域不能用同一种颜色，问共有几种不相同的上色方法？（） A. 64种 B. 72种 C. 80种 D. 96种 ［答案］B

［解析］分步计算：按顺序分别给1、2、3、4区域上颜色，则总共有不同的上色方法4×3×2×3＝72种。 三、插空捆绑型

相邻问题——捆绑法；不邻问题——插空法。

【例18】A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种排法。 A. 120 B. 72 C. 48 D. 24 ［答案］C

［解析］“相邻问题”，选用捆绑法。先将A、B捆绑在一起，共有A22=2种捆法； 再用它们的整体和C、D、E在一起排，共有A44=24种排法；因此共有不同排法2×24=48种。

【例19】A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种排法。 A. 120 B. 72 C. 48 D. 24 ?

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［答案］B

［解析］“不邻问题”，选用插空法。先将C、D、E排成一排共有A33=6种排法；当C、D、E形成四个空时，将A、B插入，共有A24=12种排法；因此共有不同的排法6×12=72种。 四、错位排列型 错位排列问题核心提示

错位排列问题：有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计作Dn，则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265…（请牢牢记住前五个数）

【例20】小明给住在五个国家的五位朋友分别写一封信，这些信都装错了信封的情况共有多少种？（） A. 32 B. 44 C. 64 D. 120 ［答案］B

［解析］错位排列问题D5=44。

【例21】甲、乙、丙、丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？（） A. 6 B. 12 C. 9 D. 24 ［答案］C

［解析］错位排列问题D4=9。

【例22】（北京社招2007-16）五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？（） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 ［答案］D

［解析］先从五个瓶子中选出三个瓶子，共有C35=10种方法；然后对这三个瓶子进行错位排列共有D3=2种方法。因此，所有可能的方法数为10×2=20种。 五、重复剔除型

【例23】将6个人平均分成三组，请问一共有多少种分配的方法？（） A. 15 B. 30 C. 45 D. 90 ［答案］A

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［解析］我们先从6个人当中挑出两个人组成一组，有C26种情况；再从剩下的4个人当中再挑出两个人组成一组，有C24种情况；最后从剩下的2个人当中再挑出两个人组成最后一组，有C22种情况。总共有C26×C24×C22种分配方法。然而，下图示的六种情况虽然对应了上述解法的不同挑人过程，但实际上却是相同的分配方法，所以最后的结果还要剔除这些重复的情况。由于每A33＝6种不同的挑法只对应同样的分配结果，所以最后答案应该为：C26×C24×C22÷A33＝15（种）。

［注释］将NM个人平均分成N组，总共有CMNM×CMNM-M×…×CM2M×CMMANN种分配方法。

【例24】（上海2005-11）某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同排列方法有多少种？（） A. 720 B. 60 C. 480 D. 120 ［答案］D

［解析］将六个人排成一排，共有A66=720种方法。但注意到下图显示的六种情况对应着相同的相对位置，应该将相同情况剔除。所以共有720÷6＝120种方法。

［注释］N人排成一圈，有ANNN种排法。题干中的“男女”为干扰条件。 【例25】用6枚不同的珍珠串一条项链，共有多少种不同的串法？（） A. 720 B. 60 C. 480 D. 120 ［答案］B

［解析］本题与上题相比，区别在于“人是不能随意翻转的”，但项链是可以翻转的。如右图：如果是人围成一圈，图中是两种完全不同的情形（有左右手的区别），但如果是项链，只需要翻转一下，便能完全一致。所以所有可能的排法数还要再除以2，即A66÷6÷2＝60种。 ［注释］ N个珍珠串成一条项链，有ANN2N种串法。 六、多人传球型

【例26】（国家2006一类-46、二类-39）四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式？（） A. 60种B. 65种C. 70种D. 75种 ［答案］A

［解一］五次传球传回甲，中间将经过四个人，将其分为两类： 第一类：传球的过程中不经过甲，

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甲→→→→→甲共有方法3×2×2×2=24种 第二类：传球的过程中经过甲，

①甲→→→甲→→甲共有方法3×2×1×3=18种 ②甲→→甲→→→甲 共有方法3×1×3×2=18种

根据加法原理，共有不同的传球方式24+18+18=60种。

［解二］注意：N次传球，所有可能的传法总数为3N（每次传球有3种方法）。 并且第N次传回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。 从表中可知，经过5次传球后，球仍回甲手的方法共有60种，故选A项。 传球问题 ［解二］注意：N次传球，所有可能的传法总数为3N（每次传球有3种方法）。 并且第N次传回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。 从表中可知，经过5次传球后，球仍回甲手的方法共有60种，故选A项。 传球问题核心公式

N个人传M次球，记x=（N-1）MN，则与x最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与x第二接近的整数便是传给自己的方法数。 如上例之中，x=（4-1）54=60.75，最接近的整数是61，第二接近的整数是60，所以传回甲自己的方法数为60种，而传给乙（或者丙、丁）的方法数为61。

【例27】某人去A、B、C、D、E五个城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市。如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另外一个城市。那么他一共有多少种旅游行程安排的方式？（） A. 204 B. 205 C. 819 D. 820 ［答案］C

［解析］相当于五个人传六次球，根据“传球问题核心公式”：X=（5-1）65=819.2，与之最接近的是819，第二接近的是820。因此若第七天回到A城市则有820种方法，去另外一个城市则有819种方法。 七、等价转化型

【例28】从1～100当中选出3个数互不相邻，请问一共有多少种选法？（） A. 142880 B. 147440 C. 608384 D. 152096 ［答案］D

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［解析］本题相当于在97个物件的空隙里插上3个物件（与顺序没有关系），这样构成的100个物件对应着1～100这100个数，新插进来的3个物件对应的数必然是不相邻的，将其取出必然满足题目条件。于是我们完成了一个“等价转化”。97个物件一共产生98个空隙（包括两头），98个空隙中插入3个物件一共有C398=98×97×963×2×1＝98×97×16，利用尾数法，显然选D。

【例29】一名医生给三名学生打疫苗，这种疫苗必须按顺序依次注射a、b、c三针，请问这一共九针有多少种不同的顺序？（） A. 1200 B. 1440 C. 1530 D. 1680 ［答案］D

［解析］医生只需要在自己的打针顺序表上标明这三名学生的名字，譬如“甲、乙、甲、丙、甲、丙、丙、乙、乙”，那么依次注射a、b、c三针就会自动安排唯一的顺序。于是我们完成了一个“等价转化”。医生一共要打九针，在这九针当中先选出三针来给甲打，有C39=84种情况；在剩下的六针当中再选出三针给乙打，有C36=20；剩下三针就留给丙了。所以一共有84×20=1680种情况。

【例30】一次射击比赛当中，6个瓷制靶子排成两列，左边挂了4个靶子，右边挂了2个靶子。射手在射击每一列的时候，必须先击碎此列尚未击碎的靶子当中的最下面一个。请问全部击碎所有6个靶子一共有多少种方法？（） A. 10种 B. 12种 C. 15种 D. 21种 ［答案］C

［解析］与上题类似，我们进行“等价转化”。本题等价于在第1、2、3、4、5、6次射击中，有4次是往左射击，有2次是往右射击，确定好这6次射击的“左”与“右”之后，具体是打哪个靶就被唯一确定了。6次射击中寻找出2次往右射击应该有C26=6×52×1=15种方式。

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