《大学物理学》机械振动练习题(2011马)分解

合肥学院《大学物理Ⅰ》自主学习材料

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一、选择题

9-1．一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时质点的位移为?A，且向x轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为

2（ ） ????AAA?A 2O2OOAAO xxxx?AA22

(C)(B) (A)(D)

【旋转矢量转法判断初相位的方法必须掌握】

9-2．已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程（x的单位为cm，t的单位为s）为（ ）

x(cm)22（A）x?2cos(?t??)； 233（B）x?2cos(2?t?2?)；

33（C）x?2cos(4?t?2?)；

33（D）x?2cos(4?t?2?)。

33?1?2o1t(s)【考虑在1秒时间内旋转矢量转过???，有??4?】

339-3．两个同周期简谐运动的振动曲线如图所示，xxx 12x1的相位比x2的相位（ ） （A）落后?； （B）超前?；

22ot（C）落后?； （D）超前?。

【显然x1的振动曲线在x2曲线的前面，超前了1/4周期，即超前?/2】

9-4．当质点以频率?作简谐运动时，它的动能变化的频率为（ ）

第九章机械振动-1

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（A）?； （B）?； （C）2?； （D）4?。

2【考虑到动能的表达式为Ek?11mv2?kA2sin2(?t??)22，出现平方

项】

9-5．图中是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动可 叠加，则合成的余弦振动的初相位为（x x ）A（A）3?； （B）?；

1t（C）?； （D）0。 x

【由图可见，两个简谐振动同频率，相位相差?，所以，则合成的余弦振动的振幅应该是大减小，初相位是大的那一个】

9--1．一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有位移，

测得其振动周期为T，然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同

一物体，再使物体略有位移，测得其振动周期为T'，则 T'/T为（ ）

（A）2； （B）1； （C）1； （D）1。

222OA?2m22m【弹簧对半分割后，每根的弹性系数仍为k，两弹簧并联后形成新的弹簧整体，弹性系数为2k，公式为k?k?k，利用

并12??km，考虑到T?2?，所以，T'?2??mT?2k2】

9--2．一弹簧振子作简谐运动，当位移为振幅的一半时，其

动能为总能量的（ ） （A）1；（B）212；（C）

3；（D）342k。

【考虑到动能的表达式为E33?12122mv?kAsin(?t??)，位移为振幅22k的一半时，有?t?????,?2?，那么，E13?kA2?()222】

9--3．两个同方向，同频率的简谐运动，振幅均为A，若合成振幅也为A，则两分振动的初相位差为（ ）

第九章机械振动-2

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（A）?； （B）?； （C）2?； （D）?。

6332【可用旋转矢量考虑，两矢量的夹角应为??2?】

39-10．如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体

k1 在光滑平面上作简谐振动，则振动频率为：（ ）（A）12?（C）2?k1?k2m；（B）12?；（D）2?k1?k2；

m(k1?k2)m(k1?k2)k1?k2k2m?mk1?k2。

【提示：弹簧串联的弹性系数公式为频率为??12?km111??k串k1k2，而简谐振动的

】

9-15．一个质点作简谐振动，周期为T，当质点由平衡位置

向x轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为：（ ）

（A）T/4； （B）T/6； （C）T/8； （D）T/12。 【提示：由旋转矢量考察，平衡位置时旋转矢量在??处，最

2短时间到1最大位移处为??，那么，旋转矢量转过?的角度，

236由比例式：?:2??t:T，有t?T】

6129-17．两质点作同频率同振幅的简谐运动，M质点的运动方程为

x1?Acos(?t??)，当M质点自振动正方向回到平衡位置时， N质点恰在振动正方向的端点。则N质点的运动方程为：

M（ ）

（A）x2?Acos(?t????)；（B）x2?Acos(?t??)；

22（C）x2?Acos(?t????)；（D）x2?Acos(?t??)。

22ONx【提示：由旋转矢量知N落后M质点?相位】

29-28．分振动方程分别为x1?3co?st?(5?0和0（SI制）则它们的合振动表达式为：（ ） x2?4cos(50?t?0.75?)（A）x?2cos(50?t?0.25?)； （B）x?5cos(50?t)；

.25)第九章机械振动-3

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（C）x?5cos(50?t???tan?14)； （D）x?7。

43【提示：见图，由于x1和x2相位相差?/2，所以合振动振幅可用勾股定理求出；

合振动的相位为?/4??，而??arctan4】

3xx2?45x113．一弹簧振子，当把它竖直放置时，作振动周期为T0的简谐振动。若把它放置在与竖直方向成θ角的光滑斜面上时，试判断下列情况正确的是：（ ） （A）在光滑斜面上不作简谐振动；

（B）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期仍为T0； （C）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期为T0/cos?； （D）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期为T0/cos?。 【提示：由题意弹簧振子竖直放置时的周期为T0?2?m/k，但此弹簧水平放置时周期仍为2?m/k，所以弹簧振子的T0是固有周期】

14．两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为?l1和?l2，且?l1=2?l2，两弹簧振子的周期之比T1：T2为： （ ） （A）2； （B）2； （C）1； （D）1/2。

2【提示：可由弹簧的伸长量求出相应的劲度系数k，再利用

k判定】 ??m二、填空题

9--4．一质点在Ox轴上的A、B之间作简谐运动， O为平衡位置，质点每秒往返三次，若分别以

Ax11cmO1cmx22cmBx1、x2为起始位置，则它们的振动方程为： （1） ；（2） 。

第九章机械振动-4

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【提示：O为平衡位置，A、B之间振动，振幅为2cm；每秒往返三次，说明??3，有??6?，x1为起始位置时，初相位的

3旋转矢量在第三象限与水平轴成60的位置，所以??4?，则

x1?0.02cos(6?t?4?)；同理，x2为起始位置时，初相位的旋转矢3量在第4象限与水平轴成60角的位置，所以????，则

3x2?0.02cos(6?t??3)】

9--5．由图示写出质点作简谐运动的振动方程：

。

0.1x5?1o1379t?0.1【提示：图中可见振幅为0.1，周期为8秒，旋转矢量初相位在1秒后（即T/8后）达最大，则初相位在第4象限与水平轴成45角的位置，所以????，则x?0.1cos(?t??)】

4449--6．有两个简谐运动，其振动曲线如图所示，从图中可知 xA的相位比振动B的相位 ，?A??B? 。 oAB【提示：图中可见A落后 B，?应为负值，??A??B?2t】 9-20．如果地球上的秒摆在月球上的周期为4.9秒，地球表面的重力加速度取9.8m/s2，月球上的重力加速度为 。

第九章机械振动-5

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【秒摆在地球上的周期为2秒，由单摆的周期公式：T?2?4?2l知g?2Tlg，可见g月?1.63m/s2】

5．一单摆的悬线长l，在顶端固定点的铅直下方l/2处有一小钉，

如图所示。则单摆的左右两方振动周期之比T1/T2为 。

【由单摆的周期公式：T?2?T1/T2?22l2llg知左边T1?2?l2g，可见

】

6．有两个相同的弹簧，其倔强系数均为k，（1）把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；（2）把它们并联起来，下面挂一质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 。 【提示：（1）弹簧串联公式为为T?2?有T?2?111??k串k1k2，得k串?k，而周期公式2mk，有T】

2?串?2mk；（2）并联公式为k并可得k并?2k，?k1?k2，4x(m)并m2k?2o2t(s)7．一弹簧振子作简谐振动，其振动曲线如图所示。 第九章机械振动-6

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则它的周期T? ，其余弦函数描述时初相位?= 。 【提示：由旋转矢量图，考虑在2秒时间内旋转矢量转过?3??32A?A2，

12有??11?，可算出周期T?224s，图中可见初相位???311】 8．两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2 m，合振动的位相与第一个简谐振动的位相差为π/6，若第一个简谐振动的振幅为

3/10m，则第二个简谐振动的振幅

为 ，第一、二两个简谐振动的位相差为 。

【提示：∵合振动的振幅与第一个简谐振动的振幅恰满足

cos??3，可知第二个简谐振动与合振动的位相差为

2π/3，由

勾股定理知第二个简谐振动的振幅为0.1m；第一、二两个简谐振动的位相差为?/2】

10．质量为m的物体和一轻弹簧组成弹簧振子其固有振动周期为T，当它作振幅为A的自由简谐振动时，其振动能量

E? 。

【提示：振动能量的公式为E?1m?2A2?1kA2，而??2?，有

22TE?2?2mT?2A2】

11．李萨如图形常用来对于未知频率和相位的测定，如图所示的两个

p不同频率、相互垂直的简谐振动合成图像，选水平方向为x振

第九章机械振动-7

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动，

竖直方向为

y振动，则该李萨如图形表明

Tx:Ty? 。

【提示：李萨如图形与x的水平方向有2个切点，与y的竖直方向有3个切点，表明Tx:Ty?2:3】

三、计算题

x/m9-14．某振动质点的x-t曲线如图所示，试求： 0.1P0.05（1）运动方程；

o4（2）点P对应的相位；

（3）到达P点相应位置所需的时间。

9-18．如图为一简谐运动质点的速度与时间的 关系图，振幅为2cm，求 v/cm?s?1（1）振动周期；

1.5（2）加速度的最大值；

ot/s（3）运动方程。

?3 k9-23．一质量为M的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧下端， 弹簧的劲度系数为k。现有一质量为m的物体自离盘 h h高处自由下落，掉在盘上没有反弹，以物体掉在盘上 Mt/s的瞬时作为计时起点，求盘子的振动表达式。（取物体 掉入盘子后的平衡位置为坐标原点，位移以向下为正。）

9-25．质量m=0.10kg的物体以A=0.01m的振幅作简谐振动，其最大加速度为4.0m·s-2，求：（1）振动周期；（2）物体通

第九章机械振动-8

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过平衡位置时的总能量与动能；（3）当动能和势能相等时，物体的位移是多少？（4）当物体的位移为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？

9-27．质量m=10g的小球与轻弹簧组成的振动系统运动方程为x?0.5cos(8?t??)cm，求（1）振动的角频率、周期、振幅和

3初相位；（2）振动的能量；（3）一个周期内的平均动能和平均势能。

9-28．有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表式为：

3??x1?0.05cos?10t???4??1?，x2?0.06cos?10t???（SI制） ??4?（1）求它们合成振动的振幅和初相位。

（2）若另有一振动x3?0.07cos(10t??3)，问?3为何值时，x1?x3的振幅为最大；?3为何值时，x2?x3的振幅为最小。

答案

一、选择题：B D B C D D D C B D C C B B 三、计算题

9-14．解：先做出旋转矢量图：

A可见4秒的时间旋转矢量 2A 转过???的角度，因此，32有?????5?；

?t24x/m0.10.05P4t/so第九章机械振动-9

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（1）简谐运动方程的标准式为：x?Acos(?t??)，x-t曲线图中可见A?0.1m，旋转矢量图可见????，∴x?0.1cos(5?t??)m；

3243（2）旋转矢量图可见?P?0；

（3）旋转矢量图可见，到达P点相应位置转过?/3，

??8?t??(s)。

?5?1v/cmv?s-9-18．解：首先注意到所给的图像是t图， 简谐运动的速度表达式为v???A1.5sin(?t??)， 注意到题设条件“简谐运动振幅为，有： t/so2cm”??vmax/A?1.5； ?3（1）利用T?2?/?有T?4?/3； （2）由amax?A?2有amax?4.5cm/s2； （3）简谐运动的速度表达式为v???Asin(?t??)，

做一个sin的旋转矢量图与v-t图对应，考虑到与v方程

??A2中有负号，可见，??7?，v??3sin(1.5t?5?)cm/s，

665?x?2cos(1.5t?)cm。由简谐运动方程的标准式x?Acos(?t??)有：

69-23．解：与M碰撞前，物体m的速度为v0m?mmv0m?m?Mm?M2gh k由动量守恒定律：mv0m?(m?M)v0，有碰撞后的速度为：

v0?2gh h碰撞点离开平衡位置距离为x0??mgk

M 碰撞后，物体系统作简谐振动，振动角频率为??km?M

由简谐振动的初始条件，x0?Acos?0, v0??A?sin?0得：

m2gh)2vmg2mg2kh2A?x0?(0)2?(?)?m?M?1?k?kk(m?M)gm?M( 第九章机械振动-10

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m2gh?v02khm?Mtan?0???x0?(m?M)gmgk?km?M?

∴振动表达式为：

??mg2khk2kh?11?cos? t?tan ???k(m?M)g(m?M)g??m?M9-25．解：（1）由amax?A?2有??amax/A?20，T?2???；

?10（2）E总?1m?2A2?2?10?3J，再利用Ek?1m?2A2sin2(?t??)，取振

22x?Acos(?t??0)?动在平衡位置的相位，即(?t??)??时，有Ek?2?10?3J； （3）动能和势能相等→

11212mv2?kx?kA，得： 222kx2?211mv2?kx222，而简谐振动特征，

A1kA2→x????0.707A??7.07?10?3m； 22（4）当x??1A时，利用简谐振动方程x?Acos(?t??)求出相位：

21?2?4?5?cos(?t??)??，有(?t??)?,,,（一个周期内），则

233333112sin2(?t??)?，cos2(?t??)?，利用Ek?m?2Asin2?(?t?，)44211EP?m?2A2cos2(?t??)，考虑到E总?m?2A2

22有：Ek/E总?3，EP/E总?1。

449-27．解：（1）由运动方程可见：??8?，T?2??0.25s，

?A?5?10?3m，???3；

（2）利用E总?1m?2A2，有E总?8?2?10?6J；

2（3）利用Ek?1m?2A2sin2(?t??)，有：

21Ek?2??2?01m?2A2222m?Asin(?t??)d(?t??)，有Ek?24??2?01?cos2?d? 2第九章机械振动-11

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m?2A2可得：Ek??4?2?10?6J；

4同理：

EP?12??2?01m?2A2cos2(?t??)d(?t??)2，有

m?2A2EP?4??2?01?cos2?d? 2m?2A2可得：EP??4?2?10?6J。

49-28．

解：根据题意，画出旋转矢量图 （1）A?2A12?A2?0.052?0.062?0.078(m)

?A?A15A1 tan??? ??39.8??39?48?，???2???84?48?；A26??A2（2）?3??1?3? , x1?x2振幅最大；

4?2?o?4x?3??2??? , ?3??2???5?3?(或?)时, x2?x3振幅最小。 449-35．解：（1）振荡的周期可由交变电压的角频率求出：

??104?，有T?2???2?10?4s；

T2（2）再由T?2?LC，有L?2，可得：L?12?10?1H?4?C；

（3）由i?dq，C?q有i?Cdtud[50cos?104?t?]??50C?104?sin?104?t? dtA）

∴i??5?10?2?sin?104?t?A（或为i??0.157sin?104?t?第九章机械振动-12

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