概率论与数理统计作业及解答(2)

概率论与数理统计

记事件B={收到信号 “·”}?A1={发出信号 “·”}?A2={发出信号“?”}. (1) P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?0.6?(1?0.2)?0.4?0.1?0.52; (2) P(B)?1?P(B)?1?0.52?0.48; (3) P(A1|B)?(4)P(A2|B)?P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.6?0.812???0.923; ?0.5213P(B)P(B)P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.4?0.93???0.75. ?0.484P(B)P(B)5? 对以往数据分析结果表明? 当机器调整良好时? 产品合格率为90%? 而机器发生某一

故障时? 产品合格率为30%? 每天早上机器开动时? 机器调整良好的概率为75%? (1)求机器产品合格率?

(2)已知某日早上第一件产品是合格品? 求机器调整良好的概率? 记事件B={产品合格}?A={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.75?0.9?0.25?0.3?0.75, (2) 由贝叶斯公式得P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)0.75?0.9??0.9. ?0.75P(B)P(B)☆.系统(A)? (B)? (C)图如下? 系统(A)? (B)由4个元件组成? 系统(C)由5个元件组成?

每个元件的可靠性为p? 即元件正常工作的概率为p? 试求整个系统的可靠性.

(A) (B) (C) 记事件A={元件5正常}?B={系统正常}.

(A) P(B|A)?(1?(1?p)(1?p))2?p2(4?4p?p2), (B) P(B|A)?1?(1?p2)(1?p2)?p2(2?p2), (C) 由全概率公式得

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?p?p2(4?4p?p2)?(1?p)p2(2?p2) ?2p2?2p3?5p4?2p5.

第四次作业

1? 在15个同型零件中有2个次品? 从中任取3个? 以X表示取出的次品的个数? 求X的分布律.

k2?kC2C13P(X?k)?,k?0,1,2. 3C15X 0 1 2 P 22/35 12/35 1/35 ☆.经销一批水果? 第一天售出的概率是0.5? 每公斤获利8元? 第二天售出的概率是0.4? 每公斤获利5元? 第三天售出的概率是0.1? 每公斤亏损3元? 求经销这批水果每公斤赢利X的概率分布律和分布函数? ?3 X 5 8 第6页 共32页

概率论与数理统计

P 0.1 0.4 0.5 ?0,x??3,?F(?3)?P(X??3)?0.1,?3?x?5,? F(x)???F(5)?P(X??3)?P(X?5)?0.1?0.4?0.5,5?x?8,??F(8)?1,x?8.2? 抛掷一枚不均匀的硬币? 每次出现正面的概率为2/3? 连续抛掷8次? 以X表示出现正面的次数? 求X的分布律.

?2??1?X?B(n?8,p?2/3),P(X?k)?C8k????,k?0,1,?,8.

?3??3?3? 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35? 以X表示他首次击中靶心时累计已射击的次数? 写出X的分布律? 并计算X取偶数的概率?

X?G(p?0.35),P(X?k)?pqk?1?0.35?0.65k?1,k?1,2?. ?P(X奇)+P(X偶)=1,?P(X偶) ?P(X奇)=,?q?q0.6513???0.394. 解得P(X偶)=1?q1?0.65334? 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机? 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1?求在同一时刻?

(1)恰有2个刷卡机被使用的概率?(2)至少有3个刷卡机被使用的概率? (3)至多有3个刷卡机被使用的概率?(4)至少有一个刷卡机被使用的概率? 在同一时刻刷卡机被使用的个数X?B(n?4,p?0.1).

2(1) P(X?2)?C4?0.12?0.92?0.00486,

3(2) P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?C4?0.13?0.9?0.14?0.0037,

k8?k(3) P(X?3)?1?P(X?4)?1?0.14?0.9999,

(4)P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.94?1?0.6561?0.3439.

5? 某汽车从起点驶出时有40名乘客? 设沿途共有4个停靠站? 且该车只下不上? 每个乘客在每个站下车的概率相等? 并且相互独立? 试求? (1)全在终点站下车的概率? (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率? (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率? 记事件A={任一乘客在终点站下车}?乘客在终点站下车人数X?B(n?40,p?1/4).

?1?(1) P(X?40)????8.2718?10?23,

?4?43?3??3?11?3?(2) P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?1????C40????1????

4?4?3?4??4??1?0.000134088?0.999865912.

(3) 记事件B={任一乘客在后两站下车}?乘客在后两站下车人数Y?B(n?40,p?1/2).

20C4020?1??1?P(Y?20)?C40?????40?0.1268.(精确值) 2?2??2?202040394040 第7页 共32页

概率论与数理统计

?n?应用斯特林公式n!?2n???,

?e?40!C4020?1??1? ?P(X?20)?C40?????24040(20!)2222????40?40?2?40???1?e???0.1262. ?202??20??4025?2?20????2???e????其中??3.1415926536,??1.7724538509.

202020n参?贝努利分布的正态近似?

6? 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002? 有2000件瓷器运到? 求? (1)恰有2个受损的概率? (2)小于2个受损的概率? (3)多于2个受损的概率? (4)至少有1个受损的概率?

受损瓷器件数X?B(n?2000,p?0.002),近似为泊松分布P(??n?p?4).

42?4e?8e?4?0.146525, (1) P1?2!?4?(2) P2??1??e?4?5e?4?0.0915782,

?1!??4(3) P?0.761897, 3?1?P1?P2?1?13e?4(4) P?0.981684. 4?1?e7? 某产品表面上疵点的个数X服从参数为1.2的泊松分布? 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品? 求产品的合格品率?

?1.21.22??1.2?1.2?产品合格品率P??1??e?2.92e?0.879487. 1!2!??★8? 设随机变量X的分布律是 ?3 X 5 8 0.2 0.5 0.3 P 求?X的分布函数? 以及概率P(3?X?6),P(X?1),P(X?5),P(|X|?5). 随机变量X的分布函数为

?0,x??3,?F(?3)?P(X??3)?0.2,?3?x?5,? F(x)???F(5)?P(X??3)?P(X?5)?0.2?0.5?0.7,5?x?8,??F(8)?1,x?8.P(3?X?6)?P(X?5)?0.5,

P(X?1)?P(X?5)?P(X?8)?0.5?0.3?0.8,

P(X?5)?P(|X|?5)?F(5)?P(X??3)?P(X?5)?0.2?0.5?0.7, 第五次作业

1? 学生完成一道作业的时间X是一个随机变量(单位? 小时)? 其密度函数是

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?kx2?x,0?x?0.5 f(x)??

0,其他?试求? (1)系数k? (2)X的分布函数? (3)在15分钟内完成一道作业的概率? (4)在10到

20分钟之间完成一道作业的概率? (1) 1?F(0.5)??0.501?k1?kkx?xdx??x3?x2???,k?21,

2?0248?320.5?0,x?0?x1?(2) F(x)??P(X?x)??21x2?xdx?7x3?x2,0?x?0.5,

02???F(0.5)?1,x?0.5.x9?1??1?1?1?(3) F???P(X?x)??21x2?xdx?7???????0.140625,

0?4??4?2?4?6411?29?1?1??1??1?1?1?. (4) P??X???F???F????1321x2?xdx?7??????3??6?3??6?6?4?2?4?1083232

2? 设连续型随机变量X服从区间[?a? a](a?0)上的均匀分布? 且已知概率P(X?1)?? 求? (1)常数a? (2)概率P(X?)? (1) P(X?1)??a113131a?11dx??,a?3, 2a2a31111?1?5(2) P(X?)??3dx??3???.

?3636?3?9

3? 设某元件的寿命X服从参数为? 的指数分布? 且已知概率P(X?50)?e?4? 试求?(1)参数? 的值? (2)概率P(25?X?100) ?

??x补分布S(x)?P(X?x)???e??xdx??e??x|??,x?0. x?ex??(1) S(50)?P(X?50)???e??xdx?e?50??e?4,??(2) 由S(rx)?e??rx2?0.08,

50251?Sr(x),r,x?0,取x?50,依次令r?,2,得

2??S(25)?P(X?25)?S(50)?e?2,S(100)?P(X?100)?S2(50)?e?8?0.0003354563, 其中e?2.7182818284.

12P(25?X?100)?P(X?25)?P(X?100)?e?2?e?8 ?0.13533465?0.0003354563?0.1349991937. 4? 某种型号灯泡的使用寿命X(小时)服从参数为

?1?1200800?321的指数分布? 求? (1)任取1只灯泡800使用时间超过1200小时的概率? (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率? (1) P(X?1200)?e?e?0.2231301602,

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概率论与数理统计

此处e?1.6487212707001. (2) P(X?1200)?e3?92?0.0111089965.

5? 设X~N(0? 1)? 求? P(X?0?61)? P(?2?62?X?1?25)? P(X?1?34)? P(|X|?2?13)? (1) P(X?0.61)??(0.61)?0.72907,

(2) P(?2.62?X?1.25)??(1.25)??(?2.62)??(1.25)??(2.62)?1

?0.89435?99560?1?0.88995,

(3) P(X?1.34)?1??(1.34)?1?0.90988?0.09012, (4)P(|X|?2.13)?2?2?(2.13)?2?2?0.98341?0.03318.

6? 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X~N(4? 1)? 设飞机上午10? 10从甲地起飞? 求? (1)

9飞机下午2? 30以后到达乙地的概率? (2)飞机下午2? 10以前到达乙地的概率? (3)飞机在下午1? 40至2? 20之间到达乙地的概率?

13?13????31/3?4?(1) P?X???1?P?X???1?????1??(1)?1?0.84134?0.15866,

3?3????1/3?(2) P(X?4)??(0)?0.5,

25??7?25/6?4??7/2?4?(3) P??X??????????

6??2?1/3??1/3??1??3??????????1?0.69146?0.93319?1?0.62465.

?2??2?

★7? 设某校高三女学生的身高X~N(162? 25)? 求? (1)从中任取1个女学生? 求其身高超过165的概率? (2)从中任取1个女学生? 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率? (3)从中任取6个女学生? 求其中至少有2个身高超过165的概率?

?X?162165?162?(1) P(X?165)?P???0.6??1??(0.6)?1?0.7258?0.2742,

55???X?162?(2) P(|X?162|?5)?P??1??2?(1)?1?2?0.84134?1?0.6827,

5??(3) 记事件A={任一女生身高超过165}? p?P(A)?P(X?165)?0.2742, 随机变量Y?贝努利分布B(n?6,p?0.2742),

1P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?1?(1?p)6?C6p(1?p)5?0.52257.

第六次作业

★1.设随机变量X的分布律为 X ?2 ?1 0 111 pk 246

(1)求Y?|X|的分布律? (2)求Y?X2?X的分布律? (1)

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