概率论与数理统计作业及解答(4)

概率论与数理统计

★4? 设X~U(0? 1)? Y~E(1)? 且X与Y独立? 求函数Z?X?Y的密度函数?

?e?y,0?x?1,y?0,f(x,y)??

0,其它,?当0?z?1时?

fZ(z)??f(x,z?x)dx??fX(x)fY(z?x)dx??e?z?xdx?e?z?x000zzzzx?0?1?e?z,

当z?1时?

fZ(z)??f(x,z?x)dx??fX(x)fY(z?x)dx??e?z?xdx?e?z?x0001z11x?0?e1?z?e?z.

因此

?1?e?z,0?z?1,?fZ(z)??e1?z?e?z,z?1,

?0,其它.??e?(x?y)★5? 设随机变量(X? Y)的概率密度为f(x,y)???1?e?1??00?x?1,0?y???其它

(1)求边缘概率密度fX (x)? fY (y)? (2)求函数U?max (X, Y)的分布函数? (3)求函数V?min

(X, Y)的分布函数?

?e?x?e?y,y?0,,0?x?1,??1fY(y)??(1) fX(x)??1?e 0,其它.??0,其它.??0,x?0,?0,x?0,?x?xxe1?e?x??dx?,0?x?1,(2) FX(x)???fX(x)dx?? ??1?e?min{x,1}?1001?e?11?e,x?0.???11?e???1,x?1.?0,y?0,FY(y)?? ?y?1?e,y?0.?(1?e?x)2,0?x?1,? FU(x)?FX(x)FY(x)??1?e?1?1?e?x,x?1.?(1?e?x)(1?e?min{x,1})?,x?0.

1?e?1?1,x?0,??x?1?e?e,0?x?1, (3) SX(x)?1?FX(x)???11?e???0,x?1.?1,x?0,? ??e?min{x,1}?e?1,x?0.??11?e? 第16页 共32页

概率论与数理统计

?1,y?0,SY(y)?1?FY(y)???y

?e,y?0.?(e?x?e?1)e?x1?e?1?e?2x?e?1?x?,0?x?1,?1? FV(x)?1?SX(x)SY(x)??1?e?11?e?1?1,x?1.?1?e?1?e?min{x,1}?x?e?1?x?,x?0.

1?e?16? 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160? 202)分布? 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率?

?180?160?随机变量X?N(160,202),P(X?180)??????(1)?0.84134,

20??没有一只寿命小于180小时的概率为

P4(X?180)?(1??(1))4?(1?0.84134)4?0.00063368.

第九次作业

★1. 设离散型随机变量X具有概率分布律 X ?2 ?1 0 1 2 3 0.0.0.0.0.0.P 1 2 2 3 1 1 试求? E(X)? E(X2?5)? E(|X|)?

EX??xipi??2?0.1?1?0.2?1?0.3?2?0.1?3?0.1?0.4,

iEX2??xi2pi?(?2)2?0.1?(?1)2?0.2?12?0.3?22?0.1?32?0.1?2.2,

iE(X2?5)?EX2?5?7.2,

E|X|??|xi|pi?2?0.1?1?0.2?1?0.3?2?0.1?3?0.1?1.2.

i?0 x?0,2. 设随机变量X的概率密度为f(x)???x 0?x?1,求? (1)常数A? (2)X的数学期望?

?x??Ae x?1.1e?Ae?1,A?,

00122??1e??1e4(2) EX??xf(x)dx??x2dx??xe?xdx???2e?1?.

0021323★3. 设球的直径D在[a? b]上均匀分布?试求? (1)球的表面积的数学期望(表面积?D2)?

(1) 1????f(x)dx??xdx??1??Ae?xdx?(2)球的体积的数学期望(体积?D3)?

x2?dx?(a2?ab?b2); (1) E(?D)??ED???ab?a33bx???3??3(2) E?D??ED???dx?(a?b)(a2?b2).

ab?a24?6?622b16★4. 设二维离散型随机变量(X? Y)的联合分布律为

第17页 共32页

概率论与数理统计

Y 1 X 求E(X)? E(Y)? E(XY)?

?2 0 2 0.10 0.05 0.10 2 0.05 0 0.15 3 0.05 0.10 0.05 4 0.10 0.20 0.05

EX??xipi???2?(0.1?0.05?0.05?0.1)?2?(0.1?0.15?0.05?0.1)

i??2?0.3?2?0.35?0.1,

EY??yjp?j?1?(0.1?0.05?0.1)?2?(0.05?0.15)

j?3?(0.05?0.1?0.05)?4?(0.1?0.2?0.05)?2.65,

E(XY)??xi?yjpi,j

ij??2?(1?0.1?2?0.05?3?0.05?4?0.01)?2?(1?0.1?2?0.15?3?0.05?4?0.05) ??1.5?1.5?0.

★5. 设随机变量X和Y独立? 且具有概率密度为fX(x)???(1)求E(2X?5Y)? (2)求E(X2Y)?

112(1) EX??xfX(x)dx??2x2dx?,

003EY????1??4yfY(y)dy??3ye?3(y?1)dy?,

132x,0?x?1,??3(y?1),y?1,fY(y)??3e

0,其它,0,y?1.??14或随机变量Z?Y?1?指数分布E(3),EZ?EY?1?,EY?,

3324E(2X?5Y)?2EX?5EY?2??5??8.

33111142(2) EX2??x2fX(x)dx??2x3dx?,由X和Y独立得E(X2Y)?EX2EY???.

002233第十次作业

1. 设离散型随机变量X的分布列为 X ?2 ?1 0 1 2 3 P 0?1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 试求? (1) D(X)? (2) D(?3X?2) ?

(1) EX??xipi??2?0.1?1?0.2?1?0.3?2?0.1?3?0.1?0.4,

iEX2??xi2pi?(?2)2?0.1?(?1)2?0.2?12?0.3?22?0.1?32?0.1?2.2,

iDX?EX2?E2X?2.2?0.42?2.04.

(2) D(?3X?2)?(?3)2DX?9?2.04?18.36.

第18页 共32页

概率论与数理统计

?Ax2?2x,0?x?2,★2. 设随机变量X具有概率密度为f(x)??

?0,其他，试求? (1)常数A? (2)E(X)? (3) D(X)? (4) D(2X?3) ?

??289(1) 1??f(x)dx??(Ax2?2x)dx?A?4,解得A??.

??038??2925EX?xf(x)dx?x(?x?2x)dx?. (2) ????086944?5?19(3) EX??xf(x)dx??x(?x2?2x)dx?,DX?EX2?E2X?????. ??0855?6?1801919?. (4) D(2X?3)?22DX?4?18045?2?x?y,0?x?1,0?y?1,★3. 设二维随机变量(X,Y)联合概率密度为f(x,y)??

?0,其他，试求? (1)X,Y的协方差和相关系数A? (2)D(2X?Y?1).

??13(1) fX(x)??f(x,y)dy??(2?x?y)dy??x,0?x?1,

??023由x,y的对称性fY(y)??y,0?y?1.

2??1?35?EX??xfX(x)dx??x??x?dx??EY,

??012?2???11?3?EX2??x2fX(x)dx??x2??x?dx??EY2,

??04?2?2??22221?5?11DX?EX?EX??????DY,

4?12?144222E(XY)???????????xyf(x,y)dydx??1xy(2?x?y)dydx?, 0?0611因此

1?5?1Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY??????,

6?12?144Cov(X,Y)1?X,Y???.

11DXDY(2) 由随机变量和的方差公式D(X?Y)?DX?DX?2Cov(X,Y)得

D(2X?Y?1)?D(2X)?D(?Y)?2Cov(2X,?Y)59?22DX?(?1)2DY?2?2?(?1)?Cov(X,Y)?.

144★4. 设二维随机变量(X,Y)具有联合分布律

2Y X ?1 0 ?2 ?1 0 1 2 0.1 0.1 0.05 0.1 0.1 0.00.00 0 0 5 5 第19页 共32页

概率论与数理统计

1 0.1 0.1 0.05 0.1 0.1 试求EX,DX,EY,DY以及X和Y的相关系数? (1) X的分布列为

X pi? ?1 0.45i0 0.11 0.45由变量X分布对称得EX?0,或EX??xipi???1?0.45?0?0.45?1?0.45?0,

EX2??xi2pi??(?1)2?0.45?02?0.45?12?0.45?0.9,DX?EX2?E2X?0.9.

i(2) Y的分布列为

Y p?j ?2 0.2?1 0.250 0.11 0.252 0.2(X,Y)取值关于原点中心对称

由变量Y分布对称得EY?0,或EY??yjp?j??2?0.2?0.25?0.25?2?0.2?0,

i2222EY2??y2p?(?2)?0.2?(?1)?0.25?1?0.25?2?0.2?2.1, j?jiDY?EY2?E2Y?2.1.

(3) 由二维变量(X,Y)的联合分布列关于两坐标轴对称得E(XY)??xi?yjpi,j?0,

ijCov(X,Y)?0.

DXDY5. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布P(2)?随机变量Y服从区间(0,6)上的均匀分

1.记Z?X?2Y,求EZ,DZ. 布U(0,6),且X,Y的相关系数?X,Y?60?6?3,EZ?E(X?2Y)?EX?2EY?2?2?3??4. (1) EX?2,EY?2(6?0)2Cov(X,Y)1?3.由?X,Y??,得Cov(X,Y)?1, (2) DX?2,DY?12DXDY6由随机变量和的方差公式D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)得

Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY?0,因此?X,Y?DZ?D(X?2Y)?DX?D(?2Y)?2Cov(X,?2Y)?DX?(?2)2DY?4Cov(X,Y)?10.

第十一次作业

★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大? 掷1000次均匀硬币? 出现正面的次数在400到600次之间?

出现正面的次数X~B(n?1000,p?0.5), EX?np?1000?0.5?500,DX?npq?1000?0.5?0.5?250,

应用切比雪夫不等式?有

DX39P(400?X?600)?P(|X?500|?100)?1??.

1002402. 若每次射击目标命中的概率为0.1? 不断地对靶进行射击? 求在500次射击中? 击中目标的次数在区间(49? 55)内的概率?

第20页 共32页

百度搜索“yundocx”或“云文档网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，云文档网，提供经典综合文库概率论与数理统计作业及解答(4)在线全文阅读。