2013三级上小学数学竞赛等级教练员试题解答

2013年(上)小学数学竞赛叁级教练员考试试卷参考答案

（1—10填空题，每题5分；11—20解答题，每题10分，共150分）

1．计算：20122013×20132014－20122012×20132013=______________。 解：用a表示20122012，则20122013可用a?1表示。

用b表示20132013，则20132014可用b?1表示。原式可为

(a?1)(b?1)?ab?a?b?1?40254026。

2．在右面的格子里填数，使相邻的每三个数的和都是24。

解：设方格里填的数由左到右依次是a1,a2,?，a9，则a3?9,a7?7，并且按题设，有

a1?a2?a3?a2?a3?a4?a3?a4?a5???a6?a7?a8?a7?a8?a9

∴a1?a4,a2?a5,?,a6?a9。

因此，方格里的数是以3为周期的周期函数。即a1?a4?a7?7,a3?a6?a9?9,又a2?24?a1?a3?8，所以，a2?a5?a8?8。格子里应填的数如下：

3．在圆周上写上数1，2，4，然后在每相邻的数之间写上它们的和数，于是共得到6个数：1，3，2，6，4，5。再重复这个过程5次，圆周上最后出现了192个数。这192个数的和是 。

解：一共进行了所述的过程6次。记原先3个数之和为S0，S0?1?2?4?7；进行过一次所述过程之后的和是S1?3S0；同理有：S2?3S1?32S0,?；S6?36S0?5103。 4．用计算机录入一份书稿，甲单独做10天可以完成，乙单独做15天可以完成。现在甲、乙两人合做，由于乙中途生病休息了若干天，结果一共用了8天才完成任务。那么，乙中途休息了 天。

解： 在这份工作中，甲的工作一直在进行，所以乙的工作的天数为(1?11?8)??31015（天），乙中途休息的天数为8-3=5（天）。

5．有39个偶数的平均数，如果保留一位小数是23.4，如果保留二位小数，得数最小的是 。

解：设这39个偶数分别是a1,a2,?,a39，则有23.35?a1?a2???a39?23.45。∴

39910.65?a1?a2???a39?914.55。从而39个偶数的和最小是912。又因为

912?39?23.38，即为所求的二位小数。

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6．如图，在图中的9个方格中分别填有1～9的整数，使方格边线上○中的数等于相邻的两个方格中所填的数之和。请问：？处应填 。

解：1～9整数之和是（1+9）×9÷2=45，将所有○中的数相加，？以外的8个数都各被加过两次，所以，？处填的数为：45-（6+7+8+12+16+10+9+10）÷2=45-39=6。

7．在区排球比赛中，同一个学校最多可以有4个队报名参赛。如果全区共有347个队报名参赛，则报名参赛的学校至少有 个。

解：（1）如果各校都组织了4个队参赛，则参赛的球队总数是参赛学校数的4倍。 （2）而事实上报名参赛的球队总数是347个。因此，有部分学校未报足参赛的球队数。报名参赛的学校总数最少发生在各校都尽可能用足给予自己的四个参赛球队的申报指标上。由347=86×4+3知，报名参赛的学校至少有86+1=87（个）。

8．如果在半径是50㎝、高度是1m的圆桌上盖一块正方形白布，白布的四个角都恰好接触到地面。那么，正方形白布的面积是 m。

解：白布的对角线长度是（圆桌的高度+圆桌的半径）×2=（1+0.5）×2=3（m），所以，把白布看作菱形，其面积为：3×3÷2=4.5（m）。

9．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果S?ABD?DO=3。则CO= 。

解：如图，过A、C点分别作BD的垂线，交BD于E、F点。因为S?ABD?同底，所以AE=

22

？

1S?BCD，且AO=2，31S?BCD，⊿ABD与⊿BCD以BD31CF。又⊿AEO∽⊿CFO，所以3OC=3AO。因为AO=2，所以OC=2×3=6。

10．“倍尔数”是美国数学家倍尔命名的一个数列。请你根据每行数组成的规律，再写一行倍尔数。 1

1， 2

2， 3， 5

5， 7， 10， 15

15， 20， 27， 37， 52

52， 67， 87， 114， 151， 203 ， ， ， ， ， ，

解：规律：（1）每排最后一个数都是下一排的第一个数；（2）其它任何一个数都等于它左边相邻数加左边相邻数上面的一个数。根据上述规律，所填的数依次为：203，255，322，409，523，674，877。

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11．在一个两位质数的两个数字之间，添上数字5以后，所得的三位数比原数大770。那么原来的质数是多少？

解：设原来的两位质数是ab，则a5b?ab?770。所以100a?50?b?10a?b?770，解得a?8。又ab是质数，所以，所求两位质数是83或89。

12．设kn表示n的正约数个数，那么k1?k2???k2013是奇数还是偶数？并说明理由。 解：是偶数。理由如下：因为平方数的正约数有奇数个，此外的正整数的正约数是偶数个。又44?2013?45，所以，1～2013中，平方数有44个，它们的正约数个数之和是偶数，又因为其它各数的正约数个数都是偶数，所以k1?k2???k2013是偶数。

13．有三个不同的数字，用它们组成的6个各不相同的三位数相加的和等于3330。请问：这6个数中最大的一个是多少？

解：设这三个数字是a,b,c，它们可以组成6个三位数：abc,acb,bac,bca,cab,cba。它们各位上的数的和都是2(a?b?c)，因此，必有2(a?b?c)×111=3330，即

22a?b?c?15。又由于这三个数字都可以作为百位上的数组成三位数，所以都不能为0。

所以，其中最小的是1。因此另两个数的和是14。它们分别是9、5或8、6。所以a,b,c中最大的是9，6个三位数中，最大的是951。

14．将99颗子弹放进大小两种盒子中，大盒子每个装12颗，小盒子每个装5颗，恰好装完。如果装有子弹的大、小盒子的总数大于10，问两种盒子各有多少个？

解：（1）由于子弹总数是99颗，所以如果用偶数个小盒，装满子弹后，那么剩下的弹数仍是奇数，这样剩下的子弹无法将大盒子装满，所以一定是用了奇数个小盒子。

用奇数个小盒子时，剩下的子弹数目的个位数一定是4，大盒子个数是2或者是7。 （2）假设用了2个大盒子，那么99-12×2=75，75÷5=15，即用了2个大盒子，15个小盒子。假设用了7个大盒子，那么99-12×7=75，15÷5=3，即用了7个大盒子，3个小盒子，恰好把99颗子弹装完，但7+3=10<11与题意不符，所以用大盒子2个，小盒子15个。 15．某幼儿园中班的小朋友平均身高是115㎝，其中男生人数比女生多比男生高10%，这个幼儿班的男生平均身高是多少？

1，女生平均身高511?56?；因为女生平均身高比，所以，男、女生人数的比为

555110?。设男生平均身高为10x㎝，则男生多10%，所以男、女生平均身高的比为

1?10解：因为男生比女生多

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女生的平均身高为11x㎝；设女生人数为5y人，则男生人数为6y人。男、女生的身高总和分别是：男生：10x?6y?60xy(㎝)；女生：11x?5y?55xy(㎝)。根据男、女生的身高总和得方程：60xy?55xy?115?(5y?6y)，解得

x?11。从而10x?110(㎝)。

答：这个幼儿班的男生平均身高是110厘米。

16．如图,在四边形ABCD中，AB=BC=CD,∠BAD=30°,∠B=168°,∠C=108°。AB1C1D是ABCD关于AD的轴对称图形。求证：BCDC1B1是正五边形。 证：

?B1AD??BAD?30???BAB1?60???AB?BB1??ABB是等边三角形???1AB?AB1???ABB1?60????B1BC??BB1C1?168??60??108?????BCD??B1C1D?108????CDC1??5?2??180??4?108??108????BB1?AB?BC?CD?DC1?B1C1??BCDC1B1是正五边形。17．一个圆的周长是10.8米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每分种分别爬行5.5分米和3.5分米。它们每爬行1分钟、3分钟、5分钟、……（连续奇数）就调头爬行。那么，它们相遇时，已爬行的时间是多少分钟？ 解：两只蚂蚁每分钟共爬行5.5+3.5=9（分米）。

爬行1分钟时，设在上半圆周上共爬行9分米，那么， 爬行3分钟时，则在下半圆周上共爬行9×3-9=18（分米）； 爬行5分钟时，则在上半圆周上共爬行9×5-18=27（分米）； 爬行7分钟时，则在下半圆周上共爬行9×7-27=36（分米）； 爬行9分钟时，则在上半圆周上共爬行9×9-36=45（分米）； 爬行11分钟时，则在下半圆周上共爬行9×11-45=54（分米）。

因为圆周长是108分米，半圆周长是54分米，所以经过1+3+5+7+9+11=36（分钟）时两只蚂蚁相遇。

18．如图，三角形ABC面积是1，E是AC的中点，D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F。求四边形DCEF的面积。 解：连接ED。

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111121 由题意：S?ABD?S?ABC?，S?ADE?S?ADC??S?ABC??S?DEC。

332233设A、D两点到BE的垂线的垂线长分别为h1,h2，则 h1?h2h?h2?BF,S?ADE`?1?EF。 22 ∴BF:FE?S?ABD:S?ADE?1:1，

S?ABD?S?DEF?1111， S?BDE??S?BEC?22312115。 ??12312 S四边形DCEF?19．甲、乙、丙三个学生分别戴着三种不同颜色的帽子，穿着三种不同颜色的衣服去参加学校举办的运动会。已知：（1）帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝三种；（2）甲没有戴红帽子，乙没有戴黄帽子；（3）戴红帽子的学生没有穿蓝衣服；（4）戴黄帽子的学生穿着红衣服；（5）乙没有穿黄衣服。试问：甲、乙、丙三人各戴什么颜色的帽子，穿什么颜色的衣服？

解：列表分析如下：

帽子 衣服 √ 红 黄 蓝 红 黄 蓝 甲 × √ 丙 √ 乙 × × √ × × √ × √ × （1）由条件（2），左侧（红，甲）是×，右侧（黄，乙）是×。 （2）由条件（5），右侧（黄，乙）是×。 （3）若乙戴红帽子，由（3），则乙没穿蓝衣服，从而乙穿的是红衣服，也就是说乙戴红帽子、穿红衣服，这与（4）矛盾。所以，乙戴蓝帽子；进而丙戴红帽子，甲戴黄帽子。 （4）由条件（3），右侧（蓝，丙）是×，由（4）右侧（红，甲）是√，进而，右侧（红，乙）、（红，丙）是×，所以，右侧（蓝，乙）、（黄，丙）是√。

因此，甲戴黄帽子、穿红衣服，乙戴蓝帽子、穿蓝衣服，丙戴红帽子、穿黄衣服。 20．有很多1×2的长方形纸片，将它们不重叠、不留缝隙地像图1那样摆放在2×3的长方形上，有3种摆放方法。如果把它们放在由边长为1的16个正方形组成的图2上，有多少种摆放方法？

解：将图2沿AB分为两个部分，如图3；或将图2分为不沿AB分割的三个部分，如图4。

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