姜启源数学建模3.2消费者的选择

姜启源数学建模3.2消费者的选择

题目：基于NOTEBOOK的消费者的选择的建模与分析

一、问题思维视图：

1.系统要素:商品的价格、购买商品的数量、消费者的支出、商品的效用值（消费者的满意度） 2．要素关联：

i.消费者的支出=

*购买商品的数量 ii.购买商品的数量

32种商品时，每种商品各买

多少可使商品的效用值最大？

二、数学刻画： 1． 效用函数

当消费者购得数量分别为x1, x2的甲乙两种商品时，得到的效用可用函数u (x1, x2)度量，称为效用函数

利用等高线概念在x1, x2平面上画出函数u 的等值线, u (x1, x2)=c 称为等效用线——一族单调减、下凸、互不相交的曲线.

等效用线就是“ 实物交换模型”中的无差别曲线，效用就是那里的满意度

syms x y1 y2 y3 y1=1./x; y2=3./x;

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y3=6./x;

ezplot('1./x',[0,10]) hold on

ezplot('2./x',[0,10]) hold on

ezplot('3./x',[0,10])

效用最大化模型

购得甲乙两种商品数量分别为x1, x2，甲乙两种商品的单价分别为p1, p2, y是消费者准备付出的钱，在条件 p1 *x1+p2 *x2 =y 下使效用函数u(x1, x2)最大.

u(x1, x2) = c 单调减、下凸、互不相交，

AB必与一条等效用线相切于Q点 (消费点)。Q (x1, x2) 唯一.

syms x y1 y2 y3 y4 y1=1./x; y2=2./x; y3=3./x;

y4=(-1/3)*x-2

ezplot('1./x',[0,10]) hold on

ezplot('2./x',[0,10]) hold on

ezplot('3./x',[0,10]) hold on

ezplot('-0.5*x+2',[0,10])

y4 =

- x/3 - 2

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三、模型推演

max u(x1, x2) p1 *x1+p2* x2 =y

引入拉格朗日乘子构造函数

L(x1,x2, ) u(x1,x2) (y p1x1 p2x2)

L L

0, 0 x1 x2

dx2 u u

/

推出等效用线u (x1, x2)=c的斜率 dx1 x1 x2

消费线AB的斜率 p1/p2 u, u

边际效用 x1 x2

当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大 等效用线u (x`1, x2)=c 所确定的函数 x2(x1)单调减、下凸. u 0, u 0, 2u 0, 2u 0, 2u 0

22

x2 x1 x2 x1 x2 x1

四、超参数

效用函数u(x

,x)几种常用的形式

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购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比, 比例系数是参数α与β之比的平方根.

u(x1,x2)中参数 , 分别度量甲乙两种商品对消费者的效用，或者消费者对甲乙两种商品的偏爱 . 2.u x x ,0 , 112

购买两种商品费用之比只取决于λ,μ, 与价格无关.

. 实际应用时根据对最优解的分析，决定采用哪种效用函数，并由经验数据确定其参数 五、超模型

例1、征销售税还是收入税

利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论 (p1 p0)x1 p2x2 y

征税前设甲乙两种商品的单价为p1, p2，消费者准备花的钱为y, 等效用线为u (x1, x2)=c，消费点为Q(x1, x2) . 1、 征税前的消费点Q

设税率为p0 ，商品价格被迫增加为p1+p0 原来的条件变为（p1+p0）x1+x2=y

对甲商品征销售税, 税率为p0消费线AB1, B1在B的左边 AB1与l1相切于Q1(x1*, x2*) 政府得到的销售税额 p0x1* 2、 若改为征 收入税

原来的条件变为p1 x1+p2x2=y - p0x1 征收的税额与销售税额 p0x1*相同

消费线A2B2与l2相切于Q2, 可证B2在B1的右边.

syms x y1 y2 y3 y4 y5 y6 y1=1./x; y2=3./x; y3=6./x;

y4=(-1/6)*x+2 y5=(-1/3)*x+2 y6=-x+2

ezplot('1./x',[0,10])

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hold on

ezplot('3./x',[0,10]) hold on

ezplot('6./x',[0,10]) hold on

ezplot('(-1/6)*x+2',[0,10]) hold on

ezplot('(-1/3)*x+2',[0,10]) hold on

ezplot('-x+2',[0,10]) axis([0,10,0,10])

y4 = 2 - x/6 y5 = 2 - x/3 y6 =

结论：如果l2在l1上方，Q2的效用函数值将大于Q1, 对消费者来说征收入税比征销售税好 六．评注

总而言之，该模型现实意义很大，它在比较两种商品时非常有用，而且可以拓展到两种不同的选择上，例如征收收入税还是消费税，价格补贴给生产者还是消费者，等两类比较的案例。但是它不适用于同类产品，或者产品种类比较多的案例。

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消 费 者 的 选 择

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姓名：徐文龙 学号：12012241683 学院：数学计算机学院 班级：应数一班

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