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大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x) cosx(x sinx),则在x 0处有(
).
（A）f (0) 2 （B）f (0) 1（C）f (0) 0 （D）f(x)不可导.
2. 设 (x) 1 x
1 x， (x) 3 3x，则当x 1时（ ）
.
（A） (x)与 (x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） (x)与 (x)
是等价无穷小；
（C） (x)是比 (x)高阶的无穷小； （D） (x)是比 (x)高阶的无穷小.
3. 若
F(x) x
(2t x)f(t)dt
，其中f(x)在区间上( 1,1)二阶可导且
f (x) 0，则（ ）.
（A）函数F(x)必在x 0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x 0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y F(x)的拐点； （D）函数F(x)在x 0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y F(x)的拐点。
1
4.
设f(x)是连续函数，且 f(x) x 2 0
f(t)dt , 则f(x) (
x2x2
（A）2 （B）2 2
（C）x 1 （D）x 2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 2
5. limsinx
x 0
(1 3x)
.
6. 已知
cosx
x
是f(x)的一个原函数,则 f(x)
cosx
x
dx
2 7.
nlim
n
(cos2
n
cos2
n
cos2
n 1
n ) 12
x2arcsinx 1
－
11 x
2
dx
8. 2
.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数y y(x)由方程
ex y
sin(xy) 1确定，求y (x)以及y (0). 1 x7
求10. x(1 x7
)dx.
)
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x
1 xe， x 0
设f(x) 求 f(x)dx．
32
2x x，0 x 111.
1
012. 设函数f(x)连续，，且x 0
g (x)并讨论g (x)在x 0处的连续性.
g(x) f(xt)dt
lim
f(x)
Ax，A为常数. 求
13. 求微分方程xy 2y xlnx满足
y(1)
1
9的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线y y(x)(x 0)，过点(0,1)，且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线y lnx的切线，该切线与曲线y lnx及x 轴围
成平面图形D.
(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数f(x)在 0,1 上连续且单调递减，证明对任意的q [0,1]，
q
1
f(x)dx q f(x)dx
.
17. 设函数f(x)在 0, 上连续，且0
x
f(x)dx 0
，0
f(x)cosxdx 0
.
证明：在 0, 内至少存在两个不同的点 1, 2，使f( 1) f( 2) 0.（提
F(x)
示：设
f(x)dx
）
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解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1cosx2
() c6
e35. . 6.2x.7. 2. 8..
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
x y
)coxys(xy)(y ) e(1 y
ex y ycos(xy)
y (x) x y
e xcos(xy)
x 0,y 0，y (0) 1
7
7x6dx du 10. 解：u x
1(1 u)112
原式 ( )du
7u(1 u)7uu 1 1
(ln|u| 2ln|u 1|) c7 12
ln|x7| ln|1 x7| C77
11.
解： 3
1
f(x)dx xedx
3 x
x
xd( e)
3
0 2
x x2
xe e cos d (令x 1 sin ) 3
4
12. 解：由f(0) 0，知g(0) 0。
x
1
xt u
2e3 1
g(x) f(xt)dt
x
f(u)du
x
(x 0)
g (x)
xf(x) f(u)du
x
x0
2
(x 0)
g (0) lim
x 0
f(u)du
x2
lim
x 0
f(x)A
2x2
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x
limg (x) lim
x 0
x 0
xf(x) f(u)du
x
02
A
AA
22，g (x)在x 0处连续。
dy2
y lnxdxx13. 解：
xdx(e xdxlnxdx C)y e 11
xlnx x Cx 2
9 3
111
y(1) C, 0y xlnx x
39 9 ，
四、 解答题（本大题10分）
22
14. 解：由已知且 ，
将此方程关于x求导得y 2y y
2
特征方程：r r 2 0
y 2 ydx y
x
解出特征根：r1 1,r2 2.
其通解为
y C1e x C2e2x
代入初始条件y(0) y (0) 1，得
21y e x e2x
33故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
C1
21,C2 33
1
y lnx0 (x x0)
(x,lnx)x0，015. 解：（1）根据题意，先设切点为0切线方程：
1y x
e 由于切线过原点，解出x0 e，从而切线方程为：
1
则平面图形面积
A (ey ey)dy
1
e 12
V1
1
e23
（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则
曲线y lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2
1
V2 (e ey)2dy
6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q
1
q
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