第一章 直角三角形 直角三角形的性质与判定I（一） 1
初中 八 年级 数学 学科 主备人： 2014 年 月
课题 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第1课时，为本学期总第1课时 知识与技能：1、体验直角三角形应用的广泛性，理解直角三角形的定义，进一步认识直角三角形；2、学会用符号和字母表示直角三角形；3、经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质；4、会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形;5、理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半。 过程与方法：通过动手，猜想发现直角三角形的性质，引导逆向思维，探索性质的推导方法——同一法。 情感态度与价值观：体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。 直角三角形性质和判定的探索及运用 直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程 课型 教学过程： 个案修改 一 、创设情境，导入新课 1、什么叫直角三角形？ 从定义可以知道直角三角形具有一个角是直角的性质，要判断一个三角形是直角三角形需要判断这个三角形中有一个角是直角。直角三角形除了有一个角是直角这条性质外还有没有别的性质呢？判断一个三角形是直角三角形除了判断一个角是直角还有没有别的方法呢？这节A课我们来探究这些问题。 二 、合作交流，探究新知 1、直角三角形两锐角互余 B动脑筋：如图，在Rt△ABC中，两锐角的和 C∠A+∠B=______.为什么？ 直角三角形两锐角互余 试试看：(1) 如图：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，A则∠BCD=_____. A A[来源:Zxxk.Com] Ej DH BBCC CD (2 )在△ABC中，∠B=50°高AD、CE交于H，则∠AHC=____ 2、利用两锐角互余判断三角形是直角三角形。
教学目标 重点 难点 教学方法 教具 B2
动脑筋：如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直AB角三角形吗？为什么？ 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 H试试看：如图，AB∥CD，∠A和∠C的平分线 相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？ 为什么？ CD]3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的探索过程 （1）按要求作图:画一个直角三角形，并作出 A斜边上的中线， （2）量一量各线段的长度。 D（3）猜想：你能猜想出什么结论？ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （4）寻找理论依据： BCA 、你能用符号表示上面问题中的条件和结论吗？ 已知：Rt△ABC中，∠C=90°，CD是中线，问：CD=B 、分析：直接证明很困难，不妨假设CD=1AB吗？: 21AB,那么，∠A=∠ACD,因2此，考虑作射线CD'，使∠A=∠ACD'，看看CD'有什么特点？ 引导学生得出CD'=AD'=BD' =1AB, 2C、比较CD和CD'的位置有什么关系？为什么？ CD和CD都是Rt△ABC斜边上的中线， D．直角三角形斜边上有几条中线？由此你想到什么？ CD和CD重合。因此CD=''1AB, 2(5)归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4 变式训练 例1 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？（交流讨论） 归纳：若三角形一条边上的中线等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。 A三、课堂练习，巩固提高 1、只给你一个圆规和一把直尺，你能画出一个直角三角形吗？ BCO2、教材P4 练习 1、2 四、反思小结，拓展提高 今天我们学习哪些内容？ （1）直角三角形的性质：①两锐角互余，②斜边上的中线等于斜边的一半。 （2）直角三角形的判定方法：
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1、有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2、两个锐角互余的三角形是直角三角形 3、一条边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。 五、作业 教材P7 A组 1、2 题
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课题 直角三角形的性质与判定I（二） 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第2课时，为本学期总第2课时 教学目标 知识与技能：1、进一步掌握直角三角形的性质----直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；2、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题。 过程与方法：经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的发现过程。掌握直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。会运用直角三角形的性质进行简单的推理和计算。 情感态度与价值观：体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。 直角三角形性质：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 直角三角形性质的应用 课型 教学过程： 个案修改 BM 一、创设情境，导入新课 PD1、直角三角形有哪些性质？ O(1)两锐角互余； KCA（2）斜边上的中线等于斜边的一半。 2 按要求画图： （1）画∠MON，使∠MON=30°，(2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，量一量PO,PK的长度，PO,PK有什么关系(3)在OM上再取点Q,R，分别过Q,R作ON的垂线QD,RE,垂足分别为D,E，量一量QD，OQ，它们有什么关系？量一量RE,OR，它们有什么关系？ 由此你发现了什么规律？ 直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题. 二 合作交流，探究新知 1、探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角
重点 难点 教学方法 教具 4
1AB 2BD边为什么等于斜边的一半。 如图，Rr△ABC中，∠A=30°，BC为什么会等于分析：要判断BC=1 AB,可以考虑取AB的中点， 21如果如果BD=BC，那么BC=AB，由于∠A=30°, 2CA所以∠B=60°,如果BD=BC,则△BDC一定是等边 三角形，所以考虑判断△BDC是等边三角形，你会判断吗？（由学生完成） 归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？ （让学生交流，得出把△ABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质证明） 2、上面定理的逆定理[来源:Zxxk.Com] 上面问题中，把条件“∠A=30°”与结论“BC=1AB”交换，结论还成2立吗？（学生交流）方法： （1）取AB的中点，连接CD，判断△BCD是等边三角形，得出∠B=60°,从而∠A=30°（2）沿着AC翻折，利用等边三角形性质得出。（3）你能把上面问题用文字语言表达吗？ 归纳：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形A是直角三角形 E三、应用迁移，巩固提高 1、几何中的运用 CBD例1 在△ABC中，△C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为______ 例2 如图在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD⊥AC于点A，BD=3，A则BC=______. 2、实际应用 CD例3在A岛周围20海里水域有暗礁， B一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与北轮船相距303海里，该轮船如果不改变 A航向，有触礁的危险吗？ 四、课堂练习 ，巩固提高 O P6练习 1、2[来源:学科网ZXXK] DB 东五、反思小结，拓展提高 直角三角形有哪些性质？怎样判断一个三角形是直角三角形？ 六、作业： 教材P7 A组 3、4、5
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课题 直角三角形的性质与判定II（一） 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第3课时，为本学期总第3课时 知识与技能：1、让学生体验勾股定理的探索过程；2、掌握勾股定理；3、学会用勾股定理解决简单的几何问题． 过程与方法：经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，来了解勾股定理 情感态度与价值观：了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信。 勾股定理 勾股定理的证明 课型 教学过程： 个案修改 一、创设情境，导入新课 向学生展示国际数学大会（ICM--2002）的会标图徽，并简要介绍 其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣。可以首次提出勾股定理。 二、做一做 通过学生主动合作学习来发现勾股定理。 （1）、让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm，并根据测量结果，完成下列表格： a 3 6 5 b 4 8 12 c 教具 教学目标 重点 难点 教学方法 a2?b2 c2 三、议一议 1、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在图象交流的基础上，老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的勾股定理。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么a?b?c。我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。 2、分别以9cm 和12cm为直角边长作一个直角三角形，并测量斜边长度，请同学们两人一组讨论，三边关系符合勾股定理吗？ 四、想一想 已知直角三角形ABC的两条直角边分别为a,b，斜边长为c，画一个边长为c的正方形，将4个这样的直角三角形纸片按下图放置。教师
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提出3个问题： （1）中间小正方形的边长和面积分别为多少？（用 a,b 表示） （2）大正方形的面积可以看成哪几个图形面积相加得到？ （3）据（2）可以写出怎样一个关系式？ 化简后便验证了勾股定理。可以启发学生其他的验证方法。 c 五、用一用 b 通过例题的讲练使学生体验勾股定理应 a 用的普遍性和广泛性。 练习1、已知△ABC中，∠C=90°，AB=c, BC=a, AC=b,（1）如果a?1,b?2,求c； （2）如果a?15,c?17,求b； A 让学生独立完成这个基本训练， 但教师应强调解题过程的规范表述。 例1、如图、在等腰三角形ABC中，已知 AB=AC=13cm，AD┴BC于点D。你能算出 BC边上的高AD的长吗？ 解：略 B D C 练习：教材P11 练习题 全课小结： 1、勾股定理 2、至少了解一种勾股定理的验证方法；除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理。 作业： 教材 P8 B组 6、7、8题 P16 A组 1题
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课题 直角三角形的性质与判定II（二） 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第4课时，为本学期总第4课时 知识与技能：1、勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形由更深刻的认识和理解。 2、掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理。 过程与方法：1、放手学生从多角度地了解勾股定理； 2、提供学生亲自动手的能力。 情感态度与价值观：1、学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值；2、尽可能的给学生提供展示他们查阅有关勾股定理，进行交流的机会，并与在他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验。 应用勾股定理有关知识解决有关问题 教学目标 重点
灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题 课型 教具 7
难点 教学方法 教学过程： 一、课前复习 1、勾股定理的内容是什么？ 问：是这样的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。 今天我们来看看这个定理的应用。 二、新课过程 分析： 个案修改 大家分组合作探究： 解：在RtΔABC中，由题意有： AC＝＝≈2.236 ∵AC大于木板的宽 ∴薄木板能从门框通过。 学生进行练习： 1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b， ∠B=90゜. ①已知a=5，b=12，求c； ②已知a=20，c=29，求b 222（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a+b＝c，要根据本质来看问题） 2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？ 解：①当6cm和8cm分别为两直角边时； 斜边＝＝10 ∴周长为：6+8+10＝24cm ②当6cm为一直角边，8cm是斜边时， 另一直角边＝
＝2 周长为：6+8+2＝14+2 8
解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中 ∴AO＝＝2.4（米） 又∵下滑了0.4米 ∴OC＝2.0米 在RtΔODC中 ∴OD＝=1.5（米） ∴外移BD＝0.8米 答：梯足将外移0.8米。 例3 再来看一道古代名题： 这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题： （译文）现在有一个贮满水的正方形池子， 池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺， 芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能 达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求水深 与芦苇的长各有多少尺？ 解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。 设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺 由勾股定理有： x2+52＝（x+1）2 解之得：x＝12 答：水深12尺，芦苇长13尺。 例4 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 解：由题意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。 在RtΔABC中 AB＝＝13 答：小鸟至少要飞13米。 练习：教材P13 练习 1、2 三、全课小结： 应用勾股定理解决实际问题的思路：
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（1） 深刻理解题意 （2） 画出简图 （3） 将图画转化为直角三角形，并利用勾股定理进行计算。 四、作业： 完成书上 P16页3、4题 P17页5题 初中 八 年级 数学 学科 主备人： 2014 年 月
课题 直角三角形的性质与判定II（三） 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第5课时，为本学期总第5课时 知识与技能：1、探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理 ；2、会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形 ；3、通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，?培养学生数形结合的思想. 过程与方法：通过“创设情境---实验验证----理论释意---应用”的 探索过程，让学生感受知识的乐趣 情感态度与价值观：1、通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受；2、通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神. 理解和应用直角三角形的判定方法 理解勾股定理的逆定理 以学生为主体的合作探究法 课型 教学过程： 个案修改 一、创设情境，导入课题 1、创设情景：（师展示幻灯片介绍，生 观看并思考） 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处. 教师：你想知道这是什么道理吗? 2、回忆：（师设问，生思考并回答）直角三角形有哪些性质？（从边、角考虑）（1）有一个角是直角；（2）两个锐角的和为90°(互余 )；（3）两直角边的平方和等于斜边的平方. 3想一想：一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形(3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足 a
2教学目标 重点 难点 教学方法 教具 三角板、多媒体、制作教具等 ?b2?c2那么这10
个三角形是直角三角形吗？ 二、动手实践，发现新知 （一）探究活动一：（师观察学生的活动情况并鼓励有困难的学生，生合作探究并观察猜想） 1、拼三角形：从长度分别为3cm、4 cm、5 cm、6cm、8cm、10cm的小塑料棒中选出三根（1）3 4 5；（2）4 6 8 （3）6 8 10拼出三个三角形. 2、按要求填表： 三边的长 较短边a 较短边b 最长边c 三边的关系（计算） 两最条长较边短的的平边方 的平方和 三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方的关系（ “≠”或“=”） 三角形的形状 直角三哪边对直角（填角形（填a或b或c） “是”或“不是”） 3 4 5 4 6 8 6 8 10 3、按你拼图得到的猜想填空： （1）三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 边所对的角是直角。 （2）如果三角形的三边长为a、b、c有关系： ，那么这个三角形是直角三角形。 二、得出结论：（请学生口述 师完善并板书） 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（板书） （一）议一议：（1）三条线段a ,b ,c 满足 a2+b2=c2，则这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？（2）如果一个三角形中较短两条边的平方和不等于最长边的平方，则这个三角形可能是直角三角形吗？ 三、范例学习：（师分析并强调用勾股逆定理判定直角三角形的关键，书写过程。生完成（2）（3）题，一人到黑板上板演） 例1、 设三角形三边长分别为下列各组数．试判断各三角形是否是直角三角形．(1)a=7，b=25，c=24; (2)a=6，b=8，c=10；（3）a=13，b=11，c=9。 思路点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是否是直角三角形的步骤：①找出最长边；②看两条较短的边的平方和是否等于最长的边的平方。如果相等，则是，最长边对直角；如果不相等，则不是。 解：（1）最大边为25 ∵a2+c2=72+242=49+576 =625
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b2=252 =625 ∴a2+c2= b 2 ∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形。（2）、（3）学生板演 例2、如图在?ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求DC的长。 A 四、学以致用 B D C 练习1 、下面以a、b、c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a=12 b=16 c=20 (2) a=10 b=9 c=5 (3) a=8 b=12 c=15 练习2、若△ABC的两边长为3和5,则能使 △ABC是直角三角形的第三边的平方是 ( ) A、16 B、34 C、4 D、16或34 练习3、三角形的两边为3和5，要使它成为直角三角形，则第三边长为 。 练习4、满足下列条件△ABC，不是直角三角形的是（ ） A、b2 = a2－c2 B、a∶b∶c=3∶4∶5 C、∠C=∠A－∠B D、∠A∶∠B ∶∠C =3∶4∶5 五、原来如此 古埃及人没有先进的测量工具，据说当时他们采用“三四五放线法”-- 归方。“ 归方”---做直角。他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处. 他们能得到直角三角形吗？ A 解：如图，设每两个结的距离为x（x>0）， 则AC=3x，BC=4x，AB=5x AC2 +BC2 =(3x) 2 +(4x) 2 =25x2 AB2=(5x) 2 ( 25x2 AC2+BC2 =AB2 ∴△ABC是 直角三角形 C 六、小结： 直角三角形的判定方法： 1、定义（角）：有一个角是90°的三角形是直角三角形。 2、勾股定理的逆定理（边）：如果三角形的三边长a、b、c（c为最大边）满足a2+b2=c2 则，这个三角形是直角三角形。 七、作业： 教材16页A 组 第2题与教材18页 B组 第8、9题。
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课题 直角三角形全等的判定 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第6课时，为本学期总第6课时 知识与技能：1、已知斜边和直角边会作直角三角形；2、熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及熟练地利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；3、熟练使用“分析综合法”探求解题思路。 过程与方法：通过探究性学习，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；通过一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。 情感态度与价值观：通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；在探究性学习活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神。 “斜边、直角边公理”的掌握和灵活运用 数学语言的正确表达 投影仪、圆规、三角板、剪刀、纸 个案修改 教师边提问边用符号写出判定三角形全等的依据。 判断（4）可用教师和学生手中的含30?的直角三角板说明它不成立 判断（5）如何用文字来叙述？谁能说得既简捷又清楚？ 教师引导学生动手做实验操作，并巡回辅导 教学目标 重点 难点 教学方法 启发式和讨论式学习 课型 教具 教学过程： （一） 提出问题，创设情景 1．说出判定一般三角形全等的依据，并说出它们的共同点。 2．判断： 如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝Rt∠）是否全等，在（ ）里填写理由；如果不全等，在（ ）里打“3”：（1）AC＝A′C′,∠A＝A′（ ） （2）AC＝A′C′，BC＝B′C（ ） A A（3）AB＝A′B′，∠B＝∠B′（ ） （4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′（ ） B C CB（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′（ ） 3．问题：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ （二）实验操作，探究结论 例1．如图，已知线段a、c（a?c）。画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，一直角边CB＝a，斜边AB＝c。 ca （三）揭示课题，理解公理 1．判定两个直角三角形全等的公理： 斜边、直角边公理 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”） 2．注意：（1）“HL”公理是仅适用于Rt△的特殊方法。因此，判
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断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”外，还可以使用“HL”。（2）应用HL公理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为： 在Rt△______和Rt△______中， 教师讲解：（四）巩固练习，达成目标 “HL”的由来。 1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______。启发提问：依据是______,BD＝______,∠BAD=______. 在使用这个公理 2．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，若要使△ACB≌△BDA，时同学们应注意还需要什么条件？把它们分别写出来。 什么？ C C′ A C D B C A D A D D′ B A′ B B′ （五）发散探究，强化目标 教师出示投影，例：已知如上图，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，并启发学生归纳证且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′。求证：△ABC≌明两个直角三角△A′B′C′ 形全等的方法，变式1：若例题中的∠ACB＝∠A′C′B′改为AB＝A′B′，△ABC掌握正确使用公与△A′B′C′全等吗？请说明思路。 理进行推理的方变式2：若例题中的∠ACB＝∠A′C′B′改为BC＝B′C′，△ABC法。 与△A′B′C′全等吗？请说明思路。 变式3：：请你把例题中的∠ACB＝∠A′C′B′改为另一个适当条件， 使△ABC与△A′B′C′仍能全等。试说明证明思路。 （六）归纳总结，深化目标 1．直角三角形全等的判定方法有四项依据：“SAS”、“ASA”、“AAS”、巡视指导，师生“SSS”“HL”其中，“HL”公理只适用判定直角三角形全等。2．使用互动，启发学生“HL”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角分析探索充分条边对应相等。3．熟练使用“分析综合法”探求解题思路。 件。 （七）检测反馈，回授目标 1．“HL”公理是：有＿＿相等的两个＿三角形全等。 2．在应用“HL”公理时，必须先得出两个＿三角形，然后证明＿＿＿ ＿＿＿＿对应相等。 3．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，则图中全等的三角提问板演，及时A 形对数为（ ） 评价激励，及时（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 弥补 并求证：Rt?BEC≌Rt?CDB. E D 证明过程见教材P20例1。 4、自学教材P20 例2 B 作业： C 教材：P21第1 ~6题
?_______?_______,_______?_______,∴Rt△______≌Rt△______（HL） 14
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课题 角平分线的性质 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第7课时，为本学期总第7课时 知识与技能：让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理 过程与方法：经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 情感态度与价值观：激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力． 领会角的平分线的两个互逆定理 两个互逆定理的实际应用 课型 教学过程： 一、创设情境、引入课题 拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？ 二、互动学习、验证定理 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论？ 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，试问：PD与PE相等吗？ （学生自己证明、归纳） 已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE． A于是我们得角的平分线的性质： 角平分线性质定理： D 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 C提出问题：那么到角的两边距离相等的点 P1是否在角的平分线上呢？ 2BO已知：如图，P是∠AOB内部任意一点， E作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?(提示：运用三角形全等的判定公理的推论来证明) A 通过证明得出OC为∠AOB的角平分线。 即点P在∠AOB的平分线上。 1 于是我们得出了角平分线的判定定理。 B 角平分线判定定理： D 2 角的内部到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上。 C 例1，如图∠BAD=∠BCD=90°,∠1=∠2.求证：(1)点B在∠ADC的平分
教学目标 重点 难点 教学方法 教具 个案修改 我们学习了线段垂直平分线的时候运用对称的知识证明这一性质，我们也可以从三年叫形全等的角度给予证明。 角平分线的性质定理及其逆定理的证明主要涉及三角形全等的证明，对于学生来说比较简单，应放手让学生独立完成。
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线上；(2)BD是∠ABC的平分线。 三、角平分线的性质定理及其逆定理的应用 例2、如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=DC， E求证：BE=CF。 DB（提示：证明线段相等的常见方法有： ① ② CAF③ 而本题只能用： 具体的条件有：① ；② 。 请同学吗结合提示给出证明过程： 四、巩固练习 教材P24 练习 1、2 （补充）1．如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是： 。 A C D BCABED 第1题 第2题 2．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，点P是三角形内桑内角平分线的交点，则点P到AB的距离是： 。 E3．已知：如图点C在∠A的内部，B、D分别 是∠A两边上的点，且AB=AD，CB=CD，PE⊥AB边于 BC点E，PF⊥于点F， A求证：PE=PF。 DFA4．如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF， EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？ EGF证明你的结论。 BC D五、回顾与小结 今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等． 六、布置作业： 课本P26页 A 组 2、3题
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课题 角平分线的性质的应用 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第8课时，为本学期总第8课时 知识与技能：让学生在掌握角平分线的性质的基础上能应用角平分线的两个性质解决一些简单的实际问题。 过程与方法：通过让学生经历动手实践，合作交流，演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。 情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质的探索与形成的过程。发展应用数学知识的意识与能力，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣。 角平分线的性质及其应用 灵活应用两个性质解决问题 探索、归纳， 讲练结合 课型 教具 教学目标 重点 难点 教学方法 教学过程： 个案修改 一、创设情境，引入课题 问题：一个S区有一个贸易市场，在公路与铁路所成角的平分线上 有一点P，要从P点建两条路，一条到公路上，一条到铁路上，怎样修建路景短？这两条有什么关系？画出来看一看。 设计意图：让学生动手画出最短的路线， 可以复习点到直线的距离这一，为探究角 的平分线的性质作铺势，同时也让学生感 受到教学与实际生活是紧密联系的，从而 E C 激发学生学习兴趣，体现从学有价值的数学。 D 二、合作交流，探究新知 动脑筋：如图，已知EF┴CD,EF┴AB,MN┴AC, N M是EF的中点，需添加一个什么条件，就可 M 以使CM,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线？ 可以添加条件MN=ME(或MN=MF) F B 说明略。 A 例1、如图：△ABC的外角平分线AP上有一点P,且PE⊥BE，PD⊥AC，E、D分别为垂足，则EB＋PD＝PB吗？说明理由。 A C B 三、应用迁移、巩固提高 1、如图，你能从?ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？ 三角形的三条角平分线的交点。 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、
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BC、CA的距离相等． 分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，?也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，?根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题． 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F． 因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上． 所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF． 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[来 练习：教材P25 练习 1、2 全课小结： 角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等． 作业： 教材 P26 1、4、5题
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课题 直角三角形全章复习（一） 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第9课时，为本学期总第9课时 知识与技能：1、掌握直角三角形的两个锐角互余关系；2、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；3、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，并会运用勾股定理解决简单问题；4、会判定一个三角形是直角三角形；5、会用HL及其它方法判定两个直角三角形全等；6、了解角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上的性质。 过程与方法：复习梳理本章的主要知识点，及应注意的问题。通过典型例题讲解和对应练习，使学生对本章知识达标。 情感态度与价值观：主动参与、积极探索、合作交流，发挥学习中主人翁意识，感受成功的乐趣，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。 体会勾股定理及其直角三角形的判定在解决实际问题中的作用 如何判定两个直角三角形全等 课型
教学目标 重点 难点 教学方法 教具 18
教学过程： 个案修改 一、知识梳理 1、直角三角形的两个锐角有什么关系？2、直角三角形斜边上的中线与 斜边有什么关系？3、请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理。4、判断两个直角三角形全等的方法有哪些？ 5、角平分线有哪些性质？ 二、解题时应注意的问题 1、“斜边、直角边定理”是判断两个直角三角形全等所独有的，在运用该判断定理时，要注意全等的前提条件是两个直角三角形。2、要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及其逆定理等，它们都是互逆定理。3、勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想。勾股定理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方法来研究几何问题，体现了由数到形。 三、典型例题解析 例1、如图△ABC中AC=3厘米，CB=4厘米AB=5厘米，求AB边上的高CD的长 评注：由边长去判定三角形的形状，属于特殊三角形如直角三角形、等腰三角形或等边三角形，然后利用特殊三角形的性质来解决，关于三角形的面积的公式，可以求面积，也可以求边长和一边上的高线。 A C FE CDBADB 例2、如图在△ABC中D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F且BE=CF，试说明△ABC是等腰三角形 变式：此题中若把D是BC的中点改成AD是∠BAC的角平分线，其他条件不变，以上结论还成立吗？若AD是△ABC的高呢？ 例3、如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，BF=DE，则AB与CDF平行吗？请说明理由。 DE C FA E CB D AB例4、在一棵树的5米高处有两只猴子，其中一只爬下树走到离树15米处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，问这棵树有多高？ DD BB CCAA
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课内练习：1、以下不能构成直角三角形三边长的数据是（） A、13，2 B、3,4,5 C、9，12，15 D、6，7，8 2、下列条件中不能做出唯一直角三角形的是（） A、已知两直角边 B、已知两锐角 C、已知一直角边和一锐角 D、已知斜边和一直角边 3、一直角三角形的斜边长臂直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 。 4、在△ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，AB=13 厘米，BC=10 厘米，求AD的长 5、如右上图，BC长3厘米，AB 长4厘米，AF长12厘米， 求正方形CDEF的面积 作业： 课本 P28⺷29 复习题 1、2、3、4、5、6、7
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课题 直角三角形全章复习（二） 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第10课时，为本学期总第10课时 知识与技能：1．系统了解本章的知识体系及知识内容；2在熟练掌握直角三角形相关概念的基础上，进一步熟悉掌握直角三角形性质与判定的应用；3．在掌握角平分线性质及其逆定理的基础上将知识融汇贯通，进行一些提高训练；4、培养对知识综合掌握、综合运用的能力。 过程与方法：通过典型例题及课本复习题讲解和对应练习，使学生对本章知识达标和提高。 情感态度与价值观：主动参与、积极探索、合作交流，发挥学习中主人翁意识，感受成功的乐趣，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。 勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质和判定、角平分线性质与判定在解决实际问题中的作用 综合掌握、综合运用直角三角形相关知识 课型 练习 教具 教学目标 重点 难点 教学方法
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教学过程： 个案修改 一、典型例题解析 1.在△ABC中若∠A=25°，∠B=65°，此三角形为 三角形 2.直角三角形中，两锐角的平分线相交所成的角的度数是_____________。 3.若∠A：∠B:∠C=2:3:5,则△ABC是_____________三角形 4.已知如左下图，△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,点E为AC的中点，请你写一个正确的结论：________________:学*科*网] AA C E E DB BCD5.如右上图，AC∥BD, ∠A和∠B的平分线的平分线相交于E, 则∠AEB等于多少度？为什么？ 6.如图，已知，AC, BD相交于点O, AC=BD, ∠A=∠D=90°,那么OB=OC吗？为什么？ 7.如图，,DG=EH, DG⊥DE, EH⊥HG, 求证：DE=HG HD F G 6题 E 7题 8.在△ABC中，∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,最短的边长为5，则最长的边长B为______ 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠CBA=60°,BD是△ABC的角平分线， 如果CD=3 ,则AC的长为________ ACDB10、如图，∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AB=2BC, D如果，CD=2,求AC的长。 A C11、小明在轮船上，看见前面岛上有个灯塔，仰角为15°，当轮船向岛的方向行驶5米时，此时小明看灯塔的仰角为30°，求灯塔离海平面A 的高度。 15 ° 30° B D C 二、作业： 教材 P29-30 复习题9、10、11、12
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三、应用迁移、巩固提高 例1、如图在ABCD中，它的两条对角线相交于点O。 （1）如果ABCD是矩形，试问：?OBC是什么样的三角形？ （2）如果?OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么ABCD是矩形吗？ A D O 解：略 B C 已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的点，且 AE = BF = CG = DH。 求证：四边形EFGH是矩形。 A D E H 解：略 F G 课堂巩固： B C 1、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （3） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （√） （4）对角线相等的四边形是矩形； （3） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （3） （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （3） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形； （√） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√) （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√） 2、教材 P63 练习 1、2题 四、全课小结 （1）矩形的判定方法l、2都是有两个条件： ①是平行四边形， ②有一个角是直角或对角线相等． 判定方法3的两个条件是： ①是四边形，②有三个直角． 矩形的判定方法有哪些？ 一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 —是矩形。 有三个角是直角的四边形 （2）要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理． 五、作业 教材：P63 页 A组 2、3题 P64 页 4题 P64 页 B组 6、7题
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课题 菱形的性质 本课（章节）需16课时 ，本节课为第12课时，为本学期总第22课时 知识与技能：1、理解并掌握菱形的定义及性质定理1、2；会用这些定理进行有关的论证和计算；2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力； 3、通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力；4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想。 过程与方法：经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法。 情感态度与价值观：培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审判观、价值观。并在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。 菱形的性质定理 定理的证明方法及运用 直观演示法、观察讨论法 课型 教学过程： 个案修改 一、创设情境、导入新课 1、（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形 之间的关系是什么？ 2、平行四边形的性质： 边：对边平行且相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：互相平分 对称性：中心对称图形 3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？ 4、矩形是从角得到，那么从边通过满足什么条件可以得到什么特殊的四边形呢？ 今天我们一起来研究特殊的平行四边形菱形。 二、合作交流、解读探究 生活中的菱形，菱形在日常生活中也很常见，请你举例。如下图： 我们可以通过折纸、剪纸的方法得到菱形。将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可. 综合课 教具 多媒体 教学目标 重点 难点 教学方法
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菱形定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 强调：前提是什么？满足什么条件？ A D 符号语言：∵在ABCD中，AB=BC ABCD是菱形。 B C ∴观察得到的菱形，猜想菱形有什么性质？ 引导学生操作（折叠：上下对折，左右对折），观察并思考： （1）、菱形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？对称轴在什么位置？（2）四条边有什么关系？（3）对角有什么关系? （4）对角线有什么关系？ 对称性：菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴。 边：菱形的两组对边分别平行。（这是平行四边形具有的性质） 菱形的四条边都相等。（这是菱形特有的性质，如何进行证明呢？） 符号语言： A B ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=DA。 C D 角：菱形的两组对角分别相等。 菱形的邻角互补。（这是平行四边形具有的性质） 对角线：菱形的对角线互相平分、垂直，且每条对角线平分一组对角。 这还只是我们直观折纸得出来的，那么如何证明它们呢？求证：菱形的四条边都相等. 菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角. D 已知：如图，四边形ABCD是菱形， 求证：（1）AB=BC=CD=DA （2）AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB O BD平分∠ADC和∠ABC C A 证明: (1) ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴DA=DC(菱形的定义) 又∵DA=BC AB=CD(平行四边的性质) B ∴ AB=BC=CD=DA (2)在△DAC中 ∵DA=DC(菱形的定义) ∴△DAC是等腰三角形 又∵AO=CO(平行四边的性质) ∴ DB⊥AC ∴DB平分∠ADC(三线合一性) D 同理: DB平分∠ABC AC平分∠DAB和∠DCB 三、应用迁移、巩固提高 （学生先练习，教师后讲） O A C E B
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1、如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（ ） A.四边形ABCD是平行四边形 B.AC⊥BD C.△ABC是等边三角形 D.∠CAB＝∠CAD 2、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______. 3、菱形ABCD中∠ABC＝70°，则∠ACD＝ _____ 。 4、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的11周长和面积。 S菱形ABCD=4S△AOB =4312OA2OB =432AC32BD =12AC2BD 思考：你有什么发现？S菱形ABCD= 12AC2BD 菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半 S菱形ABCD=12AC2BD S菱形ABCD= AB2DE AB2DE= 12AC2BD利用勾股定理先求出边长，再求菱形周长。 练习2：教材P 67 页 练习 1、2题 四、全课小结： 1、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、菱形的性质 ： ①菱形的四条边都相等，对边互相平行 ②菱形的对角相等,邻角互补 ③菱形对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角 ④菱形面积等于它的两条对角线乘积的一半. 3、四边形与特殊四边形的关系： 矩形 四边形平行四边形 四边形 菱形 五、作业： 教材：P70 A组 1、2、3题 板书设计： 19．2．2菱形（1） （一）、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 （二）、菱形的性质： （1）、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴； （2）、菱形的四条边都相等； （3）、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）、菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半
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已知如图，四边形ABCD是菱形， 求证：（1）AB=BC=CD=DA （2）AC⊥BD， AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC 证明: ?? S菱形ABCD=4S△AOB = ??
初中 八 年级 数学 学科 主备人： 2014 年 月 课题 菱形的判定 本课（章节）需16课时 ，本节课为第13课时，为本学期总第23课时 知识与技能：1、经历利用菱形的定义探究菱形其他判定方法的过 程，培养学生的动手实验、观察、推理意识，发展学生的形象思维 和逻辑推理能力；2、根据菱形的判定定理进行简单的证明，培养 学生的逻辑推理能力和演绎能力。 过程与方法：尝试从不同角度寻求菱形的判定方法，并能有效的解 决问题，尝试评价不同判定方法之间的差异，通过对菱形判定过程 的反思，获得灵活判定四边形是菱形的经验。 情感态度与价值观：在探究菱形的判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的判定和性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 菱形判定方法的探究 菱形判定方法的探究及灵活运用 模仿-猜想-论证-运用 课型 教学过程： 一、知识回顾 个案修改 教具 多媒体 教学目标 重点 难点 教学方法
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