二次三项式分解因式——十字相乘法提高教案教师版

他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航

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科目 数学 时间 学生

二次三项式分解因式——十字相乘法提高教案 一、重要知识点 【知识精读】 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 x2?(a?b)x?ab??x?a??x?b?进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项ax?bx?c（a、b、c都是整数，且a?0）来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足2a1a2?a，c1c2?c，并且a1c2?a2c1?b，那么二次三项式ax2?bx?c即a1a2x2??a1c2?a2c1?x?c1c2可以分解为?a1x?c1??a2x?c2?。这里要确定四个常数a1，c1，a2，c2，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

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他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 二、课堂练习 【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例1. 已知：x?11x?24?0，求x的取值范围。 分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解：?x?11x?24?0

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22 他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 ??x?3??x?8??0 ???x?3?0?x?3?0 或??x?8?0?x?8?0?x?8或x?3 例2. 如果x?x?mx?2mx?2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。 分析：应当把x分成x?x，而对于常数项-2，可能分解成??1??2，或者分解成??2??1，由此分为两种422432情况进行讨论。 解：（1）设原式分解为x?ax?1x?bx?2，其中a、b为整数，去括号，得： x??a?b?x?x??2a?b?x?2 432?2??2? 将它与原式的各项系数进行对比，得： a?b??1，m?1，2a?b??2m 解得：a??1，b?0，m?1 此时，原式?x?2x?x?1 （2）设原式分解为x?cx?2x?dx?1，其中c、d为整数，去括号，得： x??c?d?x?x??c?2d?x?2 432?2??22????2? 将它与原式的各项系数进行对比，得： c?d??1，m??1，c?2d??2m 解得：c?0，d??1，m??1 此时，原式?x?2x?x?1 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足 ?2??2?x?y?x2?2xy?y2?2?0，求长方形的面积。 分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解：?x?y?x?2xy?y?2?0 22??x2?2xy?y2???x?y??2?0 ?(x?y)??x?y??2?02 ??x?y?2??x?y?1??0

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他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 ?x?y?2?0或x?y?1?0 又?x?y?8 ???x?y?2?0?x?y?1?0 或?x?y?8x?y?8??.?x?5?x?35 解得：?或? y?3y?4.5?? ∴长方形的面积为15cm2或 3、在代数证明题中的应用 例. 证明：若4x?y是7的倍数，其中x，y都是整数，则8x?10xy?3y是49的倍数。 分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一：8x?10xy?3y??2x?3y??4x?y? 22632cm 422 2?2x?3y??4x?6y?4x?y?7y ∵4x?y是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） ∴2?2x?3y?是7的倍数 而2与7互质，因此，2x?3y是7的倍数，所以8x?10xy?3y是49的倍数。 证明二：∵4x?y是7的倍数，设4x?y?7m（m是整数） 则y?4x?7m 又∵8x?10xy?3y??2x?3y??4x?y? 2222 ??2x?12x?21m??4x?4x?7m??7m?14x?21m??49m?2x?3m? ∵x，m是整数，∴m?2x?3m?也是整数 所以，8x?10xy?3y是49的倍数。 4、中考点拨 例1.把4xy?5xy?9y分解因式的结果是________________。 解：4xy?5xy?9y 422224222222?y2?4x4?5x2?9? ?y4x?9x?12?y2??x2??2? 2?1??2x?3??2x?3? 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。

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他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 例2. 因式分解：6x?7x?5?_______________ 解：6x?7x?5??2x?1??3x?5? 22 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。 5、题型展示 例1. 若x?y?mx?5y?6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A. 1 222B. -1 2 C. ?1 D. 2 解：x?y?mx?5y?6??x?y??x?y??mx?5y?6 -6可分解成??2??3或??3??2，因此，存在两种情况： （1）x+y -2 （2）x+y -3 x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m?1，由（1）可得：m??1 故选择C。 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。 例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足?a?c??4?b?a??c?b?。 求证：a?b?b?c 证明：??a?c??4?b?a??c?b? 22??a?c??4?b?a??c?b??0?a2?2ac?c2?4bc?4ac?4ab?4b2?02?a?c?4ba?c?4b?0???? 22 ??a?c?2b??0?a?c?2b?0?a?b?b?c 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。 例3. 若x?5x?7x?a有一因式x?1。求a，并将原式因式分解。 解：?x?5x?7x?a有一因式x?1 ∴当x?1?0，即x??1时，x?5x?7x?a?0 ?a?3

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他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 x3?5x2?7x?3?x3?x2?4x2?4x?3x?3 ?x2?x?1??4x?x?1??3?x?1???x?1??x?4x?3?2 ??x?1??x?1??x?3???x?1??x?3? 说明：由条件知，x??1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是x?1，分解时尽量出现x?1，从而分解彻底。 【实战模拟】 1. 分解因式： （1）ab?16ab?39 （2）15x （3）x?3x 2. 在多项式x?1，x?2，x?3，x?2x?3，x?2x?1，x?2x?3，哪些是多项式2222222n?7xnyn?1?4y2n?2 ?2?2?22?x2?3x??72 ?x2?2x??10?x2?2x??9的因式？ 42 3. 已知多项式2x?x?13x?k有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。 4. 分解因式：3x?5xy?2y?x?9y?4

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2232 他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 5. 已知：x?y?0.5，x?3y?12.，求3x?12xy?9y的值。 22【试题答案】 1. （1）解：原式??ab??16ab?39??ab?3??ab?13? （2）解：原式?3x?y2?nn?1??5x??n?4yn?1? （3）解：原式?x?3x?4x?3x?18??x?4??x?1??x?6??x?3? 22?? 2. 解：?x?2x?2?4?10?x2?2x??9 22??x2?2x??9?x2?2x??12???2?2 ?x?2x?3x?2x?3x?2x?1x?2x?1 222???x2???????2x?3??x?3??x?1??x?1??x?2x?1?222? ∴其中x?1，x?3，x?2x?3，x?2x?1是多项式 ?x2?2x??10?x2?2x??9的因式。 42 说明：先正确分解，再判断。 3. 解：设2x?x?13x?k??2x?1?x?ax?b 322?? 则2x?x?13x?k?2x??2a?1?x??a?2b?x?b 3232?2a?1??1? ??a?2b??13 ?b?k??a??1? 解得：?b??6 ?k??6? ?k??6且2x?x?13x?6??2x?1?x?x?6??2x?1??x?3??x?2? 322?? 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4. 解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设3x?5xy?2y?x?9y?4

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22 他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航 ??3x?y?m??x?2y?n??3x?5xy?2y??m?3n?x??2m?n?y?mn22 ?m?3n?1? 比较同类项系数，得：?2m?n?9 ?mn??4? 解得：?2?m?4 ?n??12 ?3x?5xy?2y?x?9y?4??3x?y?4??x?2y?1? 5. 解：3x?12xy?9y 22?3?x2?4xy?3y2??3?x?y??x?3y? ?x?y?0.5，x?3y?12.?原式?3?0.5?12.?18. 说明：用因式分解可简化计算。

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