2018届浙江省基于高考试题的复习资料 ——古典概型

基于高考试题的复习资料 精准把握高考方向

九、计数原理与古典概率

(三）古典概率

一、高考考什么？

[考试说明]

4．了解事件、互斥事件、对立事件及独立事件的概念。 5． 了解概率和频率的概念。

6． 了解古典概型，会计算古典概型中事件的概率。

7．了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解两点分布，了解独立重复试

验的模型及二项分布。

8．了解离散型随机变量均值、方差的概念。

[知识梳理] （一） 古典概型

１．随机事件A的概率：0?P(A)?1，其中当P(A)?1时称为必然事件；当P(A)?0时

称为不可能事件； 2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)=

m。理解这里m、ｎ的意义。 n3．互斥事件：A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4．对立事件：A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。

计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P(A)=1－P(A)；

（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，

2，…）的概率为P(??xi)?pi，则称表为随机变量ξ的分布列 的概率分布，简称ξ

ξ … … 2．分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0?P(A)?1。由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

（1）P,2,); i?0(i?1（2）P1?P2?即

P x1 P1 x2 P2 … xi Pi … ?1.

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和，

P(??xk)?P(??xk)?P(??xk?1)???? 3.数学期望：E??x1P1?x2P2?4.方差：

?xnPn?

数学期望的性质：E(a??b)?aE(?)?b.

22D???x1?E???p1??x2?E???p2?5.标准差：??=D?.

6.方差的性质：D?a??b??aD?；

2??xn?E???pn?2

1

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7．二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试

验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kkn?k（k＝0,1,2,…，n，q?1?p）． Pn(??k)?Cnpq，

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ 0 1 … k … n

11n?1kkn?knn000n pq … Cnpq … Cnpq pq CnP Cn

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)， 且E??np；D??np(1?p).

8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是： ξ 0 1 p 1?p P

像上面这样的分布列称为两点分布列．

[全面解读]

古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。

[难度系数]★★☆☆☆

二、高考怎么考？

[原题解析] [2006年]

（15）随机变量?的分布列如下：

? P ?1 0 b 1 a c 其中a，b，c成等差数列，若E?? [2011]

1，则D?的值是 ． 3（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。若将其随机地并排摆

放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ） A．

421 B． C． D． 5 5552，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是3（15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业

生得到甲公司面试的概率为

2

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否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若P(X?0)?则随机变量X的数学期望E(X)?

1，12[2015]（04）（2）设袋中共有7个球，其中4个红球，3个白球. 从袋中随机取出3个球，

求取出的白球比红球多的概率.

[2016]（04）（2）设袋中共有8个球，其中3个白球，5个红球，从袋中随机取出3个球，

求至少有1个白球的概率。

[2017]（8）已知随机变量?i满足P(?i?1)?pi,P(?i?0)?1?pi,i?1,2．

若0?p1?p2?1，则（ ） 2 A．E(?1)?E(?2),D(?1)?D(?2) B．E(?1)?E(?2),D(?1)?D(?2) C．E(?1)?E(?2),D(?1)?D(?2) D．E(?1)?E(?2),D(?1)?D(?2)

[附：文科试题] [2005年]

（6）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡

片并记下号码统计结果如下：

卡片号码 取到的次数 1 13 2 8 3 5 4 7 5 6 6 13 7 18 8 10 9 11 10 9 则取到号码为奇数的频率是（ ） A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37

[2007年]

（8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，每局比

赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）

A．0.216

[2009年]

（17）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k+1，其中k=0，1，2，…，

19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10）不小于14”为A，则P(A)= . [2010年]

（17）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分

别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，

在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量OG?OE?OF的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为

3

B．0.36 C．0.432 D．0.648

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[2011年]

（8）从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的

概率是（ ） A．

[2012年]

（12）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的

距离为[2013年]

（12）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的机会相等），则2名都是女同学

的概率等于_________.

[2014年]

（14）在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖

的概率为 .

三、不妨猜猜题？

概率问题除了掌握诸如二次分布、二项分布等几个特殊分布外，本质还是排列组合问题，不管是具体的某个随机变量的概率还是分布列，主要的还是数清基本事件的个数和特殊事件的个数。

A组

1．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为x,y．将x,y,5的值分别作为三条线段的

长，这三条线段能围成等腰三角形的概率 ．

2．在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为?，则期望

1339 B． C． D． 10105102的概率是___________。 2E??__________ ，方差D?的最大值为 __________．

3．若随机变量X~B?n,p?，且EX?字作答）

4．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率为 .

5．若离散型随机变量?的取值分别为m,n，且P???m?? P???n??m， E??n，

22则m?n的值为 55， DX?，则P?X?1??__________．（用数243，86．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（ ）

A．

4

1111169 B． C． D． 27242724基于高考试题的复习资料 精准把握高考方向

7．一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当

三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ） A．

14202225 B． C． D． 81818181358．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未

击中目标得0分。若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为3A．

59。假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（ ） 204 B．

531 C． D．

44*9．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和nn?N个黑球.现从中有放回的摸取4

??次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D?X??1，则E?X??（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

B组

1．若p为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表，则Eξ的最大值为________，Dξ的最大值为________.

2．已知：?~B(n,p)，若E?ξ 0 1－p 21 2 1 2P p ?3D?，则P? ;若n?6，则D?? .

3．甲袋装有4个球，1个球标0， 3个球标1；乙袋装有5个球，2个球标0，1个球标1，

2个球标2。现从甲乙两个袋子中各取一个球，则取出的标号都为0的概率为 ；若取出的两个球上标有的数码之积为?，则数学期望E?? 。 4．设随机变量X~B?2,p?，随机变量Y~B?3,p?，若P?X?1??则E(X)? ;D?3Y?1??_________.

5．某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三

个关卡他能够通关的概率分别为

5， 9111,,（这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过234上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响），则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为__________，设X表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X的数学期望为__________

6．甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区

至少有一名同学．设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，则E(ξ)＝________．

5

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7．已知0?a?1．随机变量ξ的分布列如下：（ ）

A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)减小，D(ξ)增大 C．E(ξ)增大，D(ξ)减小 D．E(ξ)减小，D(ξ)减小 8．已知随机变量?满足P???0??122， P???1??x， P???2???x，若0?x?，33则（ ）

A. E???随着x的增大而增大， D???随着x的增大而增大 B. E???随着x的增大而减小， D???随着x的增大而增大 C. E???随着x的增大而减小， D???随着x的增大而减小 D. E???随着x的增大而增大， D???随着x的增大而减小 9．随机变量X的分布列如下：

X -1 0 1 P a 13 b

若EX?13，则DX的值是（ ） A. 19 B. 2459 C. 9 D. 9

36

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古典概率解答部分：

[2006年]（15）

59 [2011年]（9） B (15)

[2015年]（04）（2） 1335[2016年]（04）（2） 2328[2017年]（8）A

附：文科试题

[2005年]（6） A [2007年]（8） D

[2009年]（17）14 [2010年]（17）34

[2011年]（8） D

[2012年]（12） 25 [2013年]（12） 15

[2014年]（14） 13

不妨猜猜题 A组 1.718 2.p；14 B组

1.3,1 2.

2423；3 3.

53 3.532 4.56110； 34 4.58 23;6 AACB 7

5. 基于高考试题的复习资料 精准把握高考方向

5.

4113 6. BCD

3412 8

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