从高考-竞赛复习资料2-直线运动求解方法

处理直线运动的科学思维方法

北京市第八十中学何德强

一、图像法

分析和解答物理问题，除了物理公式和数学方法外，还可以利用物理图像（函数图、矢量图、几何图、光路图等）这里先介绍如何利用v?t图象、s?t图象解答直线运动的各种问题步骤如下：

1、根据物理规律中各个物理量的函数关系，在直角坐标系上定性地或者定量地画出相应地函数图像。

2、根据图像的斜率、截距、与坐标轴所包围的面积，以及图像交点的坐标等的物理意义，进行分析、推理和计算。

例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A地驶向B地，并停止在B地。AB两地相距s，火车做加速运动时，其加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2，由此可可以判断出该火车由A到B所需的最短时间为 。

解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图

像法来解。根据题意作v—t图，如图所示。由图可得a1?v t1a2?s?vt211v(t1?t2)?vt22

解得t?2s(a1?a2)

a1a2

例2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相碰，则两车在做匀速行驶时保持的距离至少为：A．s B．2s C．3s D．4s

例3：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2为多少？老鼠从A点到达B点所用的时间t为多少？

二、微元法

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

例1：如图所示，一个身高为h的人在灯以速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。

解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程△t（△t→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端 C点到达C′点，由于△SAA′=v△t则人影顶端的移动速度

vC?lim

可见vc与所取时间△t的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动。（本题也可用相似三角形的知识解）。 三、等效法

在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些

?SCC??t?0?tH?SAA?Hv ?limH?h??t?0?tH?h因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就

1

是等效法。

等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。

例1：质点由A向B做直线运动，A、B间的距离为L，已知质点在A点的速度为v0，加速度为a，如果将L分成相等的n段，质点每通过L/n的距离加速度均增加a/n，求质点到达B时的速度。

解析 从A到B的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解.

因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为

a平?a初?a末2a?a??(n?1)a3an?a(3n?1)a22n由匀变速运动的导出公式得2a平L?vB ?v0??22n2n解得 vB?2v0?(3n?1)aL n四、递推法

递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。

例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求： （1）、nt时刻质点的速度； （2）、nt时间内通过的总路程.

解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻t末的速度为vt?at

2t末的速度为v2t?vt?2at,所以v2t?at?2at

3t末的速度为v2t?v2t?3at?at?2at?3at …… 则nt末的速度为vnt?v(n?1)t?nat

11?at?2at?3at???(n?1)at?nat?at(1?2?3???n)?at?(n?1)n?n(n?1)at

221n(n?1)(2n?1)at2. （2）同理：可推得nt内通过的总路程s?12例2：小球从高h0?180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小

1(n?2)，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s2） n五、极限法

极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。

2

例1：

解析：当斜面光滑时，?=0，物体上滑与下滑加速度大小相等，故仅B正确。

例2：

解析：当k=1时，空气阻力为零，则空气阻力与重力之比当然为为零，故仅C正确。 六、对称法

由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法。利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。

例：如图所示，竖直上抛一个小球，小球两次经过高度为h处经历的时间为?t，球小球抛出的初速度大小和在空中运动的总时间？（忽略空气阻力）

解析：根据竖直上抛运动的对称性特点，设上升最大高度为H，则：H?h?1?t212g()?gtm 2222h?t2故小球在空中运动的时间为：T=2tm?2 ?g4小球上抛的初速度大小，就等于下落的末速度大小：

v0?gtm?g2h?t2 ?g4七、自由弦运动的等时性及应用

如两图所示，直径为d的竖直圆环，可以证明：物体从静止开始，无摩擦地由圆环最高点沿不同的弦运动到圆周上或者从圆周上沿不同的弦运动到圆环最低点，所需的时间都相等，且等于沿竖直直径自由落体的时间，即：t?2d。 g（请同学们结合牛顿第二定律与运动学公式证明之）

在利用“自由弦运动的等时性”分析和解答极值问题时，关键准确地画出竖直圆，竖直圆的位置有两个特点：

①、一定通过运动的起点和终点。②、一定与不定点的连线（直线或曲线）相切：当起点一定时与不同终点的连线相切；当终点一定时与不同起点的连线相切。

例1：一个物体沿有共同底边（其长度为L），的不同斜面，从顶部由静止开始无摩擦滑下，证明：沿450倾角的斜面滑下，所需时间最短，为：tmin?2L g 3

例2：（1990年第二届全国中学生力学竞赛试题）一个质点自倾角为?的斜面上方定点A，沿光滑斜槽从静止开始滑下，为了使质点在最短时间到达斜面，求斜槽与竖直方向的夹角?应等于多少？

初赛强化题：

1．A、B两汽车站相距60千米，从A站每间隔10分钟有一辆汽车匀速开向B站，车速大小为60千米每小时。若在A站正有汽车开出时，在B站有一辆汽车以同样大小的速度开向A站，问：

①、为了在途中遇到从A站开出的车最多，B站的车至少应在A站第一辆车开出后多久出发？ ②、在途中，从B站开出的车最多能遇到几辆从A站开出的车？

2．如右下图所示，两等高光滑斜面固定在水平面上，已知斜面总长AC=A'B'?B'C'，且?>?'，一物体分别由两斜面顶无初速滑下，到达斜面底的时间分别为t和t；若不计转折处的碰撞损失，则两时间的大小关系为：

A、t>t B、t

3．如图所示，所有质点同时从O点沿不同倾角的光滑斜面无初速滑下。若将各质点在斜面上运动时间相同的点连成一线，则连线的性质为：

A、圆弧 B、抛物线 C、水平线 D、斜线

（若将各质点在斜面上运动速率相等的点连成一线，又选哪一答案？）

4．火车以速率V1向前行驶。司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为S处有另一辆

火车，它正沿相同的方向以较小的速率V2作匀速运动。于是他立即使车作匀减速运动，加速度的大小为a。要使两车不致相撞，则a应满足关系式 。（第一届全国中学生物理竞赛预赛试题）

5．一木板坚直地立在车上，车在雨中匀速进行一段给定的路程。木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速坚直下落。下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是：（第十二届全国中学生物理竞赛预赛试题）

A、雨点下落的速度 B、单位体积中的雨点数 C、车行进的速度 D、木板的面积

6．下雨时雨点竖直落到地面,速度为10米/秒。若在地面上发放一横截面积为80平方厘米,高10米的圆柱形量筒,则经30分钟,筒内接的雨水水面高度为1厘米。现因风的影响,雨水下落时偏斜30°，若用同样的量筒接的雨水量与无风时相同,则所需时间 分钟。（第十五届全国中学生物理竞赛预赛试题）

4

''''

初赛强化题参考答案

1．①、在A站第一辆车开出后50分钟出发 ②、11

2．A

3．A（若将各质点在斜面上运动速率相等的点连成一线，选C）

(v1?v2)24．a?

s5．B、D

5

6．30 解析如下：

6

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