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高考数学必刷题型 （经典版）
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 必修1
1.试选择适当的方法表示下列集合： （1）函数合.
的函数值的集合； （2）
与
的图象的交点集
参考答案：（1） ……（3分）
，……（5分）
故所求集合为.……（6分）
（2）联立，……（8分）
解得，……（10分）
.……（12分）
，
，求
、
、
、
故所求集合为2.已知集合
.
参考答案：
，……（3分）
，……（6分） ，……（9分） .……（12分）
3.设全集（1）求
，
，
，
，
，
；
.
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 参考答案：
，……（2分）
，……（3分）
.……（4分）
（2）求解：
，
，
，
；
，……（1分）
，……（5分） ，……（6分）
，……（7分）
. ……（8分）
（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析. 解：
，……（9分）
. ……（10分）
Venn图略. ……（12分） 4.设集合（1）求
，
；（2）若
，
.
，求实数a的值；（3）若
，则
的
真子集共有_____个, 集合P满足条件参考答案：(1))①当（2分） ②当③当分）
(2)：由（1）知，若(3)若
，则
，则，
或4. ……（8分） ，故
时，且
时，
，
，，故
，故
，
时，
，
，故
，写出所有可能的集合P.
，
；……
；……（4分） ，
. ……（6
，此时的真子集有
7个. ……（10分）
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 又（12分）
，满足条件
的所有集合
有
、
. ……
5.已知函数.
（1）求的定义域与值域（用区间表示） （2）求证在上递减.
参考答案：（1）要使函数有意义，则，解得. ……（2分）
所以原函数的定义域是.……（3分）
，……（5分）
所以值域为.……（6分）
（2）在区间上任取，且，则
……（8分）
，
……（9分）
又，
，……（11分）函数
，……（10分）
在上递减. ……（12分）
6.已知函数详解：
，求、、的值.
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com ，……（3分）
，……（6分）
.……（12分）
7.已知函数（1）证明值.
参考答案：（1）证明：在区间
上任取
，且
，则有……（1分） ，……（3分）
∵∴∴
，所以，
，……（4分） 即在
……（5分）
上是减函数．……（6分） 上单调递减，所以 ……（12分）
8.已知函数（1）求函数（2）判断（3）求使参考答案：（1）
的定义域；
的奇偶性，并说明理由； 成立的的集合.
.
其中
．
在
.
上是减函数;（2）当
时，求
的最大值和最小
（2）由（1）知在区间
若要上式有意义，则所以所求定义域为（2）设
，即. ……（3分）
……（4分） ，则
.……（7分）
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 求服药一次治疗疾病有效的时间？
参考答案：（1）当0≤t≤1时，y=4t；……（2分）
当t≥1时，，此时在曲线上，
∴，这时. ……（5分）
所以.……（6分）
（2）∵ ， ……（8分）
解得 ，……（10分）∴ .……（11分）
∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为个小时. ……（12分）
必修2P(1)
1.圆锥底面半径为1 cm，高为体的棱长.
参考答案：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1 C1 ，如图所示. …………………2分
cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方
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设正方体棱长为x，则CC1 =x，C1 D1 作SOEF于O，则SO
。
，OE=1，……………………………….5分
， ∴ ，即………..10分
∴ ， 即内接正方体棱长为cm……………………….12分
2.如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积
和体积.
参考答案：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面. ……………………………………….3分 S半球 =8π ， S圆台侧 =35π ，S圆台底 =25π.
故所求几何体的表面积为68π ………………………………………..7分
由，………9分
…………………………………………….11分
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 所以，旋转体的体积为
……12分
3.直角三角形三边长分别是
、
、
，绕三边旋转一周分别形成三个
几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积.
参考答案：以绕5cm边旋转为例，其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分别为：
其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为-----------------3分
；
体积为分
。………………………………………………….4
同理可求得当绕3cm边旋转时，分
得当绕4cm边旋转时，分
。…………………….8
。……………………………….12
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 4.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.
求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. 参考答案：证明：（1） 在△ABD和△CBD中，
∵ E、H分别是AB和CD的中点， ∴ EHBD…………….3分
又 ∵
∴ EH∥FG. 分
， ∴ FGBD.
所以，E、F、G、H四点共面.--------------------------------------------7分
（2）由（1）可知，EH∥FG ，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰， 所以它们的延长线必相交于一点P. ……………………………9分
∵ AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴ 由公理3知PAC. ………………………11分 所以，三条直线EF、GH、AC交于一点……..12分
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∥，直线与分别交,
,于点
和点
，求证：
.
参考答案：证明：连结
，交
于
，连
…………3分
则由得……………………7分
由得………………..10分
所以………………………..12分
6.如图，在正方体ABCD-A1 B1 C1 D1 中. （◎P79 B2）
求证：（1）B1 D⊥平面A1 C1 B； （2）B1 D与平面A1 C1 B的交点设为H，则点H是△A1 C1 B的垂心.
参考答案：（1）连所以 同理可证
，
，面
，又，因此
面。
，
，所以B1 D⊥平面A1 C1 B。……6分
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com （2）连 又也是
，由，因此点
为正三角形，所以
为是
，得 的外心。 的中心，
的重心。………….…………………. 12分
中，
，
7.（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥
平面（1） 求证：的大小.
，且
，点是
； （2）求证：
的中点. 平面
；（3）求二面角
（2）
参考答案：（1）∵ PA⊥平面 ABCD， ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC，AC
平面ABCD， ∴AC⊥PB. ……4分
（2）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB. 又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，
∴PB∥平面 AEC……………………………..8分
（3）
取AD的中点F，所以
的中点，连，则
与
对应相等。
是所求二面角的平面角，且
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由图可知，
为所求。……………12分
8.已知
，
，
，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．
参考答案：设点D的坐标为（x,y），由已知得，直线AB的斜率KＡＢ ＝３，……………2分.
直线ＣＤ的斜率KＣＤ ＝， 直线ＣＢ的斜率KＣＢ ＝－２， 直线ＡＤ的斜
率KＡＤ ＝。
……………………………………………………………………………8分
由CD⊥AB，且CB∥AD，得，………11分
所以点Ｄ的坐标是（０，１）……………………………………..12分 9.求过点
，并且在两轴上的截距相等的直线方程.
参考答案：因为直线ｌ经过点Ｐ（２，３），且在ｘ轴，ｙ轴上的截距相等，所以
（１）当直线过原点时，它的方程为
；……………………………5分
（２）当直线不过原点时，设它的方程为所以，直线的方程为综上，直线的方程为
由已知得，
。……………………………………….11分 ，或者
。……………..12分
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（1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求BC边上的中线所在直线的方程；
（3）求BC边的垂直平分线的方程．
参考答案：（１）所以ＢＣ边上的高所在直线的斜率为又过点
，所以直线的方程为
即；……………………………..4分
（２）BC中点坐标为
。..8分
,所以所在直线的方程为即
（3）易知即为所
求。…………………………………….12分 11.在x轴上求一点，使以点
、
和点P为顶点的三角形的面积为10.
参考答案：依设，分
，直线AB的方程是。……….3
在中，设AB边上的高为，则，…………..7分
设解得
，则P到AB的距离为或
所以，…………….10分
。……………………………….11分
，或
。……. 12分
与
之
所以，所求点的坐标是12.过点
有一条直线l，它夹在两条直线
间的线段恰被点P平分，求直线l的方程.
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 参考答案：如图，设直线夹在直线
之间的部分是AB，且ＡＢ被
平分。
设点Ａ，Ｂ的坐标分别是，则有，………4分
又Ａ，Ｂ两点分别在直线上，所以。…………..8分
由上述四个式子得，即Ａ点坐标是，……….11分
所以由两点式的ＡＢ即的方程为。………………….12分
13.
的三个顶点的坐标分别是
、
、；
，求它的外接圆
的方程.
参考答案：设所求圆的方程为
，…………….2分
则依设有所以，
。……………11分
为所求。……………………….12分
上运动，求
14.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆线段AB的中点轨迹方程. 参考答案：圆
的圆心为P(-1,0)，半径长为2，………….4分
线段AB中点为M(x, y). ……………………………………5分
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 取PB中点N,其坐标为(∵ M、N为AB、PB的中点,
,
)，即N(,)……7分
∴ MN∥PA且MN=PA=1. ……………………………….9分 ∴ 动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆.
所求轨迹方程为：……………..12分
15.过点方程. 参考答案：由径
。……..3分
，所以弦心距为
，所以圆心坐标为
，半
的直线l被圆
所截得的弦长为
，求直线l
因为直线被圆所截得的弦长是
，……………….5分
因为直线过点
，所以可设所求直线的方程为
。….7分
依设得
，即
。……………………………………………………
…..10分
所以，所求直线有两条，它们分别为
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的取值范围
，解得.
所以实数。 ……（12分）
选修1-1P(1) 1. 设函数
.
（1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)的极大值和极小值.
参考答案：∵ f′(x)=－x2 +4x－3=－(x－3)(x－1), ……（2分） （1）由f′(x)>0，解得：1
与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M
参考答案：设是点到直线的距离，根据题意得，点的轨迹就是
集合，……（4分）
由此得。将上式两边平方，并化简，得。即
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 。……（9分）
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。. ……（12分）
3. 双曲线的离心率等于程.
，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方
参考答案：椭圆
，……（3分）
焦点为，根据题意得双曲线的焦点为
设双曲线的标准方程为，且有。……（6分）
又由，得，得，……（10分）
所求双曲线的方程为。……（2分）
4. 倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，
求线段AB的长. 参考答案：设由抛物线的定义可知
。……（3分）
，
到准线的距离分别为
，于是
，
由已知得抛物线的焦点为
。……（6分）
将
代入方程
，得
，斜率，所以直线方程为
，化简得。由求根公式得
，……（9分）
于是
。所以，线段AB的长是8。……（12分）
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到
变化时，方程时，
，方程
表示的曲线的形状怎样变换？ 表示圆心在原点的单位圆。……
参考答案：当（3分） 当（5分） 当
时，
时，
，方程表示圆心在原点的单位圆。……
，方程，得表示与轴平行的两条直线。……
（7分） 当（9分） 当
时，
，方程
表示焦点在轴上的等轴双曲线。……
时，
，方程
表示焦点在轴上的双曲线。……
（12分）
6.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米. （1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程； （2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？
参考答案：（1）设抛物线方程由题意可知，抛物线过点
， 解得
，
. ……（6分）
.……（2分） ，代入抛物线方程，得
所以抛物线方程为
（2）把代入，求得. ……（9分）
而，所以木排能安全通过此桥. ……（12分）
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 7.已知椭圆C的焦点分别为F1 （
，0）和F2 （2
，0），长轴长为6，
设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：（1）线段AB的中点坐标； （2）弦AB的长.
参考答案：设椭圆C的方程为=1. ……（3分）
，由题意a=3，c=2，于是b=
∴ 椭圆C的方程为
＋y2 ＝1．……（5分）
联立方程组
，消y得10x2 ＋36x＋27＝0，
因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，……（9分）
设A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），则x1 ＋x2 ＝，故线段AB的中点坐标为
（）．……（12分）
上求一点P，使得点P到直线
的距离最短, 并求
8.在抛物线最短距离.
参考答案：设与直线
.……（3分）
平行，且与抛物线相切的直线为
由∴
， 消x得，解得
.……（5分）
，即切线为
.……（7分）
由，解得点. ……（9分）
∴ 最短距离.……（12分）
高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 9.点M是椭圆F1 MF2 的面积.
上的一点，F1 、F2 是左右焦点，∠F1 MF2 =60o，求△
参考答案：由根据椭圆定义，有
在△F1 MF2 中，由余弦定理，得到
.
即
，……（7分）
，得a=8，b=6，
.……（5分）
.……（3分）
， 解得
.……（10分）
△F1 MF2 的面积为：分）
10.（06年江苏卷）已知三点P（5，2）、（1）求以
、
（－6，0）、
.……（12
（6，0）.
关于
为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、、
、、，求以
、为焦点且过点
直线y＝x的对称点分别为标准方程。
的双曲线的
参考答案：（1）设所求椭圆方程为分）
(a>b>0),其半焦距c=6，……（2……（4分）
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