高考新课标数学(理)大一轮复习课时作业43数学归纳法含解析.doc

课时作业43数学归纳法

基础达标演竦

一、选择题

N*”，在验证〃 =1时，左边是（ ）

A ?1 C ? 1 + d+/ 解析：当〃 =1时，代入原式有左边= l+a ?故选B. 答案：B

2?如果命题卩⑺）对n^k 成立，则它对〃=￡+2也成立.若“⑺） 对刃=2成立，则下列结论正确的是（ ）

A. “⑺）对所有正整数〃都成立

B ?pS ）对所有正偶数〃都成立

C. ”02）对所有正奇数〃都成立

D. 卩⑺）对所有自然数〃都成立

解析：归纳奠基是：72 = 2成立.

归纳递推是：n = k 嵐立，则对〃 = k+2成立. p （n ）对所有正偶数n 都成立.

答案：B

3?数列｛给｝中，已知（71 = 1,当 心2时,a n =a n -i+2n —l,依 次计算。2，如，他后，猜想色的表达式是（）

2

A. = 3n — 2 B? ct n =n

B. 1 ~\~a

D ? l+d+/+/ 1. 用数学归纳法证明 “l+d+/+???+￡ J

C?a n=3n~｝D?a n=4n—3

解析：求得。2=4,偽=9, 6/4=

16,猜想ci n =n^? 答案：B

4.用数学归纳法证明"/ + （〃+l ）3 + （〃+2）3

（〃WN*）能被9整 除”,要利用归纳假设证n = k+1时的情况，只需展开（） B.伙+2)'

D.伙 +lf + (￡

+2f 解析：假设当n = k 时，原式能被9整除，即/? +伙+1）' +伙+ 2）3能被9整除.

当n=k+l 时，伙+1尸+伙+2）3 +伙+3尸为了能用上面的归纳假 设，只需将伙+3f 展开，让其出现疋即可.

答案：A

1 1 1 177

5.用数学归纳法证明1+扌+扌+…+十＞号（朋N ）成立，其 初始值至少应取（）

A. 7

B ? 8

C ?9

D ?10

1_丄

i i i 1 2n i

解析：左边=1+空+& ------- 刁F= -------- =2—代入验证可 知n 的最小值是8?故选B.

答案：B

6?用数学归纳法证明:“（M +1）?（M +2）?????（〃+〃） = 2" *1 *3 ■??Qn A.伙+3) C.伙+1)：

—1）”，从S到k+1”左端需增乘的代数式为（）

A. 2￡+1

B? 2(2k+l)

2￡+1

C -------

J ￡+1

解析:n=k+ \时，左端为伙+2)伙+3)…[伙+1) +伙一1川伙+1) + 灯[伙+1) +伙+1)] =伙+2)伙+3)…伙+Q(2￡+l)(2P+2) =伙+1)伙+2)…伙

+Q[2(2￡+1)],

???应增乘2(2￡+1).

答案：B

二、填空题

7.使|n2-5n+5|=l不成立的最小的正整数是_______________ ?

解析：71=1, 2, 3, 4代入验证成立，而n=5验证不成立. 答案：5

8.用数学归纳法证明12+22----------- (n— l)2+n2+(n— I)2

卜

22+]2=”(2佇+1)时,由n=k的假设到证明“=外1时，等式左边应添加的式子是_________________ ?

答案：伙+1)2 +疋

9.已知整数对的序列如下：(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2,

2), (3, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (1, 5), (2, 4),…, 则第60个数对是?

解析：本题规律：2=1 + 1; 3= 1 + 2 = 2+1;

4=1+3 = 2+2 = 3+1;

5=1+4 = 2 + 3 = 3 + 2=4+1;

? ? ? ?

一个整数〃所拥有数对为(77 -1)对.

, (n— 1) n

设1 +2 + 3 +???+(〃一1) = 60,???——2——=60, :.n=\\时还多5对数，且这5对数和都为12, 12=1 + 11=2 + 10 = 3+9=4+8 = 5+7,

???第60个数对为(5, 7).

答案：(5, 7)

三、解答题

10?用数学归纳法证明下面的等式: 12-22+32-42+- + (-1),/"1 ? 722 = (—1) (〃+1) 2

证明：(1)当,2=1时，左边=1?=1,

右边=(_ 1)° ? IX (1 + 1)

???原等式成立.

⑵假设〃=￡伙WN ：比$1)时，等式成立, 即有 12-22+32-42+- + (- 1/_1

? G k (k+1)

2

那么，当n = k+l 时，则有

12-22+32-42+- + (- 1/_,

?疋+(_1屮?伙+1尸

L._\k (P+1) , E , 9 =(—1)' 1—2—+(-!/?伙+1F (￡+2)

J.n=k-\-1时，等式也成立, 由

(1)(2)知对任意“WN ；有

l 2-22+32-42+- + (-ir _1 9 …_x n (n+1) =(—1)* ?耳1

[ —￡+2伙+1)]

11.在数歹ll {ci n} 9{仇}中，Q]=2, b\—4,且a” b n, 数

e?+i成等差列,bn，禺+1，b卄1成等比数列(n eN*).

]、

n+1]

a[-\~+—:

—H ------ 1- j _ 6 +鬼-尹扌-汁??+；- ⑴求°2,。3,及仇，匕3,方4，由此猜测{a n }9 {%}的通项公式, 并证明你的结论.

(2)证明：計石+缶;+…+ 缶;

解：(1)由条件得2仇=禺+禺+1,怎+1=

b n b n -\-1.

由此可得。2=6,仇=9,。3=12,仇=16,他=20,彷=25? 猜测 a w =n(n+l)(neN*), Z?w =(n+l)2

(neN*).

用数学归纳法证明： ① 当〃 =1时，由上可得结论成立.

② 假设当n=k(k* RWN )时，结论成立，

即 cik = k(k+1),价=伙+1)?,

那么当n =k~\~ 1时，c?+] = 2级一族=2(比+1)?—鸟伙+1)=伙+1)伙 怎

+] (￡+1) 2 (￡+2) 2

2 + 2),加+]=药= 以+1) 2

=伙+2),

所以当n=k+ \时，结论也成立.

由①②，可知给=〃0+ 1), b f =(n+ I)2对一切正整数都成立. (2)证明：①当 ”=1 时，

②当n22时，由(1)知禺+仇=〃(〃+1) + (兀+1)?

=(刃 +1 )(2/1 +1 )>2(〃 +1 加?

所以a n +h t ^2n (n+1)

由①②可知原不等式成立. ??XX 生冲击名綾

且点戸的坐标为（i, —1）.

（1） 求过点Pi,巴的直线/的方程；

（2） 试用数学归纳法证明：对于/7EN*,点几都在⑴中的直线/ 上. 解：（1）由题意得（71=1, /?1 = —1,

, -1 1 1 1 （11） 仇=1-4X1卞G=1 X§=3，???卩2@ 3/ y-|- | 兀—] ???直线/的方程为一=—,即2x+y=l. -+1 1

3十 1 3 1

（2）证明：①当〃=1 时，2d]+b|=2Xl+（—l ）= 1 成立. ②假设n=k （k^l 且RUN ）时，2a k +b k =\成立.

则 2鸟+i +加+1 = 2族?级+1 +级+] = [_；￡ ? （2以+1）=]_；以= ? ?当z?=￡+l 时，2纵+ [+bk+1 = 1也成立?

由①②知，对于n eN ：l ：,都有2a n +b n =l 9即点几在直线/上.

2. （2015-江苏卷）已知集合X={1, 2, 3}, y, = {l, 2, 3,…， /?}（/iEN ：，：）,设必={（°, 整除b 或b 整除a, aWX, b^Y n },令./（〃） 表示集合S 〃所含元素的个数.1. 仇）满足a n +i —a n ? b 卄1，

1 — 2

族 l —2a =1,

丄=丄 4=12-

n~\~ 1 丿 1

6

⑴写出夬6)的值；

(2)当 心6时，写出几〃)的表达式，并用数学归纳法证明. 解：(1)VS 6={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 6)}, /./6)= 13.

(2)当心6时,

下面用数学归纳法证明:

Z ： Z ：

①当n = 6时，/(6) = 6+2+二+§=13,结论成立;

②假设n=k(k^6)时结论成立，那么n=k+1时,在&的基 础上新增加的元素在(1, P+1), (2, P+1), (3, ￡+1)中产生，分以 下情形讨论：

1) 若 ￡+1=6/,则 ￡=6(/—1)+5 则此时有

k —\ k —2

1 )=/(￡) +3 = ￡+2+ —

2 —+—2 —+3

￡+1 ￡+1

=伙+1) + 2+ —2 —+—§ —‘结论成立?

2) 若 k+l = 6f+l,则 k=6t,此时有< / \ I I n I n

\

刃+2+辽+", n=6t, 勺一］斤一1、 ”+2+总+宁)’

( 1 、 YI —\ n ”+2+供宁 兀+2+ ■ 〃+2 + 斤+ 2 + ,〃=6/+1,

兀=6/+2, (M). 兀=6/+3,

9 / n~1+〃一2 兀=6/+4, ,n=6z+5,

夬￡+ 1)=/(Q+1 =￡+2+二+3+1

=伙+ 1) + 2 + (￡+1) —1

2 +

(￡+1) —1

3 结论成立.

3)若￡+1=6/+2,则k=6t+l9此时有

k— ] k—]

/(￡+ l)=y(Q + 2 = k+2+ —2 —+—3 —+2 =伙+1) + 2+耳1+卫土尸，结论成立.

4)若k+l=6f+3,则￡=6丫+2,此时有

k k— 2

夬比+l)=AQ + 2 = R+2+，+-^-+2

屮+1) + 2+卫土—+字，结论成立.

5)若k+l=6/+4,则k=6t+39此时有

k— 1 上

l)=/(Q + 2 = P+2+—2 —+§+2

b4-1 (k+ 1) — 1

= ^+1) + 2+—+ -------------- 『——,结论成立.

6)若￡+1=6/+5,则￡=6/+4,此时有

k k— 1 〃+1)=/(￡)+1=￡+2+尹二一+1

—I I (￡+1)一1 . (￡+1) —2 、=伙+1)+2+ 2 + §，纟吉论成工?

综上所述，结论对满足的自然数“均成立.

僧备课笔记

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