常用计量经济学模型

第一章

常用计量经济模型

第一节

时间序列的外推、平滑和季节调整

一、时间序列的成分

趋势成分(Trend)、循环成分(Cyclical)、季节成分(Season)、不规则成分(Irregular)

二、简单外推模型(适用于yt有一个长期增长的模式)

由时间序列过去行为进行预测的简单模型1、线性趋势模型

yt =c1+ c2 t2、指数增长趋势模型

yt Ae两边取对数

rt

log yt log A rt

3、自回归趋势模型

yt c1 c2 yt 1对数自回归趋势模型

log yt c1 c2 log yt 1

4、二次曲线趋势模型

yt c1 c2 t c3 t

2

[例1] 百货公司销售预测美国商业部：1986年1月至1995年12月百货公司 的月零售额(亿元)

三、平滑技术(目的是“消除”时间序列中的不规则成分引起的随 机波动，适用于稳定的时间序列)

1、移动平均模型 移动平均数=最近n期数据之和/n

例如3期移动平均

1 ~ yt ( yt 1 yt 2 yt 3 ) 3 1 ~ yt ( yt 1 yt yt 1 ) 3

中心移动平均 3期中心移动平均

2、指数加权移动平均模型(EWMA—Exponentially Weighted Moving Averages)2 ~ yt yt (1 ) yt 1 (1 ) yt 2

即

~ yt yt (1 ) ~ yt 1

α 越小，时间序列的平滑程度越高。

[例2] 美国月度新建住房数(1986年1月至1995年10月)

四、季节调整(目的是“消除”时间序列中的季节成分引起的随机 波动)

Census Ⅱ(美国普查局开发的标准方法)

移动平均比值法(Ratio to Moving Averages)

yt L S C I

yt L S C I

Ratio to Moving Averages ——Multiplicative 第一步 用中心移动平均平滑序列yt对于月度资料

1 ~ yt (0.5 yt 6 yt 5 yt yt 5 0.5 yt 6 ) 12对于季度资料

~ 此时可大致认为 yt 已无季节和不规则波动，可看作 L C 的估计

1 ~ yt (0.5 yt 2 yt 1 yt yt 1 0.5 yt 2 ) 4

第二步 估计S×I令

yt zt ~ yt

L S C I ( S I) L C

zt即为S×I的估计

第三步 消除不规则变动，得到S的估计对S×I中同一季节的数据进行平均，从而消除掉I。例如，对于月度数据，假定 y1是1月份的数据，

y2是1月份的数据，y3是1月份的数据， 则 y4是1月份的数据，总共4年数据。

1 z1 ( z1 z13 z 25 z37 ) 4 1 z 2 ( z 2 z14 z 26 z38 ) 4

1 z12 ( z12 z 24 z36 z 48 ) 4

第四步 调整S的估计，使其连乘积等于1或和等于12。

zm sm 12 z i

12z m sm zi

第二节

随机时间序列模型

基本假定：时间序列是由某个随机过程生成的。在一定条件下，我们可以从样本观察值中估计 随机过程的概率结构，这样我们就能够建

立序列的 模型并用过去的信息确定序列未来数值的概率。 常用模型：AR模型、MA模型、ARMA模型、ARIMA模 型、VAR模型、ECM等。

一、平稳过程统计特征不随时间变化而变化的过程是平稳过程(Stable Process) 如果过程是严平稳的( Strictly Stationary),那么对任 意的t和k,时刻t的联合概率密度函数等于时刻t+k的联合概 率密度函数。也就是说，对于具有严平稳性质的随机过程， 其全部概率结构只依赖于时间之差。 严平稳性的条件很严格，我们希望稍微放松限制条件。 于是从实际角度考虑，我们可以用联合分布的矩的平稳性来 定义随机过程的平稳性。

m阶弱平稳过程(Weakly Stationary)是指随机过程的联合 概率分布的矩直到m阶都是相等的。

若一个过程 {r(t)} 是2阶弱平稳过程，那么它会满足下列条件： (1)随机过程的均值保持不变； (2)随机过程的方差不随时间变化； (3)r(i)和r(j)之间的相关性只取决于时间之差 j- i。 [注]:弱平稳过程不一定是严平稳过程； 而严平稳过程若存在二阶矩，则必是2阶弱平稳过程。

[例] 白噪声过程rt tE( t ) 0

其中随机变量 t 满足

2 E( t t j ) 0

, ,

j 0 j 0

显然白噪声过程是一个2阶弱平稳过程。

[例] 随机游走模型Pt Pt 1 t其中 t 是服从正态分布的白噪声 显然E( Pt ) 0

E(Pt2 ) t 2

因此Pt 是非平稳过程。

二、自相关函数用[X(t)]表示一随机过程，滞后期为k的自相关系数定义为 (k ) C ov( X t , X t k )

t t k

如果[X(t)]是一个平稳过程，则有 t t k 因此

(k )

C ov( X t , X t k )

t2

(k ) ( 0)

其中 (k ) Cov( X t , X t k )

协方差函数

(0) Cov( X t , X t ) t2

自相关函数揭示了X(t)的相邻数据点之间 存在多大程度的相关。 如果对所有的k>0,序列的自相关函数等于0或近 似等于0,则说明序列的当前值与过去时期的观测值 无关，这时该序列没有可预测性。 相反，如果金融序列间是自相关的，就意味着当 前回报依赖历史回报，因此可以通过回报的历史值预 测未来回报。

2 E( t t j ) 0

E( t ) 0

, ,

j 0 j 0

[例] 白噪声过程的自相关函数协方差函数

(k ) Cov( t , t k ) E[( t 0)( t k 0)] E ( t t k )自相关函数

( k ) 1 , k 0 (k ) (0) 0 , k 0

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