2020-2021学年江苏省常州市高二上学期期末数学试题(解析版)

第 1 页 共 19 页 2020-2021学年江苏省常州市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．两实数a ，b 满足a b <，则下列结论正确的是（ ）

A ．22a b <

B ．2b ab >

C ．33a b <

D ．11a b > 【答案】C

【分析】根据不等式的性质及特殊值法即可求解.

【详解】取2,0a b =-=时，可判断22a b <错误；取2,1a b =-=-，可判断2b ab >错误；

由不等式性质可知33a b a b <?<成立，取2,1a b =-=，可判断

11a b >错误. 故选：C

2．不等式22730x x -+>的解集为（ ）

A ．13,2?

?-- ???

B ．1,32?? ???

C ．13)

,2(,??--+-∞∞ ??? D ．1,

(3,)2??-∞?+∞ ??? 【答案】D 【分析】直接根据一元二次不等式的解法求解.

【详解】由22730x x -+>可得(21)(3)0x x -->，

解得3x >或12

x <， 所以不等式的解集为1,

(3,)2?

?-∞?+∞ ???， 故选：D

3．设i 是虚数单位，若复数z 满足()310z i -=，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ）

A ．()1,3

B ．()3,1

C ．()1,3--

D ．()3,1-- 【答案】B

【分析】按照复数的除法运算法则化简z ，再写出对应的坐标

第 2 页 共 19 页 【详解】()()()()

103103333i i z i i i +-+===+- 对应的坐标为()3,1

故选B

4．在空间直角坐标系O xyz -中，向量()1,1,2a =--，()1,1,3b =分别为异面直线1l ，2l 的方向向量，则异面直线1l ，2l 所成角的余弦值为（ ）

A

．11- B

．11- C

D

．11

【答案】C

【分析】根据向量的夹角直接计算即可求解.

【详解】因为()1,1,2a =--，()1,1,3b =，

所以cos ,||||a b

a b a b →→

→→→→?<>=== 因为异面直线1l ，2l 所成角为锐角或直角，

所以异面直线1l ，2l

， 故选：C 5．若椭圆2214

x y +=与双曲线2

221(0)x y a a -=>的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A

．y x = B

．y = C ．12y x =± D ．2y =±x

【答案】A

【分析】求出椭圆的焦点坐标，再求出a ，再求渐近线方程即可. 【详解】2

214

x y +=的焦点为30, 213a +=

，a =

所以渐近线的方程为2

y x =±

故选：A

第 3 页 共 19 页 6．设抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为端点的射线与抛物线相交于A ，与抛物线的准线相交于B ，若4FB FA =，则FA FB ?=（ ）

A ．9

B ．8

C ．6

D ．4

【答案】A

【分析】根据平行关系可证明N 点，A 点分别是线段BF ，NF 的中点，再根据比列关系求A 点横坐标即可求解.

【详解】设FB 交y 轴于N 点，如图，

由准线与y 轴平行，且O 为中点，

所以N 是BF 中点，

因为4FB FA =，

所以A 是NF 的中点，

设A 的横坐标为m ,则由抛物线的定义,

||||(1)1AF AC m m ==--=+，

由AC 与x 轴平行， 可得

134

2m +=， 解得12

m = ∴334622FA FB ==?=，， ∴?=FA FB |F A ||FB |=9，

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义及平行关系，建立比列关系求出||AF 的长，

第 4 页 共 19 页 是解题的关键所在，属于中档题.

7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若20200S >，则10a >

B ．若20210S >，则10a >

C ．若20200S >，则20a >

D ．若20210S >，则20a > 【答案】B

【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案.

【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >，

当1q ≠时，()202012020101a q S q -=>-，分以下几种情况，

当1q <-时，10a <，此时210a a q =>；

当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<，

当01q <<时，10a >，此时210a a q =>；

当1q >时，10a >，此时210a a q =>；

故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C .

当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >；

当1q ≠时，()202112021101a q S q -=>-，由于20211q -与1q -同号，故10a >， 所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确；

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题. 8．在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述：今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七

里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.当二马相逢时，良马所行路程为（ ）

A ．1345里

B ．1395里

C ．1440里

D ．1470里 【答案】B

【分析】根据题中条件，确定两马每日的所行路程构成等差数列，设n 天后两马相逢，根据两马所行总路程是两地距离的2倍，列出方程，即可求解.

第 5 页 共 19 页 【详解】设良马每天所行路程为{}n a ，则{}n a 是以103为首项，以13为公差的等差数列，

其前n 项为n A ，

驽马每天所行路程为{}n b ，则{}n b 是以97为首项，以12-

为公差的等差数列，其前项为n B ，

设共用n 天二马相逢，则21125n n A B +=?, 所以(1)(1)110313972250222n n n n n n --??+?++?-= ???

， 化简得2313600n n +-=，解得9n =， 因此良马所行路程为99810391313952A ?=?+

?=. 故选：B.

二、多选题

9．若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的有（ ）

A ．14ab ≤ B

≥ C ．114a b +≥ D ．2212

a b +≥ 【答案】ACD

【分析】由正实数a ,b 满足1a b +=,再根据基本不等式判断判断每个选项的正误.

【详解】0a >,0b >,且1a b +=

,1a b ∴=+≥14

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