函数专题 基本定义
1．映射f: A?B的概念。
在理解映射概念时要注意： ⑴A中元素必须都有象且唯一；
⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如
（1）设f:M?N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；
（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________（答：（2，－1））；
（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，
A到B的函数有 个（答：81,64,81）；
（4）设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射f:M?N满足条件“对任意的x?M，x?f(x)是奇数”，这样的映射f有____个（答：12）；
（5）设f:x?x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A?B一定是_____（答：?或{1}）.
2．函数f: A?B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如
（1）已知函数f(x)，x?F，那么集合{(x,y)|y?f(x),x?F}{(x,y)|x?1}中所含元素的个数有 个（答： 0或1）； （2）若函数y?12x?2x?4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则b＝ （答：2） 2
3．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y?x，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）
4．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中x?0,a?0且a?1，三角形中0?A??, 最大角?2?3，最小角??3等。如
（1）函数y?x?4?x?lg?x?3?2的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；
（2）若函数y?kx?7?3?k?的定义域为R，则_______(答：0,?)； 2?kx?4kx?3?4?（3）函数f(x)的定义域是[a,b]，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域是__________(答：[a,?a])；
（4）设函数f(x)?lg(ax2?2x?1)，①若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；②若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围（答：①a?1；②0?a?1） （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。
（3）复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式
a?g(x)?b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于当x?[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）。如
（1）若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(lo2gx)的定义域为__________（答：
?2??1??x|； 2?x?4）
2（2）若函数f(x?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）．
?
5．求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如
（1）求函数y?x2?2x?5,x?[?1,2]的值域（答：[4,8]）；
2（2）当x?(0,2]时，函数f(x)?ax?4(a?1)x?3在x?2时取得最大值，则a的取值范围是
___（答：a??1x?b?12?12）；（3）已知f(x)?3(2?x?4)的图象过点（2,1），则F(x)?[f(x)]?f(x)2的值域为______（答：[2, 5]）
（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如
（1）y?2sinx?3cosx?1的值域为_____（答：[?4,217]）； 8
（2）y?2x?1?x?1的值域为_____（答：(3,??)）（令x?1?t，t?0。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；
（3）y?sinx?cosx?sinxcosx的值域为____（答：[?1,1?2]）； 2（4）y?x?4?9?x2的值域为____（答：[1,32?4]）；
（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如
2sin??12sin??1133xy?(??,](??,]求函数y?，y?，的值域（答： 、（0,1）、）；
1?sin?1?cos?221?3x（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求
1980x?5y?x?(1?x?9)，y?sin2x?(0,)、，的值域为______（答：y?2?logx?13x1?sin2x911[,9]、[2,10]）； 2（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如 （1）已知点P(x,y)在圆x2?y2?1上，求； [?5,5]）
（2）求函数y?（3）求函数y?y33及y?2x的取值范围（答：[?,]、x?233(x?2)2?(x?8)2的值域（答：[10,??)）；
x2?6x?13?x2?4x?5及y?x2?6x?13?x2?4x?5的值域（答：
[43,??)、(?26,26)）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求
两点距离之差时，则要使两定点在x轴的同侧。
（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
b33y?(0,]） 型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：22k?x2?x2bx②y?2型，先化简，再用均值不等式，如
x?mx?nx1(??,]）（1）求y?的值域（答：； 21?x2①y?（2）求函数y?1x?2的值域（答：[0,]）
2x?3x2?m?x?n?mx2?8x?n③y?2型，通常用判别式法；如已知函数y?log3的定义域为R，值域为2x?mx?nx?1[0，2]，求常数m,n的值（答：m?n?5）
x2?m?x?n?x2?x?1④y?型，可用判别式法或均值不等式法，如求y?的值域（答：
mx?nx?1(??,?3][1,??)）
（7）不等式法――利用基本不等式a?b?2ab(a,b?R?)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如
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