2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第13讲 直线与圆的方程

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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

第13讲 直线与圆的方程

一．课标要求：

1．直线与方程

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；

2．圆与方程

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

二．命题走向

直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。

预测2013年对本讲的考察是：

（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；

（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。

三．要点精讲

1．倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为?0,??。

2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=an?;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。

过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan??y2?y1（若x1＝x2，则直线

x2?x1p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 名称 斜截式 点斜式 方程 y=kx+b y-y0=k(x-x0) 说明 k——斜率 b——纵截距 (x0，y0)——直线上 已知点，k——斜率 适用条件 倾斜角为90°的直线不能用此式 倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式 y?y1x?x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上与两坐标轴平行的直线= y2?y1x2?x1两个已知点 不能用此式 截距式 xy+=1 aba——直线的横截距 b——直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

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一般式 Ax+By+C=0 ?ACC，?，?分别为 BAB斜率、横截距和纵截距 A、B不能同时为零 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

5．圆的方程

圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：(x?a)?(y?b)?r(r?0)。特殊地，当a?b?0时，圆心在原点的圆的方程为：x?y?r。

圆的一般方程x?y?Dx?Ey?F?0，圆心为点(?22222222DE,?)，半径22r?D2?E2?4F22，其中D?E?4F?0。

2二元二次方程Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0，表示圆的方程的充要条件是：①、

22x2项y2项的系数相同且不为0，即A?C?0；②、没有xy项，即B=0；③、D2?E2?4AF?0。

四．典例解析

题型1：直线的倾斜角 例1．图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案：D

解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3

图 ＞k1，故应选D。 点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。 例2．过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴

y 的正半轴于A、B两点，求PA·|PB|的值最小时直 B 线l的方程。

解析：依题意作图，设∠BAO＝?，

θ P（2，1） 12 则PA?， ，PB? θ sin?cos? O A x

?PA·PB?，

244?2?sin?cos?sin?cos?sin2?21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

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当sin2??1，即??45?时PA·|PB|的值最小，此时直线l的倾斜角为135°， ∴斜率kl?tan135???1。

故直线l的方程为y?1???1?·?x?2?，即x?y?3?0。

点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。 题型2：斜率公式及应用

?x?y?2?0y?例3．（1）设实数x，y满足?x?2y?4?0，则的最大值是___________。

x?2y?3?0?（2）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点。

（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上。 （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。

解析：（1）如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分（包括边界），而yy?0?xx?0表示点（x，y）与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为?1，??3?3y?，此时kOA?，所以的最大2?2x值是

3。 2y?k，则y?kx，斜率k的最大x 点评：本题还可以设值即为

y的最大值，但求解颇费周折。 x（2）证明：设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）. 因为A、B在过点O的直线上，所以

log8x1log8x2?， x1x2又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2） 由于log2x1＝

log8x1log8x2＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，

log82log82所以OC的斜率和OD的斜率分别为

kOC?log2x13log8x1log2x23log8x2?,kOD??。 x1x1x2x2由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上。

由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得 x2＝x13

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将其代入

log8x1log8x2?，得x13log8x1＝3x1log8x1. x1x2由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝3，于是点A的坐标为（3，log83）.

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