高一数学必修三算法初步(知识总结++高考真题讲练).资料

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第十一章 算法初步与框图

一、知识网络

算法概念 算法与程序框图 框图的逻辑结构 输入语句 顺序结构 循环结构 条件结构 算法初步循环语句 算法语句 条件语句 输出语句 赋值语句 算法案例

二、考纲要求

1.程序框图

（1）了解算法的含义，了解算法的思想.

（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.

2.基本算法语句

理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.

三、复习指南

本章是新增内容，多以选择题或填空题形式考查，常与数列、函数等知识联系密切.考查的重点是算法语句与程序框图,以基础知识为主,如给出程序框图或算法语句,求输出结果或说明算法的功能;或写出程序框图的算法语句,判断框内的填空等考查题型.难度层次属中偏低.

※知识回顾

1．算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． 2.程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.

3.程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构． 4.算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言．

5.算法的基本特征：①明确性：算法的每一步执行什么是明确的；②顺序性：算法的“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续；③有限性：算法必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行；④通用性：算法应能解决某一类问题.试题提供：www.0839bx.cn

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第一节 算法与程序框图

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※典例精析

例1.如图所示是一个算法的程序框图，则该程序框图所表示的功能是

解析：首先要理解各程序框的含义,输入a,b,c三个数之后,接着判断a,b的大小,若b小，则把b赋给a,否则执行下一步，即判断a与c的大小，若c小，则把c赋给a, 否则执行下一步，这样输出的a是a,b,c三个数中的最小值.所以该程序框图所表示的功能是求a,b,c三个数中的最小值.

评注: 求a,b,c三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程序框图来表示.

例2.下列程序框图表示的算法功能是（ ） （1）计算小于100的奇数的连乘积 （2）计算从1开始的连续奇数的连乘积 （3）计算从1开始的连续奇数的连乘积， 当乘积大于100时，计算奇数的个数

（4）计算1×3×5×?×n?100成立时n的最小值

解析：为了正确地理解程序框图表示的算法，可以将执行过程分解，分析每一步执行的结果.可以看出程序框图中含有当型的循环结构,故分析每一次循环的情况,列表如下: 第一次:S?1?3,i?5； 第二次:S?1?3?5,i?7；

第三次:S?1?3?5?7,i?9,此时S?100不成立,输出结果是7,

程序框图表示的算法功能是求使1×3×5×?×n?100成立时n的最小值. 选D.

评注:通过列表,我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量是怎样变化的,这正是程序运行的本质所在.本题若要求编写求使1×3×5×?×n?100成立时n的最小值的程序框图或程序时,很容易弄错输出的结果，应注意.

例3.在音乐唱片超市里，每张唱片售价为25元，顾客如果购买5张以上（含5张）唱片，则按九折收费，如果购买10张以上（含10张）唱片，则按八折收费，请设计算法步骤并画出

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程序框图，要求输入张数x，输出实际收费y(元).

?25x(x?5)?分析:先写出y与x之间的函数关系式，有y??22.5x(5?x?10)，再利用条件结构画程序框图．

?20x(x?10)?解： 算法步骤如下:

第一步，输入购买的张数x,

第二步，判断x是否小于5，若是，计算y?25x；

否则，判断x是否小于10，若是，计算y?22.5x；否则，计算y?20x. 第三步，输出y. 程序框图如下:

评注:凡必须先根据条件做出判断，然后再决定进行哪一个步骤的问题，在画程序框图时，必否 x?27? 须引入判断框，采用条件结构设计算法.如果变

是 量分三级(或以上)时,就需要用到条件结构的嵌

套,不能忽视结果中“是”、“否”的书写，否则不输出X 知道执行哪一条路径.一般地,分n段的分段函数,需要引入n?1个判断框.条件结构有以下两i?i?1 种基本类型. 否

i?11?

111例4.画出求1?2?2???的值的程序框223100图.

分析:这是一个有规律的数列求和问题,每次都进行了相同的运算,故应用循环结构进行算法设计.

解:程序框图如下:

(1)当型循环 (2)直到型循环

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评注: (1) 解题关键是选择好计数变量i和累加变量S的初始值,并写出用i表示的数列的通项公式是 ；

(2)循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和,累乘求积等问题.在循环结构中,要注意根据条件,设计合理的计数变量、累加(积)变量以及它们的初始值等,特别要注意循环结构中条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次或少一次循环.

（3）循环结构分为两类：一类是当型循环结构，如下左图所示；另一类是直到型循环结构，如下右图所示.

111变式训练画出求1?2?2???的值的程序框图. 247100解：程序框图如下:

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例5.某工厂2005年的生产总值为200万元，技术改进后预计以后后每年的年生产总值都比上一年增长5%.设计一个程序框图，输出预期年生产总值超过300万元的最早年份及2005年到此年份之前(不包此年份)的年生产总值的和.

分析:本例可用循环结构来实现. (1) 确定“循环体”:设a为某年的年生产总值,n为年份,S为

年产值的总和,则循环体为

S?S?a,

a?a?0.05a,

n?n?1.

(2)初始化变量:n的初始值为2005,a的初始值为200,S的初始值为0. (3)设定循环控制条件:a?300 解: 程序框图如下:

评注:本问题的关健是设计好循环体,注意S?S?a与n之间的对应关系.本题若将S?S?a放在n?n?1之后,则输出时须重新赋值n?n?1，否则n的值为超过300万的年份的下一年.本题也可用当型循环结构来表示.

变式训练：设计一个程序框图，求使S?1?2?3???n?5000的最小n的值，并输出此时S的值. 解：程序框图如下： ※基础自测 一、选择题

1．下列说法正确的是（ ）

A．算法就是某个问题的解题过程； B．算法执行后可以产生不同的结果；

C．解决某一个具体问题算法不同结果不同； D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施． 解析：选项A ，算法不能等同于解法；选项B，例如：判断一个正整数是否为质数，结果为“是质数”和“不是质数”两种；选项C，解决某一个具体问题算法不同

结果应该相同，否则算法构造的有问题；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次．选B．

2、如图所示的程序框图中，则第3个输出的数是( )

35A．1 B. C.2 D.

2232.解析：前3个分别输出的数是1，，2.故选C. 2 5

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开始 A?1 2N?1 1A?A? 2输出A N?N?1 N?4? 是 结束 否 11113．如图给出的是求???????的值的一个程序框图，

24620其中判断框内应填入的条件是 （ ） A.i>10? B.i<10? C.i>20? D.i<20?

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开始 S?0，n?2，i?1 S?S?1 nn?n?2 i?i?1 是 输出S 否 结束 3．解析：通过列表,我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量

1是怎样变化的, 第一次:i?1,S?,n?4,

211第二次:i?2,S??,n?6,…依此可知循环的条件是i>10？．选Ａ

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4.(2007年高考山东卷)阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（ ） A．2550，2500 B．2550，2550 C．2500，2500 D．2500，2550

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开始 输入n S?0，T?0 n?n?1 T?T?n n?n?1 S?S?n n?2? 否 输出S、T 是 结束 4.解析：依据框图可得

S?100?98?96?...?2?2550，T?99?97?95?...?1?2500.选A.

5．2006年1月份开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过1600元的免征个人工资、薪金所得税，超过1600元部分需征税．设全月总收入金额为x元，前三级税率如下左表所示：

级数 全月应纳税金额x?1600 税率 1 2 3 …… 不超过500元部分 超过500至2000元部分 5% 10% 超过2000至5000元部分 15% …… …… 8

试题提供：www.0839bx.cn 开始 输入x 0

A．0.05x;0.1x B．0.05x;0.1x?185 C． 0.05x?80;0.1x; D．0.05x?80;0.1x?185 5．解析: 设全月总收入金额为x元, 所得税额为y元,则y与x之间的函数关系为

?0(0?x?1600)?y??(x?1600)?5%(1600?x?2100)选D. ?25?(x?2100)?10%(2100?x?3600)? 二、填空题

6．（2008年高考山东卷）执行右边的程序框图，若p=0.8,则输出的n=________..

111?0.8，此时n=2；第二次循环后，S???0.8，此时n?3；224111第三次循环后，S????0.8，此时n?4，输出，故填4.

2487.（2008年江苏卷）某地区为了解70?80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位

6.解析:第一次循环后，S?老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：

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试题提供：www.0839bx.cn [4,5)4.5 0.12 1 6 [5,6) 0.20 2 10 5.5 [6,7) 0.40 3 20 6.5 [7,8) 0.20 4 10 7.5 [8,9] 0.08 8.5 5 4 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 ▲ 解析:由流程图

序号i 分组 （睡眠时间） 频数 频率（Fi） （人数） 组中值（Gi） S?G1F1?G2F2?G3F3?G4F4?G5F5

?4.5?0.12?5.5?0.20?6.5?0.40?7.5?0.2?8.5?0.08 ?6.42 故填6.42.

开始 S=0 i=1 输入Gi，Fi i= i＋1 N S= S＋Gi·Fi i≥5？ Y 输出S 结束

8.如果执行右面的程序框图，那么输出的S?

8．解析：S?2?4?6???100?2550 三、解答题

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9．请阅读下面程序框图，说明此程序的功能

解：程序功能是求s的值. s?1?2?22?...?26,并输出s

?(x?2)2(x?0)?(x?0)，请画出程序框图，要求输入自变量x的值， 10．已知函数y??4?(x?2)2(x?0)?输出函数值y. 10.解:

?100的程序框图. 11．画出一个计算1?5?10?15??11解：程序框图如下

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12、甲、乙两位同学为解决数列求和问题，试图编写一程序.两人各自编写的程序框图分别如图1和如图2.（Ⅰ）根据图1和图2，试判断甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是否一致？当n ＝20时分别求它们输出的结果；

（Ⅱ）若希望通过对图2虚框中某一步（或几步）的修改来实现“求首项为2，公比为3的等比数列的前n项和”，请你给出修改后虚框部分的流程图.

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开始 输入n 开始 i＝1 输入n S＝0 i＝0 a＝2 S＝0 S＝S＋a i=i+1 a＝a+2 S=S+2 i＝i+1 i≤n? 否

是 i>n是 输出S 输出S 否 结束 图1

结束

图2

12、解：（Ⅰ）输出结果一致. 当n＝20时， 图1的结果为2＋4＋6＋…＋38＋40＝2×（1＋2＋3＋…＋20）＝420 图2的结果为2＋4＋6＋…＋38＋40＝2×（1＋2＋3＋…＋20）＝420 （Ⅱ）修改后虚框部分的流程图为

S＝S+a a＝3﹡a i＝i+1

第二节 算法的基本语句及算法案例

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※知识回顾

1．任何一种程序设计语言都包含五种基本的算法语句， 它们是输入语句 ， 输出语句， 赋值语句，条件语句，循环语句 2.输入语句的一般格式是INPUT\提示内容\变量; 输出语句的一般格式是PRINT\提示内容\表达式； 赋值语句的一般格式是变量?表达式；

IF条件THENIF条件 条件语句的一般格式是THEN或ELSE语句体1语句体ENDIFDO；

语句体2ENDIFWHILE条件. 循环语句的一般格式是循环体LOOPUNTIL条件和, 循环体WEND输入语句、 输出语句、 赋值语句基本对应于程序框图中的顺序结构；条件语句、循环语句分别用来表达程序框图中的条件结构和循环结构.

3.常用符号

运算符号：加_+_，减-__，乘*__，除/__，乘方a^b，整数取商\\，求余数MOD. 逻辑符号：且AND，或OR，大于>，等于=，小于<，大于等于>=，小于等于<=，不等于<>. 常用函数：绝对值ABS，平方根SQR，取整INT. 4.算法案例

（1）辗转相除法和更相减损术

辗转相除法和更相减损术都是求两个正整数的最大公约数的方法.

（1）辗转相除法就是对于给定的两个正整数，用大数除以小数，若余数不为0，则将小数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，反复执行此步骤，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.

（2）更相减损术就是对于给定的两个正整数，若它们都是偶数，则将它们反复除以2(假设进行了k次)，直到它们至少有一个不是偶数后，将大数减小数，然后将差和较小的数构成一对新数，继续上面的减法，反复执行此步骤，直到差和较小的数相等，此时相等的数再乘以原来约简的2k即为所求两数的最大公约数. （2）秦九韶算法

秦九韶算法是求多项式值的优秀算法. 设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0， 改写为如下形式： f(x)?(?(anx?an?1)x?an?2)x??a1)x?a0. 设v0?an,v1?v0x?an?1

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v2?v1x?an?2v3?v2x?an?3?vn?vn?1x?a0

这样求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.当多项式中有些项不存在时，可将这几项看做0?xn，补齐后再利用秦九韶算法进行计算.对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法运算即可. （3）进位制

K进制数的基数为k，k进制数是由0?k?1之间的数字构成的. 将十进制的数转化为k进制数的方法是除k取余法. 把k进制数anan?1?a1a0(0?an?k,0?an?1,?a1,a0?k)化为十进制数的方法为

anan?1?a1a0(k)?ankn?an?1kn?1???a1k?a0. ※典例精析

11111例1．写出用循环语句描述求S?1???????的值的算法程序.

23499100解：算法程序如下： （1）当型循环 （2）直到型循环 S?1S?1 i?2i?2 WHILEi??100DO S?S?(?1)^(i?1)/iS?S?(?1)^(i?1)/i i?i?1i?i?1 WENDLOOPUNTILi?100 PRINT\S?\SPRINT\S?\S ENDEND 评注: 在编写算法的程序时，可先画出程序框图，抓住程序框图表示算法这个核心.注意分别用当型循环和直到型循环语句编写的程序中，循环条件的区别与联系. INPUTm IFm??50THEN y?13?m例2、某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系ELSE统对各厂一个月内排出的污水量m吨收取的污水处理费IFm??100THENy元，运行程序如下所示： y?50?15*(m?50) ELSE y?150?25?(m?100) ENDIF ENDIFEND15

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请写出y与m的函数关系，并求排放污水150吨的污水处理费用. 解： 这个程序反映的是一个分段函数 ?13m(m?50)? y??50?15(m?50)(50?m?100) ?150?25(m?100)(m?100)?

因为m?150?100,所以y?150?25(150?100)?1400，故该厂应缴纳污水处理费1400元. 评注: 解决分段函数要用条件语句来处理.本题可画出程序框图帮助理解. 例3． 求三个数72,120,168的最大公约数. 解法1:用辗转相除法

先求120,168的最大公约数,

因为168?120?1?48,120?48?2?24,48?24?2

所以120,168的最大公约数是24. 再求72,24的最大公约数, 因为72?24?3,所以72,24的最大公约数为24, 即72,120,168的最大公约数为24. 解法2:用更相减损术 先求120,168的最大公约数, 168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24 所以120,168的最大公约数为24. 再求72,24的最大公约数, 72-24=48，48-24=24 72,24的最大公约数为24, INPUTm,n即72,120,168的最大公约数为24. 评注: 辗转相除法与更相减损术均是求两个正整数的最大公S?m?n约数的方法,要理解和掌握它们的操作步骤. DO r?mMODn变式:试写出求正整数m,n(m?n)的最小公倍数的算法程序. m?nn?rLOOPUNTILr?0S?S/mPRINTSEND 解: 16 或

INPUTm,ni?1DOa?m*ir?aMODn i?i?1LOOPUNTILr?0PRINTaEND试题提供：www.0839bx.cn 例4.用秦九韶算法求多项式f(x)?x5?2x4?3x3?4x2?5x?6在x?2时的值. 分析：先改写多项式，再由内向外计算.

解:f(x)?x5?2x4?3x3?4x2?5x?6

?((((x?2)x?3)x?4)x?5)x?6v0?1,v1?v0x?2?4v2?v1x?3?11v3?v2x?4?26 v4?v3x?5?57v5?v4x?6?120评注: 用秦九韶算法求多项式值,关健是正确将多项式改写,然后由内向外计算求得. 本题也可简写为下式：

1222345682252114

4112657120

例5.完成下列进制的转化

(1)10202(3)?____(10)(2)101(10)?__________(8)

解: (1)10202(3)?1?34?2?32?2?30?101(10)

(2)用8反复去除101,直到商为0止,所得的余数(从末位读起)就是十进制数101的 8进制表示 88101余数12810541 所以101(10)?145(8) 评注:将k进制的数转化为k?进制的数的方法是先将k进制的数转化为十进制的数，再将这个数转化为k?进制的数.

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变式训练：下面是把二进制数11111(2)化为十进制数的一个程序框图,判断框内应填入的条件是 ( )

A.i?5?B.i?4?C.i?4?D.i?5?

解: 11111(2)?1?24?1?23?1?22?1?2?1,故判断框内应填入的条件i?4.选C. ※ 基础自测 一、选择题

1．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）

A 4?M B M??M C B?A?3 D x?y?0

1. 解析:赋值语句的功能.选 B

2 当x?2时，下面的程序输出的结果是 ( )

i?1

s?0 INPUTx WHILEi??4

s?s?x?1

i?i?1 WEND PRINTs

END

A 3 B 7 C 15 D 17

2解析： 0?2?1?1,1?2?1?3,3?2?1?7,7?2?1?15. 选 C

INPUTm,nDOr?mMODnm?nn?rLOOPUNTILr?0PRINTmEND

3．运行下列程序：

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当输入56，42时，输出的结果是

Ａ．56 Ｂ．42 Ｃ．84 Ｄ．14

3.解析:该程序的功能是用辗转相除法求正整数m,n(m?n)的最大公约数，故选D 4下边程序运行后输出的结果为( )

a?0

j?1 WHILEj??5

a?(a?j)MOD5

j?j?1 WEND

PRINTa

END

A 50 B 5 C 25 D 0

4.解析:j?1,a?1;j?2,a?3;j?3,a?1;j?4,a?0;j?5,a?0.选 D 二、填空题

15 三个数324,243,的最大公约数是_________________

5 解析:324?243?1?81,135?81?1?54,81?54?1?27,54?27?2.填27 6.

阅读下列程序:

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6.解析:算术运算符\\和MOD分别用取商和余数.该程序的功能是把一个三位数各位上的数字颠倒过来.所以运行的结果是321.

nn?17．（2005年高考北京卷理14）已知n次多项式P???an?1x?an，如果在一n(x)?a0x?a1x种算法中，计算x0k（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P．利0(x)?a0,Pk?1(x)?xPk(x)?ak?1（k＝0， 1，2，…，n－1）用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要 次运算. nn?17．解析：秦九韶算法适用一般的多项式P???an?1x?an的求值问题.直接法n(x)?a0x?a1x(n?1)n乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数2减少到最多n次，加法最多n次.答案：65；20. 8．下面程序运行后输出的结果为_______________ x?5

y??20

IFx?0THEN

x?y?3

ELSE

y?y?3 ENDIF

PRINTx?y,y?x

END

8．解析: 22，-22

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三、解答题

9.用秦九韶算法求多项式f(x)?3x5?4x4?15x3?76x2?7x?8在x??2时的值.

9.解:f(x)?3x5?4x4?15x3?76x2?7x?8?((((3x?4)x?15)x?76)x?7)x?8v0?3,v1?v0x?4??2v2?v1x?15??11v3?v2x?76?98v4?v3x?7??189v5?v4x?8?386

11110．设计程序，求出满足1??????10的最小的正整数n.

23n10．解： S?0 i?1 DO

S?S?1/i i?i?1

LOOPUNTILS?10

PRINTi?1

END 11

若a?111111(2),b?210(6),c?85(9),试判断a,b,c的大小关系，并将c化为7进制的数.

6.解析: a?63(10),b?78(10),c?77(10)?b?c?a

777771110余数041 ?c?(140)712.某电信公司规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用. (提示:INT(x)表示不大于x最大整数,如INT(3.2)=3)

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试题提供：www.0839bx.cn 12．解：算法分析： 数学模型实际上为：y关于t的分段函数.关系是如下： ?0.2,(0?t?3)?y??0.2?0.1(t?3),(t?3,t?Z) ?0.2?0.1([t?3]?1),(t?3,t?Z)?其中[t－3]表示取不大于t－3的整数部分. 算法步骤如下： 第一步：输入通话时间t； 第二步：如果t≤3，那么y = 0.2；否则判断t∈Z 是否成立， 若成立执行y= 0.2+0.1× (t－3)；否则执行y = 0.2+0.1×（ [t－3]+1）. 第三步：输出通话费用c . 算法程序如下： INPUT\t?\t IFt??3THEN y?0.2 ELSE IFINT(t)?tTHEN y?0.2?0.1?(t?3) ELSE y?0.2?0.1?(INT(t?3)?1) ENDIF ENDIF PRINT\y?\y END

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