高考数学之圆锥曲线常见习题及解析(经典版)_ss

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圆锥曲线常见习题及解析

（经典版）

1

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椭圆 一、选择题：

x2y2x2y2??1,双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,1.已知椭圆方程43ab则双曲线的离心率为

A.2 B.3 C. 2 D. 3

x2y22．双曲线2?2?1(a?0,b?0) 的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1,l2，点P在第

ab一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2//PF2，则双曲线的离心率是 A．5 【答案】B

B．2

C．3 （ ） D．2 bbx，l2:y??x，因为点P在第aa1一象限内且在l1上，所以设P(x0,y0),x0?0，因为l2⊥PF1，所以PF1?PF2，即OP?F1F2?c，l2//PF2，

2bb222即x02?y02?c2，又y0?x0，代入得x0?(x0)?c，解得x0?a,y0?b，即P(a,b)。所以

aabbb??(?)??1bla，因为2⊥PF1，所以a?cakPF1?，l2的斜率为，即

a?c【解析】双曲线的左焦点F1(?c,0)，右焦点F2(c,0)，渐近线l1:y?2b2?a(a?c)?a?ac?c?2a，所以c2?ac?2a2?0，所以e2?e?2?0，解得e?2，所以双曲线

的离心率e?2，所以选B.

x2y23．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2?43x的焦

ab点重合，则该双曲线的离心率等于

A．2 B．3

C．2

2

D．2

3

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4.抛物线y?4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 A.

7 8 B.

15 16C.

3 4 D.0

x2y2??1的两渐近线围成的三角形的面积为 5.抛物线y??12x的准线与双曲线932A. 3 B. 23 C. 2 D.33 【答案】D

x2y233??1的两渐近线为y?【解析】抛物线y??12x的准线为x?3，双曲线x和y??x，93332令x?3，分别解得y1?3,y2??3，所以三角形的低为3?(?3)?23，高为3，所以三角形的面积为

1?23?3?33，选D. 226.过抛物线y?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x??2的距离之和等于5,

则这样的直线

A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条

D．不存在

3

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x2y27.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线均与C:x2?y2?6x?5?0相切，则该双曲线离心

ab率等于

A．

B．

35 56 2C．

3 2D．

5 5

x2y28.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F（1?c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在点P使

abac，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） ?sin?PFsin?PF2F11F2） A.（0，2?1 B.（

22，1） C.（0，） D.（2?1，1） 22 4

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x2y29.过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若

ab?F1PF2?60，则椭圆的离心率为 （ ）

A．

1123 B． C． D．

2332

二、填空题：

10.若圆C以抛物线y?4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是 ；

2 5

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x2y211.设F是抛物线C1：y?4x的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：2?2?1(a＞0,b＞0)的一条渐近线

ab2的一个公共点，且AF?x轴，则双曲线的离心率为 【答案】5 【解析】抛物线的焦点为F(1,0).双曲线的渐近线为y??bbx，不妨取y?x，因为AF?x，所以aabbxA?1，所以yA??2，不妨取A(1,2)，又因为点A(1,2)也在y?x上，所以?2，即b?2a，所以

aab2?4a2?c2?a2，即c2?5a2，所以e2?5，即e?5，所以双曲线的离心率为5。

x2y2??1，则双曲线的离心率是 . 12.已知双曲线的方程为

169

1x2y213.若焦点在x轴上的椭圆??1的离心率为，则m= .

22m【答案】

3 222222【解析】因为焦点在x轴上。所以0?m?2，所以a?2,b?m,c?a?b?2?m。椭圆的离心率为

131c22?m2e?，所以e??2?，解得m?。

224a214.已知点P是抛物线y?4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 的坐标是（4，a），则当|a|?4时，|PA|?|PM|的最小值是 。

2 6

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三、解答题：

15. (本小题满分13分)

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)过点?0,1?,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线lab与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足

PM??1MQ,PN??2NQ

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若?1??2??3，试证明：直线l过定点并求此定点.

7

高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com (2) 由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2)，设l方程为x?t(y?m)， 由PM??1MQ知(x1,y1?m)??1(x0?x1,?y1) ∴y1?m??y1?1，由题意?1?0，∴?1?分

同理由PN??2NQ知?2?m?1 -----------------7y1m?1 y2∵?1??2??3，∴y1y2?m(y1?y2)?0 （*） ------8分

?x2?3y2?3联立?得(t2?3)y2?2mt2y?t2m2?3?0

?x?t(y?m)∴需??4m2t4?4(t2?3)(t2m2?3)?0 （**）

2mt2t2m2?3,y1y2?2且有y1?y2?2 （***）-------10分 t?3t?3222（***）代入（*）得tm?3?m?2mt?0，∴(mt)2?1，

由题意mt?0，∴mt??1(满足（**）)， ----12分 得l方程为x?ty?1,过定点(1,0),即P为定点. ---------------13分 16.（本大题满分13分）

1x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线

2abx?y?6?0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点。

（1）求椭圆C的方程； （2）求OA?OB的取值范围；

（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

8

高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com (2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?4)

?y?k(x?4)?由?x2得：(4k2?3)x2?32k2x?64k2?12?0 4分 y2??1?3?4由??(?32k2)2?4(4k2?3)(64k2?12)?0得：k2?1 432k264k2?12设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则x1?x2?2 ① 6分 ，x1x2?24k?34k?3∴y1y2?k(x1?4)k(x2?4)?k2x1x2?4k2(x1?x2)?16k2

abx2y2x2y217． 若椭圆E1: 2?2?1和椭圆E2: 2?2?1满足2?2?m(m?0),则称这两个椭圆相似，

a1b1a1b1a2b2m是相似比.

x2y2??1相似的椭圆的方程； (Ⅰ)求过(2,6)且与椭圆42(Ⅱ)设过原点的一条射线l分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B点（点A在线段OB上）. ①若P是线段AB上的一点，若OA，OP，OB成等比数列，求P点的轨迹方程; ②求OAOB的最大值和最小值.

9

高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com (Ⅱ) ① 当射

线l的斜率不存在时A(0,?2),B(0,?22),

2设点P坐标P(0,y0),则y0?4,y0??2.即P(0,?2). ………………5分

当射线l的斜率存在时，设其方程y?kx,P(x,y) 由A(x1,y1),B(x2,y2)则

4?2x??y1?kx112??1?2k?2 得? ?x1y1224k?1?y2????421?1?2k2??|OA|?21?k21?2k2 同理|OB|?41?k21?2k2 ………………………7分

y28(1?2)28(1?k)8(x2?y2)y22x又点P在l上，则k?，且由x?y?, ??2xy21?2k2x?2y21?22xx2y2??1. 即所求方程是84又

(0,?2)适合方程,

x2y2??1. ………………9分 故所求椭圆的方程是84②由①可知,当l的斜率不存在时，|OA||OB|?222?4,当l的斜率存在

8(1?k2)4?4?时,|OA||OB|?, 221?2k1?2k

10

高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com c105∴c＝10，又e＝＝＝，∴a2＝8，b2＝2. aa2x2y2

∴双曲线方程为－＝1.

82

x2

11．已知双曲线C：－y2＝1，P是C上的任意点．

4

(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值． 解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点， 该双曲线的两条渐近线方程分别是 x－2y＝0和x＋2y＝0，

|x1－2y1||x1＋2y1|

点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和. 55

22x1?4y1|x1－2y1||x1＋2y1|

它们的乘积是·＝

55

54

＝. 5

∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． (2)设P的坐标为(x，y)，则

x2

|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1

45124＝(x－)2＋. 455

124∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，

5525

即|PA|的最小值为. 5

x22

12．(文)已知椭圆C1的方程为＋y＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、

4右顶点分别是C1的左、右焦点． (1)求双曲线C2的方程；

OB＞2(其中O为原点)，(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA·

求k的取值范围．

x2y2

解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1，

a2b2则a2＝4－1＝3，c2＝4， 由a2＋b2＝c2，得b2＝1， x2

故C2的方程为－y2＝1.

3

x2

(2)将y＝kx＋2代入－y2＝1，得

3

16

高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com (1－3k2)x2－62kx－9＝0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

?1－3k2≠0，

?

?Δ＝(－62k)2＋36(1－3k2)＝36(1－k2)＞0，

1

∴k2≠且k2＜1.

3

①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 －962k

x 1＋x2＝，x1x2＝. 1－3k21－3k2

∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2) 3k2＋7

＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝.

3k2－1

OB＞2，得x1x2＋y1y2＞2， 又∵OA·

3k2＋7

∴＞2， 3k2－1即

－3k2＋91

＞0，解得＜k2＜3，

33k2－1

②

1

由①②得＜k2＜1，

3故k的取值范围为(－1，－

33

)∪(，1)． 33

(理)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C的方程；

(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．

x2y2

解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．

a2b2由已知得a＝3，c＝2. 又a2＋b2＝c2，得b2＝1. x2

故双曲线C的方程为－y2＝1.

3y＝kx＋m??

(2)联立?x2整理得

－y2＝1??3(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，

??1－3k2≠0

∴?， ?Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0?

17

高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 1可得m2>3k2－1且k2≠. ①

3设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)． 则x1＋x2＝6kmx1＋x23km

1－3k2，x0＝2＝1－3k2，

y 0＝kx0＋m＝m

1－3k2.

由题意，AB⊥MN，

m

＋1∵kAB＝1－3k21

3km＝－k(k≠0，m≠0)．

1－3k2

整理得3k2＝4m＋1. 将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4. 又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m>－1

4. ∴m的取值范围是(－1

4

，0)∪(4，＋∞)．

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② 高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 备注：

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