2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷

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2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B= ． 2．（4分）不等式＜1的解集为 ．

3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）= ． 4．（4分）已知向量为 ．

5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足

，则|z|= ．

，

，则向量在向量的方向上的投影

6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是 ．

7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为 ．

8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是 ． 9．（5分）已知等比数列最小值为 ．

10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为此圆锥的表面积为 ．

11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移

个单的扇形，则

前n项和为Sn，则使得Sn＞2018的n的

位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为 ． 12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线的两个动点，动点P满足

上

，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知

平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为 ．

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

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13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“条件．

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要

D．既非充分又非必要

”是命题乙“”的（ ）

14．（5分）已知△ABC中，是AC边上的动点，则

，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q

的最小值为（ ）

A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0

15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（ ）小时． A．22 B．23 C．24 D．33

16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（ ） A．1

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1． （1）求异面直线BC1与CD1所成的角； （2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．

B．2

C．

D．2π2

18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

，且

（1）求C；

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，

．

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（2）若c2=7b2，且

，求b的值．

（n∈N*，p

19．（14分）已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和∈R）．

（1）求p的值及{an}的通项公式；

（2）在等比数列{bn}中，b2=a1，b3=a2+4，令列{cn}的前n项和Tn． 20．（16分）已知椭圆设点A（0，b），在△AF1F2中，（1）求椭圆Γ的方程；

（k∈N*），求数

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，

，周长为

．

（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；

（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．

21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）?D，则称f（x）在D上封闭． （1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，说明理由； （2）函数

的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函

在（0，1）上是否封闭，

数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围； （3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx（D）?D，其中fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存

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在D的真子集，Dn?Dn﹣1?…?D3?D2?D1?D，使得f（x）在所有Di（i=1，2，3，…，n）上封闭．

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参考答案与试题解析

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B= {1，3} ． 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}， ∴A∩B={1，3}． 故答案为：{1，3}．

2．（4分）不等式＜1的解集为 （1，+∞）∪（﹣∞，0） ． 【解答】解：原不等式等价于

，即x（x﹣1）＞0，

所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）； 故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）

3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）= 3 ． 【解答】解：令f﹣1（5）=a， 则f（a）=2a﹣1=5， 解得：a=3， 故答案为：3．

4．（4分）已知向量﹣1 ．

【解答】解：向量=（1，﹣2），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞=故答案为：﹣1

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，，则向量在向量的方向上的投影为

==﹣1．

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5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足【解答】解：∵复数z满足∴z化为4z=即z=∴|z|=

故答案为：．

， ，

=． =

，

，

，则|z|= ．

6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是 80 ． 【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）5﹣r， 今r=2，

∴T3=23C52x3=80x3． ∴x3的系数是80． 故答案为：80

7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为 ．

【解答】解：某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品， 现从中抽取4个产品， 基本事件总数n=

=495，

=240， ．

其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m=∴其中恰好有1个二等品的概率为p==故答案为：

．

=

8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是 [﹣5，3] ．

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【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数， 可得f（x）=f（|x|），

则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4）， 可得|a+1|≤4， 即﹣4≤a+1≤4， 解得﹣5≤a≤3，

则实数a的取值范围是[﹣5，3]． 故答案为：[﹣5，3]．

9．（5分）已知等比数列最小值为 10 ．

【解答】解：根据题意，等比数列

为{an}，

前n项和为Sn，则使得Sn＞2018的n的

其首项a1=，公比q==3，

其前n项和Sn==

（3n﹣1），

若Sn＞2018，即3n﹣1＞18×2018又由n∈N*， 则n≥10， 故答案为：10．

10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为此圆锥的表面积为 36π ．

【解答】解：设此圆锥的母线长为l，

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， 2π×3=解得l=9，

∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π．

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的扇形，则

×l，

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故答案为：36π．

11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移

个单

位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为 π ． 【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移得到函数g（x）=sin（ωx+=cosωx的图象，

令h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx=

sin（ωx+

），

）

个单位

如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立， ∴?

≤1，∴ω≥π，则ω的最小值为π，

故答案为：π．

12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线的两个动点，动点P满足

上

，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知

．

平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为 2【解答】解：设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）， ∵直线OM与ON的斜率之积为2， ∴

?

=2，

所以2x1x2﹣y1y2=0，①， ∵动点P满足

，

∴（x，y）=（2x1﹣x2，2y1﹣y2 ）， 则x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，

∵M、N是双曲线上的点，∴2x12﹣y12=4，2x22﹣y22=4． ∴2x2﹣y2=2（2x1﹣x2）2﹣（2y1﹣y2）2

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=4（2x12﹣y12 ）﹣（2x22﹣y22 ）﹣4（2x1x2﹣y1y2 ） =4×4﹣4﹣4（2x1x2﹣y1y2 ）=12﹣4（2x1x2﹣y1y2 ）， 把①代入上式得：2x2﹣y2=12， 即

﹣

=1，

所以点P是双曲线﹣=1上的点，

因为即﹣

=1的两个焦点为：F1（﹣3

．

，0）、F2（3

，0），

所以||PF1|﹣|PF2||为定值2故答案为：2

．

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“条件．

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要

D．既非充分又非必要

”是命题乙“

”的（ ）

【解答】解：由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件， 由乙可推出甲，是必要条件， 故选：B．

14．（5分）已知△ABC中，是AC边上的动点，则

，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q

的最小值为（ ）

A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【解答】解：∵△ABC中，

，AB=AC=1，

以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

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则B（1，0），C（0，1）

设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1， ∴∴故

=（﹣1，n），

=（m，﹣1），

=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号， 的最小值为﹣2，

故选：B．

15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（ ）小时． A．22 B．23 C．24 D．33

【解答】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）， 该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时， ∴

，解得e11k=，

∴该食品在33°C的保鲜时间：y=e33k+b=（e11k）3×eb=（）3×192=24（小时）． 故选：C．

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16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（ ） A．1

B．2

C．

D．2π2

【解答】解：令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，

可得f（﹣x）=（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a=f（x）， 则f（x）为偶函数， ∵f（x）=0有三个实数根， ∴f（0）=0，即0+

+a=0，故有a=﹣

， 关于x的方程即x2+arcsin（cosx）﹣=0，

∴x2 =0， 且

+arcsin（cosx1）﹣

=0，

x32+arcsin（cosx3）﹣=0，

x1=﹣x3， 由y=x2和y=

﹣arcsin（cosx），

当x＞0，且0＜x＜π时， y=

﹣arcsin（cosx）=

﹣arcsin（sin（

﹣x））=

﹣（

则﹣π＜x＜0时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣x，

由y=x2和y=

﹣arcsin（cosx）的图象可得：

它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1）， 则x12+x22+x32=0+1+1=2． 故选：B．

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﹣x））=x，

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三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1． （1）求异面直线BC1与CD1所成的角； （2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．

【解答】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1∥BC1， ∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．（2分） ∵AB=2，AD=1，A1A=1． ∴在等腰△ACD1中，∴cos∠CD1A=

=

=

，…（4分）

∴异面直线BC1与CD1所成的角（2）==

．…（1分）

…（4分）

．…（3分）

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18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

，

，且

．

（1）求C； （2）若c2=7b2，且，求b的值．

【解答】解：（1）由

，

∴2ccosC+acosB+bcosA=0，

由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0， ∴2sinCcosC+sin（A+B）=0； 2sinCcosC+sinC=0； 由sinC≠0， ∴， ∴

；

（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC， ∴7b2=a2+b2﹣2abcosC， ∴a2+ab﹣6b2=0， ∴a=2b； 由

知， ，

∴，

∴b=2．

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19．（14分）已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和∈R）．

（1）求p的值及{an}的通项公式；

（2）在等比数列{bn}中，b2=a1，b3=a2+4，令列{cn}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）根据题意，等差数列{an}中

，

（n∈N*，p

（k∈N*），求数

当n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1=pn2+2n﹣[p（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2pn﹣p+2， 则an+1=2p（n+1）﹣p+2， ∴an+1﹣an=2p=2， ∴p=1，

an=3+（n﹣1）2=2n+1， （2）∵b2=a1=3，b3=a2+4=9， ∴q=3，

当n=2k，k∈N*时，

Tn=a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=（3+7+…+4k﹣1）+（3+27+…+32k﹣1） =

当n=2k﹣1，k∈N*时，n+1是偶数，

=

，

=

；

，

∴．

20．（16分）已知椭圆设点A（0，b），在△AF1F2中，

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，

，周长为

第14页（共17页）

．

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（1）求椭圆Γ的方程；

（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；

（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．

【解答】（1）解：由又△AF1F2周长为联立①②，解得∴椭圆方程为

，∴． ；

，得

…②

，∴…①

（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2） 由

，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

，

，

依题：kAB+kAC=﹣1，即：∵y1=kx1+m，y2=kx2+m， ∴

，得

，

，则m=﹣2k﹣1．

∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）； （3）解：lAE：x+y﹣1=0，设直线l：y=﹣x+t与椭圆

．

相切，

第15页（共17页）

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由，得．

由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=

．

，

．

得两切线到lAE：x+y﹣1=0的距离分别为∴当当当当当

，

时，△AEP个数为0个； 时，△AEP个数为1个；

时，△AEP个数为2个；

时，△AEP个数为3个；

时，△AEP个数为4个．

21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）?D，则称f（x）在D上封闭． （1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，说明理由； （2）函数

的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函

在（0，1）上是否封闭，

数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围； （3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx（D）?D，其中fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，Dn?Dn﹣1?…?D3?D2?D1?D，使得f（x）在所有Di（i=1，2，3，…，n）上封闭．

【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），

所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分） t=x+1∈（1，2）

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，

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g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分） （2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）?D． 函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则D?f（D）， 得到：D=f（D）．…（2分）则f（a）=a，f（b）=b

，

在D=[a，b]单调递增． 在[﹣1，+∞）两不等实根．

故，解得．

另解：令故解得

在[﹣1，+∞）两不等实根．

k+1=t2﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根，

．

（3）如果f（D）=D，则fn（D）=D，与题干矛盾． 因此f（D）?D，取D1=f（D），则D1=f（D），则D1?D．

接下来证明f（D1）?D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D{D1， 则p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，换句话说f（p）?f（D1）． 考虑到p∈D\\D1，即

，

因为f（x）是单射，则f（D1）?f（D\\{p}）=f（D）\\{f（p）}=D1\\{f（p）}?D1 这样就有了f（D1）?D1．

接着令Dn+1=f（Dn），并重复上述论证证明Dn+1?Dn．

第17页（共17页）

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