数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式
数列、函数与不等式
及其试题设计
三、不等式证明 方法总结：
不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法等八种方法．要明确这虹各种方法证明不等式的步骤及应用范围．若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题．
A B 0 A B；作商比较：A B 作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和． ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小． 2、综合法：由因导果．
3、分析法：执果索因．基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．
4、反证法：正难则反．
放缩法的方法有：
①
an； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③
利用基本不等式，如：log3 lg5 (④
lg3 lg52n (n 1)
； )
lg422
AA
1 B 0 或 1 B 0 ． BB
11111111
2 2
k(k 1)k 1kkk(k 1)kk 1k
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度大）；
111111
2 ( )；（程度小） 2kk 1(k 1)(k 1)2k 1k 1
换元和代数换元．
如：已知x2 y2 a2，可设x acos ,y asin ； 已知x2 y2 1，可设x rcos ,y rsin （0 r 1）； x2y2
已知2 2 1，可设x acos ,y bsin ；
abax2y2
已知2 2 1，可设x ,y btan ；
cos ab
7、构造法：通过构造函数、方程、数列、向量、不等式或图形来证明不等式； 8、数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究．
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面．如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点．
在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等．
比较法是证明不等式最常用最基本的方法．
分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式．
凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法．
换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题．
含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件．
有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度．
数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式
总之，不等式证明方法多种多样，试题灵活多变，要解答好该类试题，关键是要做到“熟能生巧”、“以不变应万变”。
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题型示例：
例1．若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学
关系式反映出来，并证明之． 证明：由题意得数学表示为 证法一：（比较法）
证法二：（放缩法）
证法三：（构造法）（数形结合，如图）
例2．已知a，b R，且a b 1．求证： a 2 2
b 2 2
25
2
．证法一：（比较法）
证法二：（分析法）
证法三：（综合法）
证法四：（反证法）
证法五：（放缩法）
证法六：（均值换元法）
证法七：（判别式法）
A
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题型示例（教师版）：
例1．若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学
关系式反映出来，并证明之．
分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知
aa m
（b a 0，m 0）．
证明：由题意得
ab a m
b m
（b a 0，m 0）． 证法一：（比较法）
a mab(a m) a(b m)m(b a)
b m b b(b m)
b(b m)
， b a 0,m 0， b a 0，b m 0，
m(b a)
a mb(b m)
0，即
b m ab． 证法二：（放缩法）
a
a
b a 0且m 0， aa(b m)m
b
b(b m) b m a mb m
． 证法三：（构造法）（数形结合法）
如图，在RtABC及RtADF中，
AB a，AC b，BD=m，作CE∥BD． ABC∽ ADF，
aa ma b ma m
b CF b CE b m
． 例2．已知a，b R，且a b 1．求证： a 2 2
b 2 2
25
2
．证法一：（比较法）
a,b R,a b 1, b 1 a a 2 2 b 2 2
252 a2 b2 4(a b) 92
a2 (1 a)2 4
92 2a2 2a 12 2(a 1
2)2 0， 即 a 2 2
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