(r0 ) r 3330
52 0a0r02 0a0
Z4e2
r2 30 10 0a0
42
2Zes2
r0 3
5a0
5.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态
能量的二级修正。
解：取 的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为
2 12 L D cos H D L 2I2I (0) 1L 2, D cos ，则 H 取H 2I
(0) H H H 视为微扰，用微扰法求得此问题。 H由于电场较小，又把 (0)
的本征值为E(()) 1 ( 1) 2 H 2I
(0) 本征函数为 Y m( , )
0） (0)的基态能量为 HE（ 0，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 0
2 H (2) 0
(0) E0 (0)
E0 E
*(0) (0) 0 H 0d Y * H m( D cos )Y00sin d d
*
D Y m(cos Y00)sin d d 4 1
D Y * Ysin d d m10 34
D *
Y 0 Y10sin d d
D 1
2
E
(2)
'
H 0
2
(0)E0 E (0)
'
D2 2 2I
13 ( 1) 2
2
1
D2 2I 2
3
xi wang
i p11* 3/2 F d ()e 其中Fmk mk 32 a0
取电子电离后的动量方向为Z方向，
取 、p所在平面为xoz面，则有
r xx yy zz ( sin )(rsin cos ) ( cos )(rcos rsin sin cos cos rcos
i
p rcos 13/21e
Fmk ()e ( rsin 32i 2a0
13/21e
Fmk ()
32i2 a 0 i 2 p rcos
e ( rsin sin cos rcos cos )e r/a0r2sin drd d
000
的作用，微扰矩阵元为5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及E02，现在受到微扰H
H a，H11 H22 b；a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 H12 21
解：由微扰公式得
(1)
E n Hnn
2
Hmn(2)'
En (0)(0)
E Emnm
(1)(1)
b b 得 E01 H11E02 H22
2 Ha2 )m1(2'
E01
E01 E0mE01 E02m
2
Ha2m1(2)'
E02
E02 E0mE02 E01m
∴ 能量的二级修正值为
2a
E1 E01 b
E E0102
a2
E2 E02 b
E02 E01
xi wang
5.4设在t 0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为 sin t， 及 均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。
解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为
4
es min hvmin E E1 22
es413.6 1.6 10 19
3.3 1015Hz vmin 342
6.62 102 h
②t 0时，氢原子处于基态，其波函数为
1 k e r/a0
3a0
i 13/2 p r
在t 时刻， m ( )e
2
e ri t
(t) e rsin t (e e i t) 微扰 H
2i
i t
F(e e i t)
e r 其中 F 2i
在t时刻跃迁到电离态的几率为
2 a(t) Wk m m
1t ei mkt dt Hmk am(t) i 0
tF i( )t
ei( mk )t )dt mk(emk
i 0 Fmkei( mk )t 1ei( mk )t 1
[ ]
mk mk 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， Fmkei( mk )t 1
a m(t)
mk
2
F(ei( mk )t 1)(ei( mk )t 1)2mk Wk m am(t) 22 ( ) mk
4Fmk2sin21( mk )t 2( mk )2
i
p11 *F)3/2e 其中Fmkm kd (32 a0
取电子电离后的动量方向为Z方向， 取 、 p所在平面为xoz面，则有
r xx yy zz
( sin )(rsin cos ) ( cos )(rcos rsin sin cos cos rcos
Fmk (
12
)3/2
ee32i a0
1
i
p rcos
( rsin
xi wang
2 i
2 p rcos e ( rsin sin cos rcos cos )e r/a0r2sin drd d 000 i
2 p rcos 11e3/2
()e ( cos r3cos sin )e r/a0drd d
32i000a02
i p rcos 13/21e cos r/a
)2 r3e0dr[e cos sin d (0032i2 a0
iiii p rp r p rp r e cos 2 3 r/a0
re[(e e) 22(e e)]dr
03 iprpri2 2a0
e cos 16p1
23ia i2 2a00(1 p)3
2
a0 2
7/2
16pe cos (a )0
2223
(a0p )
2
4Fmksin21( mk )tW ∴ k m22
( mk )
21222275
sin128pe cos a 0( mk )t 222262
(a0p )( mk )
i
2 p rcos 11e3/2
()e ( cos r3cos sin )e r/a0drd d
32i000a02
i p rcos 13/21e cos 3 r/a0
)2 redr[ecos sin d (0032i2 a0
iiii2 p rp r p rp r e cos 3 r/a0 re[(e e ) 22(e e )]dr
3iprpri2 2a0 0
e cos 16p1
23ia i2 2a00(1 p)3
2
a0 2
7/2
16pe cos (a )0
2223
(a0p )
2
4Fmksin21( mk )tW ∴ k m22
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