j，则体系可能的状态为 1i1i2i3 2j1j2j3 1 [ i(q1) i(q2) j(q3) i(q1) i(q3) j 3
3
i(q2) i(q3) j(q1)]
1
[j(q1)j(q2)i(q3) j(q1)j(q3)i(q2) 4
解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为 i，
(q) (q) (q)
(q) (q) (q)
(q2)
j(q2) j(q3) i(q1)]
xi wang
(1)(2)(3)
7.7 证明 S和 A组成的正交归一系。 , S, S
(1) (1)解： S S [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)] [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)]
1 /2(S2z) 1 /2(S1z) 1/2(S1z) 1/2(S2z) 1 /2(S2z) 1/2(S2z ) = 1 (1) (2) S S [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)] [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)]
(1) (3) S S
1 /2(S2z) 1 /2(S1z) 1/2(S1z) 1/2(S2 z) = 0
1 [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)]
2
[ 1/2(S1z) 1/2(S2z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)]2
1 /2(S2z) 1 /2(S1z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)]1 [ 1 /2(S2z) 1/2(S2z) 0 ] = 0 2
1
1
[ 1 /2(S2z) 1 /2(S1z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)
同理可证其它的正交归一关系。
(3) (3)
S S [ 1/2(S1z) 1/2(S2z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)]
2
[ 1/2(S1z) 1/2(S2z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)]
1
[ 1/2(S1z) 1/2(S2z)] [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)]
2 1
[ 1/2(S1z) 1/2(S2z)] [ 1/2(S2z) 1/2(S1z)]
2 1
[ 1/2(S2z) 1/2(S1z)] [ 1/2(S1z) 1/2(S1z)]
2 1
[ 1/2(S2z) 1/2(S1z)] [ 1/2(S2z) 1/2(S1z)]
2 11
0 0 1
22
1
7.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r) 2r2。
2
如果电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另
一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程
2 (r) U(r) (r) E (r)2
2 2 2 21 (2 2 2) (r) 2r2 (r) E (r)2 x y z2
xi wang
考虑到 r2 x2 y2 z2，令 2
2 2 21 (2 2 2)XYZ 2(x2 y2 z2)XYZ EXYZ2 2 y z x 21 2X1 21 2Y122( x) ( 2y2)22
2 X x22 Y x2
21 2Z122
( z)
E 2
2 Z x2 21 2X122 ( x) Ex
2 2 X x2
22
1 Y122 ( y) Ey
2
2 Y x2
xy 21 2Z122
z) Ez
( 2 Z x22
1
2x2
Xn(x) Nne2Hn( x) 1
2y2
Ym(y) Nme2Hm( y)
1
2z2
Z (z) N e2H ( z)
1
2r2
(r) NNNe2H( x)H( y)H( z)
Enm (n m 3) 其中 Nn ， 1/2n 2n!
对于基态n m 0，H0 1 1
2r2 0 000(r) ()3/2e2
对于沿χ方向的第一激发态n 1，m 0，
H（1x) 2 x
1 2r22 5/2
E E E Ez
1 100(r)
2 3/4
xe
2
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