( mk )
2222275
sin128pe cos a 02( mk )t 222262
(a0p )( mk )
Fmk (
1
)3/2
e32ia0
1
xi wang
5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
当t 0 0,
t/
当t 0( 为大于零的参数) 0e,
求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。
解：对于2p态， 1，m可取0, 1三值，其相应的状态为 211 21 1 210
氢原子处在2p态的几率也就是从 100跃迁到 210 、 211 、 21 1的几率之和。 1t
ei mkt dt Hmk 由 am(t) i 0
* d (H e (t)rcos ) ,100 210H H 210100
*
RYe (t)rcos RYd (取方向为Z轴方向) 21101000
2 3* e (t)R21rR10drY10Y00cos sin d d 0
2 *1 e (t)fY10Y10sin d d 00
3
1 e (t)f 256*3
a0 f R21(r)R10(r)rdr
0 3
13/2213/2 4 2a0r () ()redr
02a0a0a0
114！ 255256 a a0 05 6a4
360
* d 1e (t)f H H210100 210,100
e (t)2562 a0 e (t)a0
2433
*
H211,100 e (t) 211rcos 100d
2 3* e (t)RrRdrYcos Y00sin d d 211011 000
2 3*1Y11Y10sin d d e (t)R21rR10dr000 3
= 0
* 1,100 21 H21 1H 100d
2 *
3
e (t)RrRdrY1 1cos Y00sin d d 2110 000
2 * 13
Y1 1Y10sin d d e (t)R21rR10dr
000 = 0
xi wang
由上述结果可知，W100 211 0， W100 21 1 0 ∴ W1s 2p W100 210 W100 211 W100 21 1
2
1ti 21t
,100edt W100 210 2H210
0
2t21282i 21t t / 2
2()(ea0 0)eedt
0 243
2t
i 21t
e 1
21282222
)ea0 0 2(
1 2432
221
时， 当t 212822221
)ea0 0 1s 2p 2(
1 2432
21 2
es43 es43 es211 其中 21 (E2 E1) (1 ) 33 48 a02 8
5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。
3
4es2 mk 2
解： r Amk mk
3 c3
由选择定则 1，知2s 1s是禁戒的
故只需计算2p 1s的几率
E E1
21 2
es413 es4
3(1 ) 3 22 2428 2
而 r21 x21 y21 z21
2p有三个状态，即 210, 211, 21 1 (1)先计算z的矩阵元 z rcos
*3*
(z)21m,100 R21(r)R10(r)rdr 1mcos Y00d
1 fY1*Y00d m
1 f m0
3
1
f (z)210,100
(z)211,100 0 (z) 21 1,100 0
xi wang
(2)计算x的矩阵元
x rsin cos (x)21m,100
r
sin (ei e i ) 2
1 *
R21(r)R10(r)r3dr Y1*sin (ei e i )Y00d m 20
12
f Y1*m( Y11 Y1 1)d 23
1) x)210,100 0 ( 1
f (x)211,100
6 1
f (x)21 1,100
6
1
rsin (ei e i ) (3)计算y的矩阵元 y rsin sin 2i
1 *3*i i
R(r)R(r)rdr Ysin (e e) Y00d ( y)21m,100 21101m 0 2i
1f 2( ) m1m 1
2i3
1 f( m1 m 1)
i
(y)210,100 0
i (y)211,100 f
i
(y)21 1,100 f
6
2 f2f212 1s (2 2 f) f2 r2p
663
(4)计算f
256*3
R21(r)R10(r)rdr fa0
6
3
13/2213/2 4 2a0r
) ()redr (
0 2a0aa00
114！ 255256272
a0 a0 a04 45
333a06
15222
f 9a0
3
3
4es2 21 2 r A2p 1s 21 33 c
4es23 es432152
() 9a0 33
3 c8 3 28 3e14 22s
7 103( )
3 c es2
28 e109 1
7 6s3 1.91 10s
3 c
1
5.23 10 10s 0.52 10 9s A21
xi wang
5.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解： J2p 1s N2pA2p 1s 21
28 e103 es4s
N2p 736 2 3c 8
25 2e14
N2p 6 8s3 21 10.2eV
3 c
e1025
N2p 6 3s42
3c a0
9
N 3.1 10W 2p
9
若 N2p 10，则 J21 3.1W
5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则
22 解： Amk rmk xmk
*
xmk mx kdx
1kk 1x [ k 1] 由 kk 1
22
*
m ndx mn
1kk 1
m,k 1 m,k 1] xmk [
22 m k 1时， xmk 0 即选择定则为 m m k 1
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