量子力学课后答案4.5到7.8题(4)

x y z i 7.1.证明：

x y y x 2i z 及 证：由对易关系

x y y x 0 ， 得 反对易关系

x y i z

z，得 上式两边乘

x y z i z2 ∵ z2 1

x y z i ∴

第七章 自旋与全同粒子

xi wang

7.2 求在自旋态 1

(Sz)中，S x和S y

的测不准关系：

( S2x)( Sy)2 ?

解：在

S z表象中 1(S2z)、S x、S y

的矩阵表示分别为

1 01 0 i 1( Sz) 0 S x 2 10 S y

2 i0 ∴ 在 1(Sz)态中

2

SS 01 x 1x 1 (1 0)2 10 1 0

0 22

S2 01 x 1S 2

01 1 2x 1 (1 0)

2 10 2 10 0 4 ( S2S2

2 2x) x Sx 4 S 0 i 1 y 1S y 1 (1 0)2

i0 0

0 S2 0 i 0 i 1 y S 2

2y (1 0)

2 i0 2 i0 0 4 2 ( S2 S2

2y)y Sy 4 ( S)2( S2

4

xy)

16 讨论：由S x、S y的对易关系 [S x，S y] i S z 要求(

S)2( S)2 2

S2z

xy

4

在

1(Sz)态中，Sz

22

∴ ( S 422

x)( Sy)

16 可见①式符合上式的要求。

①

xi wang

的久期方程为 解：Sx

2 0 2 ( )2 0 22

2 的本征值为 。 ∴ Sx 2

a1

设对应于本征值的本征函数为 1/2 b 2 1

01 a1 a1 ，得 10 b 2 b 由本征方程 Sx1/21/22 11 2

b1 a1

a b b1 a1

1 1

a** 1 (a,a)11 1由归一化条件 1/2 1/2 1，得 a 1

112

即 2a1 1 ∴ a1 b1 22

1 1

对应于本征值的本征函数为 1/2 1 22

a2

的本征函数为 1/2 设对应于本征值 b2 2

b2 a2 a 2 1/2 由本征方程 S b2 a2 x 1/2 a b 2 2 2 b2 由归一化条件，得

a ** 2 (a2, a2) 1 a2

112

即 2a2 1 ∴ a2 b 2 22

1 1

对应于本征值 的本征函数为 1/2 1 22

的本征值为 。其相应的本征函数分别为 同理可求得Sy

2

7.3.求S及Sxy 2 10 2 i的本征函数。

01 0

i

的本征值和所属0

1

1 1 i2

1

1 1 i2

xi wang

7.4 求自旋角动量(cos ,cos ,cos )方向的投影

S cos S cos S cos Snxyz

本征值和所属的本征函数。

有哪些可能值？这些可 在这些本征态中，测量Sz

的平均值是多少？ 能值各以多大的几率出现？Sz

表象，S 的矩阵元为 解：在Szn 01 0 i 10 Scos cos cos n2 10 2 i0 2 0 1 cos cos icos

S n2 cos icos cos

其相应的久期方程

cos (cos icos ) 22 0

(cos icos ) cos 22 22

2222

cos (cos cos ) 0即 44 22

(利用cos2 cos2 cos2 1) 0

4

的本征值为 。 所以Sn

2

a 设对应于S 的本征函数的矩阵表示为 (S) n ，2 b

则

cos cos icos a a cos 2 cos icos b 2 b

a(cos icos ) bcos b cos icos

b

1 cos

由归一化条件，得

2

n

1

xi wang

a 22

1 1 1 (a,b) a b b

*

*

22 2

cos icos 22a 1a a 11 cos 1 cos

co sco s ico s

取 a ，得 b 22(1 co s) 1 cos

1 1(S

n)

cos icos

2

2(1 cos )

cos 1 cos icos 0 (Sn) 2 2(1 cos ) 0 1 cos cos icos 11 22(1 cos)22

的可能值为 可见， S z

22

1 cos cos2 cos2 1 cos

相应的几率为 22(1 cos )2

1 cos 1 cos z cos

22222

同理可求得 对应于Sn 的本征函数为

2

1 cos

2 (S) 1n cos icos

2(1 cos )

的可能值为 在此态中， Sz

22

1 cos 1 cos

相应的几率为

22

z cos

2

1

R21(r)Y11( , )

7.5设氢的状态是 2

3 R(r)Y( , ) 2110

2

的平均值； 和自旋角动量z分量S ①求轨道角动量z分量L zz

e e

L S ②求总磁矩 M

2

的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。

xi wang

解：ψ可改写成

②

1 0 1 R21(r)Y11( , ) 0 2R21(r)Y10( , ) 1 2

13 R21(r)Y11( , ) 1(Sz) R21(r)Y10( , ) 1(Sz)

22 22

的可能值为 0 从 ψ的表达式中可看出Lz

13

相应的几率为

44

z

4

的可能值为 Sz

22

132

相应的几率Ci为

44

1 3 2

z CiSzi

24244

eee e z z ( ) z 2 2 4 4

e 1

MB

2 44

7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

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