初中数学八年级上册勾股定理中考考点

勾股定理 中考考点

掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。 考点讲解

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：c=a+b(c为斜边)。

222它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角

形的主要依据之一。

一、问题的提出：

D小明放学回家要经过一块长方形的麦地。如图： A1、 小明本来应走大路从A经B到C可是他却直接从

A到C，为什么？ 2、 为什么近、近多少？

CB3、用数学知识如何解答？

二、量一量，算一算：

1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。

3cm6cm4cm

8cm2、进行有关的计算。 3、得出结论： 三、证明结论：

利用拼合三角形的方法，如下：（1）

1

由（1） 由（2）

（2）如图：

c a b a

c b b c

练习：

b 1、判断：

a a

（1）已知a、b、c是三角形的三边，则

c

2

（ ）

（2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。 （ ）

（3）在?B?90?

（ ）

2、填空：在中， （1）如果a=3，b=4，则c= （2）如果a=6，b=8，则c= （3）如果a=5，b=12，则c= (4) 如果a=15，b=20，则c= 3、 解决新课开始提出的问题 中考考点

1．把握勾股定理的逆定理；

2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。

考点讲解

21．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：

22a+b= c，那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定

定理。

1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤： （1）首先求出最大边（如c）；

（2）验证a+b与c是否具有相等关系；

22222 若c2=a2+b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。 若c2 ≠a2+b，则△ABC不是直角三角形。

2．直角三角形的判定方法小结：

3

（1）三角形中有两个角互余； （2）勾股定理的逆定理；

3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、

12、13；6、8、10；12、16、20等。

四、典型例题

例1. 在中，，于D，求证：

（1） C A D B （2）

分析：在图中有以求证。 证明：

与三个直角三角形，利用勾股定理可 （1） 4

（2）又 即 B 例2、 已知中，，求AC 12 5 边上的高线的长。

C 13 D A 分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。

解：

为，且5

作于D

设，则 答：AC边上的高线长为。

例3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，

求证：AB2－AD2=BD·DC

思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE⊥BC于E，便出现两个全等的直角三角形。

由AB=ACBE=EC

结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得 AB2=AE2+BE2 AD2=AE2+DE2 6 由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是 AB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE) 结合图形知：BE+DE=BD BE－DE=CE－DE=CD

例4.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，∠CBA=90°,求S四边形ABCD 思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因∠CBA=90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求

AC2=AB2+BC2=32+42=25

在△CAD中，我们又可发现： AC2+AD2=25+122=169 DC2=132=169

∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知 ∴△ACD为Rt△，且∠DAC=90°

此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。

S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD

例5、在正方形ABCD中, F为DC的中点, E为BC上一点, 且

EC = , 求证: ?EFA = 90?

分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt, 那就是

要通过勾股定理逆定理来完成。 证明: 设正方形ABCD的边长为4a 则EC = a, BE = 3a, CF = DF = 2a

7

在RtABE中

在RtADF中

在RtECF中

由上述结果可得 由勾股定理逆定理可知AEF为Rt, 且AE是最大边, 即

?AFE = 90?

例6、 已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，

EF=10，△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE，AF

的长。

思路分析：依题意知△AEF为Rt△用勾股定理，立马而定，于是有 EF2=AE2+AF2

设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100 ①

8

本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.

五、专题检测：

1、如图在ABC中, ?BAC = 90?, AD?BC于D,

则图中互余的角有 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为 3、 已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，

求证：

。

D C O A B 4. 已知：钝角，CD垂直BA延长线于D，求证：

。

9

D A B C 5. 已知：，且 A ，D在BC B D C 上，求

证：

。

6. 已知：

，求证：

。

A B C D A B D C 7 已知：中，AD为BC中线，求证：

。

10

8、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。

10：已知：如图，?ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A。 求：BD的长。

分析：因为?ABC中，AB=AC，可作AE⊥BC于E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可求。根据勾股定理可列方程式求解。 解：作AE⊥BC于E ∵AB=AC，BC=16

11

∴BE=CE= （等腰三角形的性质）

在设DE=x

中 （勾股定理）

在中 在中 ∴

∴ 几何部分： 2. 在中， 12

在中， 在中， 在中， 3 在中， 在中，

4. 作

于E， 13

A B D E C

5. 作于E， A B E C D

6. 作

于E，

14

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