有限元介绍_第一部分

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1 有限元的概念 有限元分析(FEA,Finite Element Analysis)是将求解域看成是由许多称为 有限元的小的互连子域组成，对每一单元 假定一个合适的近似解，然后推导求解这 个域总的满足条件，从而得到问题的解。 这个解不是准确解，而是近似解，因为实 际问题被较简单的问题所代替。由于大多 数实际问题难以得到准确解，而有限元不 仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状， 因而成为行之有效的工程分析手段。

2 有限元的应用范围 2-1 固体力学，包括强度、稳定性、震 动和瞬态问题的分析，线性和非线性 分析 2-2 传热学 2-3 电磁场 2-4 流体力学 2-5 金属成形过程的分析 2-6 焊接残余应力分析 2-7 热处理过程的分析

3 有限元的基本求解原理3-1 材料力学与弹性力学 3-2 应力的概念 3-3 位移及应变，几何方程，刚体位移 3-4 应力应变关系，物理方程 3-5 虚功原理及虚功方程 3-6 单元刚度矩阵 3-7 整体分析 3-8 整体刚度矩阵的形式 3-9 支承条件的处理 3-10 求解方程

3-1 材料力学与弹性力学有限单元法— 机械工程中所指的是有限单元法在 弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性 力学的某些基本概念和基本方程。在此简 单介绍这些概念和方程，了解弹性力学有 限单元法的相关知识。

弹性力学 — 区别与联系 —1、研究的内容：基本上没有什么区别。

材料力学

弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运 动，以及由此产生的应力和变形。

2、研究的对象：有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件， 即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究 杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它 实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸 相当的构件。

弹性力学 — 区别与联系 —3、研究的方法：有较大的区别。

材料力学

虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。

材料力学 — 区别与联系 —y

弹性力学

y

q

q

sxx¼ Í 1-1a

sx0¼ Í 1-1b

x

材料力学 — 区别与联系 —y q

y

弹性力学q

sy¼ Í 1-2a

sxx¼ Í 1-2b

syx

q

sxsy =q¼ Í 1-2c

sx

材料力学 — 区别与联系 —

弹性力学

¼ Í

1-3a

¼ Í

1-3b

弹性力学 — 区别与联系 —

材料力学

总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。 它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学， 研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果 更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对 象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解 算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计 算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材 料性质的假定：

弹性力学中关于材料性质的假定(1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如 应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。

(2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样， 当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬 时所受的外力，与它过去的受力情况无关。

(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因 而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。

弹性力学中关于材料性质的假定(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。

(5) 物体的变形是微小的， 亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角 都远小于1,这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以 用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差； 并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都 可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方 程。

3-2 应力的概念作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位 面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成 分，用记号、 来表示。 、

体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三 个成分，用记号X、Y、Z表示。

弹性体受外力以后，其内部将产生应力。

3-2 应力的概念弹性体内微小的平行六面体PABC,称为体素PA=dx,PB=dy,PC=dz 每一个面上的应力 分解为一个正应力 和两个剪应力，分 别与三个坐标轴平 行

图 1-4

s 剪应力 正应力

正应力

s

3-2 应力的概念

为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一 个角码，例如，正应力 s x是作用在垂直于x轴的面 上同时也沿着X轴方向作用的。剪应力

加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一 个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐 标轴。例如，剪应力 xy 是作用在垂直于X轴的面 上而沿着y轴方向作用的。

3-2 应力的概念应力的正负如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方 向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿 坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴 的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向 为正，沿坐标轴正方向为负。

3-2 应力的概念剪应力互等定律作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面 交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相 同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。由力矩平衡得出 简化得 剪应力互等2 yz dXdZ dy dZ 2 zy dXdy =0 2 2

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