初中数学2016年中考八大题型典中典：初中数学2016年中考八大题型

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专题复习（七）——综合探究问题

题型概述

探索是一中重要的研究问题的方法，也是人们发现新知识的重要手段，非常有利于培养创新能力。探索型问题一般有从特殊到一般的探索和存在型探索型或者从实践中探索，复习时对这些呈现方式具有多样性、活泼性、猜想性、挑战性的探索性试题要多关注，多反思，多总结其解题经验，以增强自己的探究能力。 题型例析

类型1：实践性综合探索问题

这类问题是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情景下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情景中对应知识来解决问题。

【例题】（2015岳阳第23题10分）

已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．

（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： ．

（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA?PB=k?AB．

考点：几何变换综合题．

分析：（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可．

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（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出PA=PB仍然成立． （3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF?BP=AE?BF，再个AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA?PB=2k．AB，所以PA?PB=k?AB，据此解答即可． 解答：（1）∵l⊥n， ∴BC⊥BD，

∴三角形CBD是直角三角形， 又∵点P为线段CD的中点， ∴PA=PB．

（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下： 如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，

，

∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点， ∴PD=PE，

又∵点P为线段CD的中点， ∴PC=PD， ∴PC=PE； ∵PD=PE， ∴∠CDE=∠PEB， ∵直线m∥n， ∴∠CDE=∠PCA， ∴∠PCA=∠PEB，

又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，

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∴l∥CE， ∴AC=BE，

在△PAC和△PBE中，

∴△PAC∽△PBE， ∴PA=PB．

（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，

，

∵直线m∥n， ∴∴AP=PF， ∵∠APB=90°， ∴BP⊥AF， 又∵AP=PF， ∴BF=AB；

在△AEF和△BPF中，

，

∴△AEF∽△BPF， ∴

，

∴AF?BP=AE?BF，

∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB， ∴2PA?PB=2k．AB，

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∴PA?PB=k?AB． 故答案为：PA=PB．

点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．

（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．

（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

【变式练习】

（2015?浙江湖州，第23题10分）问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点

(1)初步尝试：如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，求证：

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小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：

思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立. 思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立.

请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)

(2)类比探究：如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动

速度之比是：1，求的值.

(3)延伸拓展：如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示 (直接写出结果，不必写解答过程).

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【答案】（1）详见解析；（2）【解析】

=2 ；(3) .

试题分析：（1）（选择思路一）：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1，易证△ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得GD=AD=CE，GH=AH,再由平行线的性质可得∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,又因GD=AD=CE,根据“ASA”可证△GDF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等可得GF=CF，所以GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF. （选择思路二）：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，如图1，先证△ADH≌△CEM，由全等三角形的对应边相等可得

AH=CM,DH=EM, 又因∠DHF=∠EMF=90°, ∠DFH=∠EFM,所以△DFH≌△EFM,即可得HF=MF=CM+CF=AH+CF.（2）)过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2, 可证AD=

意可知，AD=

GD, 由题

CE,所以GD=CE,再证△GDF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等可得GF=CF,

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