【全国区级联考】江西省广丰区2017届初三中考模拟(一)数学试题

【全国区级联考】江西省广丰区2017届初三中考模拟（一）数学试

题

一、解答题

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（3，0）、B（0，－3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（4分）

（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（4分） （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由（4分） 【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入与，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是（，），则M（，得到PM的长，即PM=（）﹣（）=当

时，PM最长为

），用P点的纵坐标减去M的纵坐标

，然后根据二次函数的最值得到

；（2）

； （3）存在，P点的横坐标是

或

．

，再利用三角形的面积公式利用

S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；

（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（）﹣（）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，

，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值． 试题解析：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入所以抛物线的解析式是设直线AB的解析式是

，

，得：

，解得：

，

．

，得：

，解得

，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入

所以直线AB的解析式是（2）设点P的坐标是（，所以PM=（当

）﹣（

；

），则M（，）=

，

，

），因为p在第四象限，

时，二次函数的最大值，即PM最长值为

；

则S△ABM=S△BPM+S△APM=

（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，

∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3． ②当P在第一象限：PM=OB=3，（去），所以P点的横坐标是③当P在第三象限：PM=OB=3，横坐标是

．所以P点的横坐标是

；

，解得

或

（舍去），．

，所以P点的

）﹣（

）=3，解得

，

（舍

考点：1．二次函数综合题；2．平行四边形的判定． 2.应用无刻度的直尺画图：

在下面的三个图中，以OA为边，在正方形网格内作∠AOB=α，B点为格点（每个小正方形的顶点）使sinα的值分别为：【答案】见解析 【解析】

，和

．

试题分析：如图（1）直角边长是5和5的直角三角形的斜边长是5，则sinα=，如图

（2）直角边长是4和3的直角三角形的斜边长是5，则sinα=；如图（3）直角边长是1和3的直角三角形的斜边长是

，则sinα=

．

试题解析：解：∠AOB为所求；

考点：作图—应用与设计作图；勾股定理；锐角三角函数的定义 3.（1）计算：

（2）解方程： (x﹣5)=16 【答案】（1）1；（2）x1=1，x2=9

【解析】试题分析：(1)、首先根据三角函数、绝对值和幂的计算法则求出各式的值，然后进行求和得出答案；(2)、根据直接开平方的方法得出方程的解. 试题解析：（1）原式=

22

（2）解：（x﹣5）=\；x﹣5=±4；x=5±4；∴x1=1，x2=9； 4.先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2），其中x= 【答案】3.

【解析】试题分析：首先根据单项式乘以多项式以及平方差公式将括号去掉，然后进行合并同类项计算，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案. 试题解析：原式=x﹣2x﹣（x﹣4） =x﹣2x﹣x+4 =﹣2x+4，

当x=时，原式=﹣1+4=3．

5.关于x的一元二次方程x+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值． 【答案】(1)k≤0;(2)-1和0.

2

2

2

2

2

【解析】试题分析：（1）∵方程有实数根 ∴⊿=2-4k+1）≥0解得 k≤0. （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=\1x2=k+1

得 -2—（ k+1）＜-1 解得 k＞-2 ∴ -2＜k≤0 ∵k为整数 ∴k的值为-1和0. 试题解析：解：∵（1）方程有实数根 ∴⊿=2-4k+1）≥0. 解得 k≤0.

K的取值范围是k≤0.

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=\1x2=k+1 x1+x2-x1x2=\

由已知，得-2—（ k+1）＜-1 解得 k＞-2 又由（1）k≤0 ∴-2＜k≤0 ∵k为整数 ∴k的值为-1和0.

考点：一元二次方程根与系数的关系.

6.在两个不透明的口袋中分别装有三个颜色分别为红色、白色、绿色的小球，这三个小球除颜色外其它都相同.

（1）在其中一个口袋中一次性随机摸出两个球.请写出在这一过程中的一个必然事件； （2）若分别从两袋中随机各取出一个小球，试求取出两个小球颜色相同的概率（用列表法或画树状图）.

【答案】（1）答案不唯一，如：摸出两个球颜色不相同；（2）

【解析】试题分析：（1）仔细分析题意特征根据必然事件的概念求解即可； （2）先画树状图列举出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可. （1）答案不唯一，如：摸出两个球颜色不相同； （2）列举所有等可能结果，画树状图：

2

2

由上图可知，所有等可能结果共有9种，两个相同颜色小球的结果共3种，

所以两个小球颜色相同的概率为. 考点：必然事件，概率的求法

点评：解题的关键是熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． 7.如图，已知一次函数

的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数

(＞0)的图像在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D. （1）求m、n的值； （2）求△ADC的面积.

【答案】（1）m=3，n=6；（2）24.

【解析】试题分析：(1)、首先根据反比例函数解析式求出n的值，得出点C的坐标，然后将点C的坐标代入一次函数解析式求出m的值；(2)、首先根据一次函数解析式求出点A的坐标，从而得出AD和CD的长度，最后根据三角形的面积计算法则得出面积. 试题解析：(1)∵点C（4，n）在∵点C（4，6）在

的图象上， ∴n=6,∴C（4，6）．

的图象上，∴m=3．

(2)∵C点和D点的坐标分别为(4,6)、（4，0）， 直线

与x轴的交点A的坐标为（-4，0），

∴AD=8，CD=6． △ADC的面积为

8.某中学现有学生2870人，学校为了进一步丰富学生课余生活，组织调查各兴趣小组活动情况，为此校学生会进行了一次随机抽样调查．根据采集到的数据，绘制如下两个统计图（不完整）：

请你根据统计图1、2中提供的信息，解答下列问题： （1）写出2条有价值信息（不包括下面要计算的信息）；

（2）这次抽样调查的样本容量是多少？在图2中，请将条形统计图中的“体育”部分的图形补充完整；

（3）爱好“书画”的人数占被调查人数的百分数是多少？估计该中学现有的学生中，爱好“书画”的人数．

【答案】（1）①电脑小组比音乐小组人数多； ②音乐小组体育小组比例大；（2）补图见解析；（3）287人.

【解析】试题分析：(1)、写的信息可以根据实际题目来进行，有非常多的信息，可以随便选择两条即可；(2)、根据电脑的人数÷电脑人数所占的百分比求出样本容量；(3)、首先根据爱好书画的人数和样本容量求出书画人数所占的百分比，然后求出全校爱好“书画”的人数 试题解析：（1）①电脑小组比音乐小组人数多；②音乐小组体育小组比例大；等等 （2）∵画图如下；

，∴样本容量为80.

（3）∵∴

；

．爱好“书画”的有287人．

点睛：本题主要考查的就是扇形统计图、条形统计图和利用样本估计总量的问题，属于简单的题目.在解决这种问题的时候同学们一定要将两种统计图有机的结合在一起.这种题目一定要明白下面的几个公式：样本容量=频数÷频率，频数=样本容量×频率.扇形统计图中的百分比就是频率，条形统计图中每一个的数量就是频数. 二、计算题

1.如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC=12cm． （1）当PA=45cm时，求PC的长；

（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【答案】（1）27cm；（2）位置上升了．34.7cm. 【解析】

试题分析：（1）连结PO．先由线段垂直平分线的性质得出PO=PA=45cm，则OC=OB+BC=12+24=36cm，然后利用勾股定理即可求出PC==27cm；（2）过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．先解Rt△DOE，求出DE=DOsin60°=6

，EO=DO=6，则FC=DE=6

=14

，DF=EC=EO+OB+BC=42．再解Rt△PDF，

+6

=20

≈34.68＞27，即可得出结论．

求出PF=DFtan30°=42×，则PC=PF+FC=14

试题解析：（1）当PA=45cm时，连结PO．如图：

∵D为AO的中点，PD⊥AO，∴PO=PA=45cm．∵BO=24cm，BC=12cm，

∠C=90°，∴OC=OB+BC=36cm，PC==27cm；（2）当∠AOC=120°，过D作DE⊥OC

交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，如图：

，则四边形DECF是矩形．在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO=AO=12，

∴DE=DOsin60°=6，EO=DO=6，∴FC=DE=6，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42．在=14

，∴PC=PF+FC=14

+6

=20

Rt△PDF中，∵∠PDF=30°，∴PF=DFtan30°=42×

≈34.68cm＞27cm，∴点P在直线PC上的位置上升了．

考点：1.解直角三角形；2.线段垂直平分线性质；3.勾股定理；4.矩形的判定与性质， 三、单选题

1.﹣的绝对值是（ ） A．5 B．﹣5 C． D．﹣ 【答案】C

【解析】请在此填写本题解析!

2.某网站数据显示，2015年第一季度我国彩电销量为1233万台，将1233万用科学计数法可表示为( ) ．

A．【答案】D

B． C． D．

【解析】试题分析：科学计数法是指：a×，且，n为原数的整数位数减一.本题首先需要将1233万转化为12330000，然后再用科学计数法进行表示. 3.如图所示的几何体的俯视图是（ ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：根据俯视图的画法可得：俯视图为一个正方形，且正方形两边的中点有一条实线.

4.计算（x）÷（﹣x）的结果是（ ） A．x B．x C．﹣x D．x 【答案】D

【解析】试题分析：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，根据法则可得：原式=

.

2

3

3

4

2

3

2

5.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（ ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：连接AC，延长CB，过点F作CH⊥CB于点H，则根据题意可得：FH=1，CH=2+3=5，则根据勾股定理可得：CF=，根据正方形的性质可得：∠CAB=45°，则∠CAF=90°，即△CAF为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AM=

.

点睛：本题主要考查的就是矩形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，解决本题的关键就是通过构造辅助线将所求的线段转化到直角三角形中.在这个问题中，通过直角三角形的勾股定理求出斜边的长度，然后根据正方形和等腰直角三角形的性质得出直角三角形，最后根据直角三角形的性质得出答案.

6.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，动点P从A点出发，按A→B的方向在AB上移动，动点Q从B点出发，按B→C的方向在BC上移动（当P点到达点B时，P点和Q点停止移动，且两点的移动速度相等），记PA=x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：过点A作AD⊥BC于D，过点P作PE⊥BC于E，如图． ∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC==6． 根据Rt△ABD的勾股定理可得：AD＝8． ∵PE∥AD． ∴△BPE∽△BAD， ∴

，即

，则PE=

，则y=

，则根据函数解析式可得函数图像为B.

点睛：本题注意考查的就是二次函数在动点问题中的实际应用，在解答这个问题的时候，首先将各线段用含x的代数式来进行表示，然后通过辅助线构造出相似三角形，从而将所求的三角形的高线也用含x的代数式来进行表示，从而根据三角形的面积计算法则得出函数解析式.在动点问题的时候还需要主要自变量x的取值范围. 四、填空题

1.因式分解：x﹣4xy=______． 【答案】x（x+2y）（x﹣2y）

3

2

【解析】试题分析：首先提取公因式x，然后再利用平方差公式进行因式分解. 2.定义运算：x?y=【答案】4

【解析】试题分析：根据题目中给出的运算法则可得，对于所求的式子利用的是下面的这个式子，即(-1)？2=2×[1-(-1)]=2×2=4.

3.关于x的一元二次方程mx+（2m﹣1）x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____________． 【答案】m＜且m≠0

【解析】试题分析：当一元二次方程根的判别式△=根，则根据题意可得：4.观察下列图形：

，解得：

时，方程有两个不相等的实数.

2

，则（﹣1）?2=__．

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形共有__________个★． 【答案】

【解析】试题分析：根据给出的图形可得：第一个图形为3×1+1，第二个图形为3×2+1，第三个图形为3×3+1，第四个图形为3×4+1，则第n个图形为：3n+1.

5.已知对任意锐角α、β均有：cos（α+β）=cosα?cosβ﹣sinα?sinβ，则cos75°=______． 【答案】

【解析】试题分析：根据给出的计算公式我们可以得出：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°·cos30°-sin45°·sin30°=

.

6.如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于_________________．

【答案】或或.

；

【解析】试题分析：本题需要根据等腰三角形的性质进行分类讨论，当BE=BP时，则BP=当BP=PE时，则BP=

；当BE=EP时，则BP=

.

点睛：本题主要考查的就是等腰三角形的性质以及分类讨论思想的应用.同学们在解答动点产生等腰三角形的时候，我们一定要注意分类讨论思想的应用.将三角形的各边用含未知数的代数式来进行表示，然后找出相等的两条边，从而求出未知数的值得出答案.在解答分类讨论的题目时，一定要注意分类的依据.

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