中学中考数学第一轮复习导学案-相似三角形

相似三角形

◆课前热身

1．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）

A．

ADBC? B．

BCDF? C．

CDBC? D．

CDAD? DFCECEADEFBEEFA B C D E F 1题

A

2.如图所示，给出下列条件：

D ①?B??ACD； ②?ADC??ACB；

B C

③ACCD?ABBC； ④AC2?ADAB． （第2题图）

其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

3.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：14.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4. 其中正确的有：（ ）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

【参考答案】 1. A 2. C 3. B 4. D

- 1 -

AF）

◆考点聚焦

1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．

2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．

3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．

4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． ◆备考兵法

1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．

2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．

3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．

◆考点链接

一、相似三角形的定义

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法

1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．

2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=________，CD=_______，BC=__ ____．

2

2

2

ADBEC EABDCCA DB 3. 两个角对应相等的两个三角形__________．

4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质

- 2 -

1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．

3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． ◆典例精析

例1（山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙

底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为 米．

甲 【答案】9.

小华乙

【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为x米，由相似得

1.55，解得x?9，所以路灯甲的高为9米，故填9. ?x30例2（浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_______．

【答案】 P1（1，4），P2（3，4）．

点拨：这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性． 拓展变式 在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有______条． 【答案】 3

例3 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；

- 3 -

②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（ ）

A．①③ B．③ C．① D．①②

【答案】 B

【解析】 ∵AB∥DC，∴△AEF?∽△CDF，?但本题还有一对相似三角形是△ABC?≌△CDA（全等是相似的特例）． ∴①是错的． ∵

AEEF1??，∴②EF：ED=1：2是错的． CDDF2 ∴S△AEF：S△CDF =1：4，S△AEF：S△ADF =1：2． ∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．

点拨 ①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）

②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．

拓展变式 点E是

ABCD的边BC延长线上的一点，AE

与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（ ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】 C ◆迎考精练 一、选择题

1.（江苏省）如图，在5?5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②

中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ） A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格

- 4 -

D．先向下平移3格，再向右平移2格

2.（浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）

A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个

3.（浙江宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）

A M B

O C

N D

A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

4.(浙江义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）

A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm

5.（湖南娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （ ） A．3米 B．0.3米

C．0.03米 D．0.2米

6.（甘肃白银）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）

- 5 -

A．12m B．10m C．8m D．7m

7.（天津市）在△ABC和△DEF中，AB?2DE，AC?2DF，?A??D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ）

A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6 二、填空题

3)，若以原点O为位似中1. (山东滨州)在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(2，心，画△ABC的位似图形△A?B?C?，使△ABC与△A?B?C?的相似比等于坐标为 ．

1，则点A?的2，，2.(黑龙江牡丹江)如图，Rt△ABC中，?ACB?90°直线EF∥BD交AB于点E，交

1CFAC于点G，? ． 交AD于点F，若S△AEG?S四边形EBCG，则

3AD A E B

G C 第2题

F D

3.（湖北孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．

4.（山东日照）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．

- 6 -

A

E B′

B F

（第4题图）

C

5.（福建莆田）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则

AB=__________m．

A E C F B 第5题图

三、解答题

1.（湖南郴州）如图，在DABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3， （1）求

C

2.（湖南常德）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．

3.(湖北武汉)如图1，在Rt△ABC中，?BAC?90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．

（1）求证：△ABF∽△COE； （2）当O为AC边中点，

B A D E AD的值，（2）求BC的长 ABACOF?2时，如图2，求的值； ABOE- 7 -

（3）当O为AC边中点，B

D F A

O 图1

E C A B ACOF?n时，请直接写出的值． ABOED F E O

图2

C

4.（安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交

AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．

F A M B

G C

D

第4题图

E - 8 -

5.（吉林省）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF?AD，连接BC、BF．

A D E C B 第5题图

F

O （1）求证：△CBE∽△AFB； （2）当

6.(广东梅州)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：△CDF∽△BGF；

BE5CB?时，求的值 FB8ADB?6cm，EF（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若A求CD的长．

A 6题 E D C F B

G

?4cm，

- 9 -

【参考答案】 选择题 1. D 2. B 3. C 4. A

5. B 6. A 7. A 填空题 1. （4，6） 2.

1 212或2; 7 3. 144 4.

5. 40 解答题

1. 解：（1）∵AD=4，DB=8

∴AB=AD+DB=4+8=12 ∴

AD41== AB123DEAD= BCAB （2）∵DE∥BC，所以△ADE∽△ABC

∴

∵DE=3

∴

31= BC3∴BC=9

2. △ABE 与△ADC相似．理由如下： 在△ABE与△ADC中

∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90， ∵AD是△ABC的边BC上的高，

- 10 -

o

∴∠ADC=90， ∴∠ABE=∠ADC． 又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA=∠DCA． ∴△ABE ～△ADC．

3. 解：（1）

o

AD⊥BC，??DAC??C?90°．

?BAC?90°，??BAF??C． OE⊥OB，??BOA??COE?90°， ?BOA??ABF?90°，??ABF??COE． ?△ABF∽△COE；

G B F A

D E O

C

（2）解法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G．

AC?2AB，O是AC边的中点，?AB?OC?OA．

由（1）有△ABF∽△COE，?△ABF≌△COE，

?BF?OE．

?BAD??DAC?90°，?DAB??ABD?90°，??DAC??ABD，

又?BAC??AOG?90°，AB?OA．

?△ABC≌△OAG，?OG?AC?2AB． OG⊥OA，?AB∥OG，?△ABF∽△GOF，

?B OFOGOFOFOG????2． ，

BFABOEBFABD F E O

C

A

解法二：

?BAC?90°，AC?2AB，AD⊥BC于D，

- 11 -

?Rt△BAD∽Rt△BCA．?ADAC??2． BDAB设AB?1，则AC?2，BC?5，BO?2，

?AD?2115，BD?AD?5． 525?BDF??BOE?90°，△?BDF∽△BOE，

?BDBO?． DFOE1525由（1）知BF?OE，设OE?BF?x，?，?x?10DF． ?DFx在△DFB中x?21122?x，?x?． 51034224OF3?OF?OB?BF?2?2?2．???2．

233OE23OF?n． （3）OE4. （1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）以下证明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ∴△AMF∽△BGM．

（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝22 AFBM ?AMBGAMBM22?228?? ∴BG?AF3384又AC?BC?42cos45?4，∴CG?4??，CF?4?3?1

33又∵AMF∽△BGM，∴

45∴FG?CF2?CG2?12?()2?

335. （1）证明：

AE?EB,AD?DF,

?ED是△ABF的中位线，

- 12 -

?ED∥BF,

??CEB??ABF,

又?C??A,

?△CBE∽△AFB,

（2）解：由（1）知，

△CBE∽△AFB,

?CBAF?BEFB?58. 又AF?2AD,

?CBAD?54． 6. （1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD， ∴?CDF??FGB，?DCF??GBF， ∴△CDF∽△BGF． （2） 由（1）△CDF∽△BGF， 又F是BC的中点，BF?FC ∴△CDF≌△BGF， ∴DF?FG，CD?BG 又∵EF∥CD，AB∥CD，

∴EF∥AG，得2EF?BG?AB?BG． ∴BG?2EF?AB?2?4?6?2， ∴CD?BG?2cm．

- 13 -

D C E F A

B

G

6题图

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