中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题

中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题

【前言】

在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。

【例1】

如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E.

（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积. （2）当2?t?4时，求S关于t的函数解析式.

【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M点是何含义，于是无从下手。其实M点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N点表示移动距离超过4之后阴影部

分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当2?t?4时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】

（1）由图（2）知，M点的坐标是（2，8） OA?4； ∴由此判断：AB?2，∵N点的横坐标是4，NQ是平行于x轴的射线， ∴CO?4 ∴直角梯形OABC的面积为：（2）当2?t?4时，

阴影部分的面积=直角梯形OABC的面积??ODE的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) 1∴S?12?OD?OE

211?AB?OC??OA??2?4??4?12..... (3分) 22∵

OD1?，OD?4?t OE2∴OE?2?4?t? .

12∴S?12??2?4?t???4?t??12??4?t?

2S??t2?8t?4.

【例2】

已知：在矩形AOBC中，OB?4，OA?3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y?k(k?0)的图象与AC边交于点E． x（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；

（2）记S?S△OEF?S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？

若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE和△FOB这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K。所以直接设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个△EOF的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个RT△面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小RT△面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK. 【解析】

（1）证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2， 由题意得y1?kk，y2?．

x2x1?S1?1111x1y1?k，S2?x2y2?k． 2222?S1?S2，即△AOE与△FOB的面积相等．

3?，F?4，?， (想不到这样设点也可以直（2）由题意知：E，F两点坐标分别为E?，接用X去代入,麻烦一点而已)

?k??3???k?4??S△ECF?11?1??1?ECCF??4?k??3?k?， 22?3??4?

11?S△EOF?S矩形AOBC?S△AOE?S△BOF?S△ECF?12?k?k?S△ECF?12?k?S△ECF

221?1??1??S?S△OEF?S△ECF?12?k?2S△ECF?12?k?2??4?k??3?k?

2?3??4??S??12k?k． 12当

k??1?1?2?????12??6时，S有最大值．

S最大值??1?3． ?1?4?????12?（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN?OB，垂足为N． 由题意得：EN?AO?3，EM?EC?4?11k，MF?CF?3?k， 34?EMN??FMB??FMB??MFB?90，??EMN??MFB．

又

?ENM??MBF?90，

?△ENM∽△MBF．(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中)

1??14?k4?1?k?3ENEM3??12?， ???，?1?MB3?1k?MBMF3?1?k?4?12??MB?29． 422222219??k??1??． MB?BF?MF，????????3?k?，解得k?8?4??4??4??BF?k21?． 432?21??存在符合条件的点F，它的坐标为?4，?．

?32?【例3】

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB

上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

【思路分析】 本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。对于该题来说，当P,Q运动时，△BPQ的高的长度始终不变，即为CD长，所以只需关注变化的底边BQ即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量—高，过Q做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有PE是未知的，于是得解。 这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。 【解析】

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