自学考试：近世代数试题及答案 (3) -

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浙江省2005年10月高等教育自学考试

近世代数试题

课程代码：10025

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分，共15分)

??1. 设Z是整数集，σ(a)=?a??a,当a为偶数时2 则σ是R的( ). ?1,当a为奇数时2A. 满射变换 C. 一一变换

B. 单射变换 D. 不是R的变换

ab2. 下列法则，哪个是集A的代数运算( ). A. A=N, a?b=a+b-2 B. A=Z,a?b=

C. A=Q, a?b=ab D. A=R, a?b=a+b+ab

3. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( ).

A. x→-x C. x→?1x

B. x→

1x

D. x→5x

4. 在3次对称群S3中，阶为3的元有( ). A. 0个 C. 2个

B. 1个 D. 3个

5. 剩余类环Z6的子环有( ). A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题(每小题3分，共27分)

6. 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个. 7. 整数加群Z有__________个生成元.

8. 在4次对称群S4中，(123)(1324)=__________. 9. 每一个有限群都与一个__________群同构.

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10. 剩余类环Z5的零因子个数等于__________. 11. 剩余类环Z7的可逆元有__________个.

12. 整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)}，则I的单位是__________. 13. 设Q是有理数域，则Q(32)=__________. 14. 2+i在实数域R上的极小多项式是__________.

三、解答题(第15小题10分，第16，17小题各12分，共34分)

15. 在实数集R中定义二元运算“O”如下：aOb=a+b-2(?a,b∈R)，问R对运算“O”是否作成群?试说明理由. 16. 找出模16的剩余类加群Z16的所有子群，并找出Z16的全部生成元.

17. 设Z是整数环，p、q是两个不同的素数，(p)∩(q)、(p,q)是Z的怎样一个理想?(p)∪(q)是Z的理想吗?为什么? 四、证明题(每小题8分，共24分)

???r18. 设G=???0??????1H=???0????s???r,s?Q,r?0?，于是G对于方阵的乘法作成群.令 ?1????t???t?Q?，证明：H是G的不变子群. 1????n

19. 设R是实数域，f(x)∈R［x］,f(x)=a0+a1x+?+anx,令?:f(x)|→a0. 证明：?是R［x］到R的满同态，ker?=?

???a20. 设A=???0????b???a,b,c?Z?关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明： c????U=??????00????2x???x?Z?是A的理想，商环A/U由哪些元组成? 0????百度文库：专注、专心、专一为您服务！

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