初中中考数学压轴题及答案(精品)

中考数学专题复习——压轴题

1.

已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

（3） △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

?b4ac?b2?（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为???2a,4a??）

??2

?2. 如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的

中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交

AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

A D P B H Q

R E C

3在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM

＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

A A N C P 图 3

B

D 图 2 M O B P C B

图 1

C N M O A N M O

4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 4 5如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

6如图，抛物线L1:y??x2?2x?3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点. （1）求抛物线L2对应的函数表达式；

（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.

7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

D M C N A E F B

8.如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y?k的图象上． x（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 试求直线MN的函数表达式．

友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对

完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做

题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）

小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．

（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标

y 为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1， Q 2 则点P1的坐标为 ，点Q1的坐标为 ．

1 O y A B O x Q1 P1 1 2 3 P x 9.如图16，在平面直角坐标系中，直线y??3x?3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y?ax?223x?c(a?0)经过A，B，C三点． 3（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

y A C O F B x 图16

10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y?轴的正半轴上，且AB?1，OB?3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到

矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物

线y?ax2?bx?c过点A，E，D． （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y E A B F C D O x

11.已知：如图14，抛物线y??交于点B，点C，直线y??323x?3与x轴交于点A，点B，与直线y??x?b相443x?b与y轴交于点E． 4（1）写出直线BC的解析式． （2）求△ABC的面积．

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

12.在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若

C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程x2?(m?2)x?n?1?0的两根:

(1) 求m，n的值

(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式 (3) 过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则

是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

`11?的值CMCNC M A D O B N L`

13.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

?b4ac?b2?（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为???2a,4a??）

??2

14.已知抛物线y?3ax2?2bx?c，

（Ⅰ）若a?b?1，c??1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若a?b?1，且当?1?x?1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

x2?1时，（Ⅲ）若a?b?c?0，且x1?0时，对应的y1?0；对应的y2?0，试判断当0?x?1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

15.已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

B B P P 2A Q 图①

C A 图② Q C P?

k1与直线y?x相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点x4k左侧）是双曲线y?上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双

xk曲线y?于点E，交BD于点C.

x16.已知双曲线y?（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.

（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.

yMDBC

OENAx

压轴题答案

1. 解：（ 1）由已知得：c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为y??x2?2x?3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE ?c?3解得 ???1?b?c?0yDBGAOFEx111AO?BO?(BO?DF)?OF?EF?DF 222111=?1?3?(3?4)?1??2?4 222=

=9

（3）相似

如图，BD=BG2?DG2?12?12?2 BE=BO2?OE2?32?32?32 DE=DF2?EF2?22?42?25 222所以BD?BE?20, DE?20即： BD?BE?DE,所以?BDE是直角三角形

222所以?AOB??DBE?90?,且

AOBO2??, BDBE2所以?AOB??DBE.

2 解：（1）??A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．

?点D为AB中点，?BD?1AB?3． 2??DHB??A?90?，?B??B．

?△BHD∽△BAC， DHBDBD312???AC??8?． ，?DH?ACBCBC105（2）?QR∥AB，??QRC??A?90．

???C??C，?△RQC∽△ABC，

?RQQCy10?x?，??， ABBC6103x?6． 5即y关于x的函数关系式为：y??（3）存在，分三种情况：

①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．

A ??1??2?90?，?C??2?90?， ??1??C．

B D P 1 M 2 H Q

R E C

84QM4?cos?1?cosC??，??，

105QP51?3??x?6??42?5??，?x?18． ?12555312②当PQ?RQ时，?x?6?，

55?x?6．

③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点，

A D B H

A D H

E P R Q

C

P E Q

R C B 11?CR?CE?AC?2．

24QRBA?tanC??，

CRCA3?x?6156?5?，?x?．

2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

523解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴ △AMN ∽ △ABC．

于是点R为EC的中点，

A M O P N xAN∴ AM?AN，即?．

43ABAC∴ AN＝

B

图 1

C 3x． ……………2分 4∴ S=S?MNP?S?AMN?133?x?x?x2．（0＜x＜4） ……………3分 2481MN． 2（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC ＝AB?AC=5．

M O B

Q

D 图 2

22A N C

由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

xMN∴ AM?MN，即?．

45ABBC5x， 45∴ OD?x． …………………5分

8∴ MN?过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ?OD?5x． 8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ BM?QM．

BCAC55?x8?25x，AB?BM?MA?25x?x?4． ∴ BM?2432496． 4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分

49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

A ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP．

M N ∴ AM?AO?1． AM＝MB＝2． O ABAP2∴ x＝

故以下分两种情况讨论：

B

3① 当0＜x≤2时，y?SΔPMN?x2．

8∴ 当x＝2时，y最大?P 图 3

C 323?2?. ……………………………………8分 82M E P

O A ② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x．

∴ PF?x??4?x??2x?4． 又△PEF ∽ △ACB．

N C B F 图 4

S?PEF?PF?∴ ?． ??S?ABC?AB?∴ S?PEF?232?x?2?． ……………………………………………… 9分 2y?S?MNP?S?PEF＝

32392x??x?2???x2?6x?6．……………………10分 8282929?8?当2＜x＜4时，y??x?6x?6???x???2．

88?3?8时，满足2＜x＜4，y最大?2． ……………………11分 38综上所述，当x?时，y值最大，最大值是2． …………………………12分

3∴ 当x? 4 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=23，∴B(23,2) ∵A(0,4),设AB的解析式为y?kx?4,所以23k?4?2,解得k??3, 3以直线AB的解析式为y??3x?4 3o

（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60, ∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=AO2?OP2?19

y如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30° 1∴GD=BD=

23353,DH=GH+GD=+23=, 222AHEOPGBD3373∴GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG=2??

2222537∴D(,)

22(3)设OP=x,则由（2）可得D(23?x,2?x3133x)若ΔOPD的面积为：x?(2?x)? 2224解得：x?

5

?23?21?23?21所以P(,0)

33

6

7解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ……………1分 ∵ AB∥CD，

∴ DG＝CH，DG∥CH．

∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．

∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，

C D ∴ △AGD≌△BHC（HL）．

M N AB?GH7?1∴ AG＝BH＝＝3． ………2分 ?22∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， ∴ DG＝4．

A B E G H F

1?7??4?∴ S梯形ABCD??16． ………………………………………………3分 2（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，

C D ∴ ME＝NF，ME∥NF．

M N ∴ 四边形MEFN为矩形．

∵ AB∥CD，AD＝BC， ∴ ∠A＝∠B．

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， A B E G H F ∴ △MEA≌△NFB（AAS）．

∴ AE＝BF． ……………………4分 设AE＝x，则EF＝7－2x． ……………5分 ∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， ∴ △MEA∽△DGA．

AEME∴ ． ?AGDG4∴ ME＝x． …………………………………………………………6分

3∴ S矩形MEFN48?7?49?ME?EF?x(7?2x)???x???． ……………………8分

33?4?6277时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为49．……………9分 436（3）能． ……………………………………………………………………10分

4由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝x．

3若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．

4x21 即 ?7－2x．解，得 x?． ……………………………………………11分

3102114∴ EF＝7?2x?7?2??＜4．

105当x＝

∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为S正方形MEFN?14?196． ????525??28解：（1）由题意可知，m?m?1???m?3??m?1?．

解，得 m＝3． ………………………………3分

∴ A（3，4），B（6，2）；

y ∴ k＝4×3=12． ……………………………4分

A （2）存在两种情况，如图：

N1 ①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴 B 上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1）．

M2 O x M1 ∵ 四边形AN1M1B为平行四边形，

∴ 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位， N2 再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）． 由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），

∴ N1点坐标为（0，4－2），即N1（0，2）； ………………………………5分 M1点坐标为（6－3，0），即M1（3，0）． ………………………………6分

2设直线M1N1的函数表达式为y?k1x?2，把x＝3，y＝0代入，解得k1??．

32∴ 直线M1N1的函数表达式为y??x?2． ……………………………………8分

3②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2）．

∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2， ∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．

∴ 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．

∴ M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）． ………………………9分

2设直线M2N2的函数表达式为y?k2x?2，把x＝-3，y＝0代入，解得k2??，

32∴ 直线M2N2的函数表达式为y??x?2．

322所以，直线MN的函数表达式为y??x?2或y??x?2． ………………11分

33（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 9解：（1）?直线y??3x?3与x轴交于点A，与y轴交于点C．

?A(?1，0)，C(0，················································································· 1分 ?3) ·

?点A，C都在抛物线上，

??2330?a??ca????? ??33 ??3?c?c??3???抛物线的解析式为y?3223····················································· 3分 x?x?3 ·

33?43?1，? ······················································································· 4分 ?顶点F????3??（2）存在 ····································································································· 5分 ·································································································· 7分 P，?3) ·1(0··································································································· 9分 P，?3) 2(2（3）存在 ··································································································· 10分

理由： 解法一：

延长BC到点B?，使B?C?BC，连接B?F交直线AC于点M，则点M就是所求的点． ·············································································· 11分 过点B?作B?H?AB于点H．

y ?B点在抛物线y?32230) x?x?3上，?B(3，33H A C B O B x

3在Rt△BOC中，tan?OBC?，

3??OBC?30?，BC?23，

在Rt△BB?H中，B?H?M F 图9 1BB??23， 2············································ 12分 BH?3B?H?6，?OH?3，?B?(?3，?23) ·设直线B?F的解析式为y?kx?b

?3??23??3k?bk????6??43 解得?

?k?b???b??33?3??2?y?333x? ······················································································· 13分 623??y??3x?3x???3107?????M，? 解得 ??333?77103x???y??y??，62??7??3?? ??3103?M?······ 14分 ?在直线AC上存在点，使得△MBF的周长最小，此时M???7，?． ·7??解法二：

过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点．连接BH交

AC于点M，则点M即为所求． ································ 11分

过点F作FG?y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH．

y ??BOC??FGH?90?，?BCO??FHG ??HFG??CBO

0)． 同方法一可求得B(3，在Rt△BOC中，tan?OBC?A O C M G F H 图10 B x

33?，??OBC?30，可求得GH?GC?， 33?GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形，

?AC垂直平分FH．

?53?即点H为点F关于AC的对称点．?H?0，·········································· 12分

??3?? ·??设直线BH的解析式为y?kx?b，由题意得

5?k?3?0?3k?b???9 解得? 5?5b??3?b???33??3??y?553?3 ······················································································· 13分 933?55x???3x?3?3?1037??y??93 解得? ?M?， ?????77???y??103?y??3x?3??7??3103??． 1 ?在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M???7，?7??10解：（1）点E在y轴上 ··············································································· 1分 理由如下：

连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，?AB?1，BO?3，?AO?2

?sin?AOB?1?，??AOB?30 2?由题意可知：?AOE?60

??BOE??AOB??AOE?30??60??90?

································································ 3分 ?点B在x轴上，?点E在y轴上． ·（2）过点D作DM?x轴于点M

?OD?1，?DOM?30?

?在Rt△DOM中，DM??点D在第一象限，

13，OM? 22?31? ················································································ 5分 ?点D的坐标为???2，?2??由（1）知EO?AO?2，点E在y轴的正半轴上

2) ?点E的坐标为(0，················································································· 6分 ?点A的坐标为(?31)， ·

?抛物线y?ax2?bx?c经过点E，

?c?2

?31?2，由题意，将A(?31)代入y?ax?bx?2中得 ，，D???22???8??3a?3b?2?1a???9?? 解得 ?3?31b?2??a??b??53?422?9?853x?2 ·················································· 9分 ?所求抛物线表达式为：y??x2?99（3）存在符合条件的点P，点Q． ································································· 10分

理由如下：?矩形ABOC的面积?AB?BO?3 ?以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为23．

由题意可知OB为此平行四边形一边， 又?OB?3

?OB边上的高为2 ······················································································· 11分

2) 依题意设点P的坐标为(m，853x?2上 ?点P在抛物线y??x2?99853??m2?m?2?2

99解得，m1?0，m2??53 8?53?P2??P2)，2?1(0，??8，? ???以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，

?PQ∥OB，PQ?OB?3， 2)时， ?当点P1的坐标为(0，点Q的坐标分别为Q1(?3，2)，Q2(3，2)；

A B F C D O M x y E ?53?2?当点P2的坐标为???8，?时，

??点Q的坐标分别为Q3???133??33?，2Q，2?，． ··········································· 14分 ?4?????8???8?32x?3中，令y?0 4（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分） 11解：（1）在y??3??x2?3?0

4?x1?2，x2??2

?A(?2，0)，B(2，0) ·············································· 1分 C E y N A M D O P B x 又?点B在y??3x?b上 43?0???b

23b?

233?BC的解析式为y??x? ········································································ 2分

4232?y??x?3?x1??1???4（2）由?，得?9

33y1??y??x???4??42?x2?2 ·················································· 4分 ??y2?09??0) ?C??1，?，B(2，4??9 ······················································································· 5分 4199?S△ABC??4?? ·················································································· 6分

242（3）过点N作NP?MB于点P ?EO?MB ?NP∥EO

?△BNP∽△BEO ······················································································· 7分 BNNP?? ································································································· 8分 BEEO?AB?4，CD?由直线y??33?3?x?可得：E?0，? 42?2?35，则BE? 22?在△BEO中，BO?2，EO??62tNP，?NP?t ················································································ 9分 ?5352216?S??t?(4?t)

25312S??t2?t(0?t?4) ············································································· 10分

55312S??(t?2)2? ····················································································· 11分

5512?此抛物线开口向下，?当t?2时，S最大?

512?当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．

5

12解：

(1)m=-5,n=-3 (2)y=

4x+2 3(3)是定值.

因为点D为∠ACB的平分线，所以可设点D到边AC,BC的距离均为h， 设△ABC AB边上的高为H, 则利用面积法可得：

CM?hCN?hMN?2?2?H2 （CM+CN）h=MN﹒H

CM?CNH?MNh

又 H=CM?CNMN

化简可得 (CM+CN)﹒MN1CM?CN?h

故 11CM?CN?1h

13解：（ 1）由已知得：??c?31?b?c?0解得

??c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为y??x2?2x?3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE

=

12AO?BO?12(BO?DF)?OF?12EF?DF =12?1?3?12(3?4)?1?12?2?4 =9

（3）相似

如图，BD=BG2?DG2?12?12?2 BE=BO2?OE2?32?32?32 DE=DF2?EF2?22?42?25 yDBGAEOFx222所以BD?BE?20, DE?20即： BD?BE?DE,所以?BDE是直角三角形

222所以?AOB??DBE?90?,且所以?AOB??DBE.

AOBO2, ??BDBE214解（Ⅰ）当a?b?1，c??1时，抛物线为y?3x2?2x?1， 方程3x2?2x?1?0的两个根为x1??1，x2?1． 3∴该抛物线与x轴公共点的坐标是??1········································ 2分 0?． ·，0?和?，（Ⅱ）当a?b?1时，抛物线为y?3x2?2x?c，且与x轴有公共点．

?1

?3??

1对于方程3x2?2x?c?0，判别式??4?12c≥0，有c≤． ·································· 3分

3①当c?111时，由方程3x2?2x??0，解得x1?x2??． 333此时抛物线为y?3x2?2x??1?1与x轴只有一个公共点??，··························· 4分 0?． ·33??②当c?1时， 3x1??1时，y1?3?2?c?1?c， x2?1时，y2?3?2?c?5?c．

1由已知?1?x?1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x??，

3应有??y1≤0，?1?c≤0， 即?

5?c?0.??y2?0.解得?5?c≤?1．

1综上，c?或?5?c≤?1． ····································································· 6分

3（Ⅲ）对于二次函数y?3ax2?2bx?c，

由已知x1?0时，y1?c?0；x2?1时，y2?3a?2b?c?0， 又a?b?c?0，∴3a?2b?c?(a?b?c)?2a?b?2a?b． 于是2a?b?0．而b??a?c，∴2a?a?c?0，即a?c?0．

∴a?c?0． ···························································································· 7分

∵关于x的一元二次方程3ax2?2bx?c?0的判别式

??4b2?12ac?4(a?c)2?12ac?4[(a?c)2?ac]?0，

∴抛物线y?3ax2?2bx?c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方． ························· 8分 又该抛物线的对称轴x??b， 3ay 由a?b?c?0，c?0，2a?b?0， 得?2a?b??a， ∴

O 1 x 1b2???． 33a3又由已知x1?0时，y1?0；x2?1时，y2?0，观察图象，

可知在0?x?1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点． ····································· 10分

15 解：（1）由题意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，则CQ＝(4－2t)cm， ∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm ∴AP＝（5－t）cm，

∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，

∴AP∶AB＝AQ∶AC，即（5－t）∶5＝2t∶4，解得：t＝∴当t为

10 710秒时，PQ∥BC 7………………2分

（2）过点Q作QD⊥AB于点D，则易证△AQD∽△ABC ∴AQ∶QD＝AB∶BC

∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝t

65116×AP×QD＝（5－t）×t 22532∴y与t之间的函数关系式为：y＝3t?t

5∴△APQ的面积：

………………5分

（3）由题意：

当面积被平分时有：3t?t＝

352115?5××3×4，解得：t＝ 222 当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1

∴不存在这样t的值

………………8分

（4）过点P作PE⊥BC于E

1QC时，△PQC为等腰三角形，此时△QCP′为菱形 24∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝t

5410∵QC＝4－2t，∴2×t＝4－2t,解得：t＝

5910∴当t＝时，四边形PQP′C为菱形

9827此时，PE＝，BE＝，∴CE＝

933 易证：△PAE∽△ABC，当PE＝

………………10分

在Rt△CPE中，根据勾股定理可知：PC＝PE2?CE2＝()?()＝892732505 9∴此菱形的边长为505cm 9………………12分

16 解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入y?1x中，得y＝－2. 4∴B点坐标为（－8，－2）.而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2） 从而k＝8×2＝16

（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上, ∴mn＝k，B（－2m，－

n），C（－2m，－n），E（－m，－n） 21111S矩形DCNO＝2mn＝2k，S△DBO＝mn＝k，S△OEN＝mn＝k.

2222∴S矩形OBCE＝S矩形DCNO―S△DBO―S△OEN＝k.∴k＝4. 由直线y?14x及双曲线y?，得A（4，1），B（－4，－1） 4x∴C（－4，－2），M（2，2）

设直线CM的解析式是y?ax?b，由C、M两点在这条直线上，得

??4a?b??22，解得a＝b＝ ?3?2a?b?2∴直线CM的解析式是y＝

22x＋. 33yQDBC（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1

设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a.于是p?MAM1A1xOEN MAA1M1a?m， ??MPM1Om同理q?MBm?a? MQma?mm?a

－＝－2 mm

∴p－q＝

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